四川成都市郫都区2026-2027学年高一上学期期中考试数学试题

郫都区2026-2027学年度上期高一期中 数学 说明：1．本卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟． 2．所有试题均在答题卡相应的区域内作答． 第I卷（选择题　共58分） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的） 1．下列描述正确的是（ ） A． B． C．为素数 D． 2．用描述法表示下图所示阴影部分的点（包括边界上的点）的坐标的集合是（ ） A．且 B．且 C．且 D．或 3．已知集合，若，则（ ） A．0或1 B．0 C．1 D．2 4．已知集合，，若，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 5．集合，，则集合的元素个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．已知函数，，用表示，中的最大者，并且记为，则的最小值为（ ） A． B．1 C． D．2 7．若一个集合是另一个集合的子集，则称这两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”．对于集合，，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则的取值范围是（ ） A． B． C． D．以上都不正确 8．设定义在上的函数的图像如图所示，则关于函数的单调区间表述正确的是（ ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递减，在上单调递增 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分） 9．狄利克雷函数是数学中非常有名且很重要的一个函数．它的定义如下：，则关于狄利克雷函数的说法正确的是（ ） A．定义域为 B．值域为 C．是偶函数 D．对定义域内任意都有 10．下列叙述正确的是（ ） A．函数和表示同一个函数 B．函数的最小值为 C．若，则 D．若一次函数满足，则的解析式为 11．下列说法正确的是（ ） A．命题“，”的否定是“，” B．若函数在单调递增，则的取值范围为 C．命题“，”成立的一个必要不充分条件是 D．奇函数，则恒成立 第II卷（非选择题　共92分） 注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指定的答题区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知函数，则________． 13．满足的集合共有________个． 14．已知函数在上的值域为，则实数的取值范围是________． 四、解答题（本大题共5小题共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分） 已知函数 （1）画出函数的图象，并根据函数图象求函数的最大值； （2）写出函数在上的单调递增区间，并用定义证明它； （3）解关于的不等式． 16．（本小题满分15分） 设为全集，已知集合，． （1）若，求，； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 17．（本小题满分15分） 如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园．设菜园的长为x米，宽为y米． （1）若菜园面积为72平方米，则x，y为何值时，求篱笆总长最小值； （2）若使用的篱笆总长为30米，求的最小值； （3）若x，y满足，求菜园面积的最小值． 18．（本小题满分17分） 设集合，． （1）求集合A； （2）若集合B有且仅有两个子集，求实数a的值； （3）若，求实数a的取值范围． 19．（本小题满分17分） 已知函数，（其中a，b为常数）． （1）若不等式的解集为，求a，b的值； （2）若，求在区间上的最大值； （3）若函数的图象关于直线对称，求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C B C A B A D D ACD AB BCD 12．6 13．16 14． 15．（1）根据分段函数的解析式，画出函数的图象： 3分 当时，取得最大值4； 4分 （2）由图象可知，函数在上的单调递增区间是， 5分 当时， 证明：任取，，且，则 7分 由于，，且，则，， 所以，因此函数在上单调递增． 8分 （3）当时，，解得：，又，此时不等式无解， 当时，，解得：， 当时，，又，所以， 综上可知，或， 所以不等式的解集为或； 13分 16．解：（1）当时，，则或， 2分 而， 所以，． 6分 （2）由是的充分不必要条件，得是的真子集， 7分 而，， ①当时，，即； 9分 ②当时，有或，解得． 综上所述，实数的取值范围为． 15分 17．（1）由题意可知，菜园的面积，且，． 所用篱笆总长． 根据基本不等式，可得将，代入上式， 3分 得，当且仅当时，等号成立． 联立，解得， 所以，当，时，所用篱笆总长最小． 5分 （2）由题意可知，，则 8分 当且仅当，即时等号成立． 又，故时，取得最小值为． 10分 （3）由题意可知，，，且满足，即． 根据基本不等式，有，当且仅当时等号成立． 所以．令，则． 上述不等式可化为，即． 因为，所以，故，解得． 13分 所以，即．当且仅当时，等号成立，此时满足． 所以菜园面积最小为81平方米．（若无单位不扣分） 15分 18．（1）由，解得或， 所以． 2分 （2）因为集合有且仅有两个子集，所以集合只有一个元素， 4分 故，所以． 6分 （3）由（1）知，， 因为，所以集合可以是，，，． 8分 ①当时，即方程无实数根， 则，解得； 10分 ②当时，即方程有且只有一个根0， ，解得； 12分 ③当时，即方程有且只有一个根， 则，方程组无解； 14分 ④当时，方程有0和两根， 则，解得， 综上所述，实数的取值范围是或． 17分 19．（1）由题意得，，即，， 将，代入，符合条件， 所以，． 2分 （2）因为，所以，所以， 对称轴为，又因为该二次函数开口向上，区间的中点为2，所以 ①当，即时， 4分 ②当，即时， 综上． 6分 （3）由题意知， 因为，且的图象关于对称， 因此函数的零点也关于对称． 7分 所以， 所以 8分 解得，， 所以 9分 下面对的图象关于对称给出证明， 由于 因此，则的图象关于对称． 12分 由于 设 则转化为函数，， 13分 因为的对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以的最小值为． 17分 （说明：若用其他换元降次，酌情给分．） 学科网（北京）股份有限公司 $