精品解析：四川省成都市郫都区第一中学2025-2026学年高一上学期期中测试数学试卷

2025-2026学年度郫都一中高2025级高一上期期中测试 数学学科试卷 考试满分：150分；考试时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，，则集合，，的关系是（ ） A. B. C. D. 2. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 3. 函数，若实数满足，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 若正实数满足，不等式有解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 若存在且，对任意的，均有恒成立，则称函数具有性质P，已知：单调递减，且恒成立；单调递增，存在使得，则是具有性质P的充分条件是（ ） A. 只有 B. 只有 C. 和 D. 和都不是 7. 和函数是同一函数的是（　 ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，且满足，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 对于给定实数a，关于x的一元二次不等式的解集可能是（  ） A. B. C. D. 10. 设是一个数集，且至少含有两个数，若对任意，都有（除数），则称是一个数域.例如有理数集是一个数域；现有两个数域与.下列关于这两个数域的命题中是真命题的为（ ） A. 数域中均含的元素0，1. B. 有理数集. C. 是一个数域 D. 整数集. 11. 已知定义域为R的函数在上为增函数，且为偶函数，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 在上为增函数 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题 ，，则命题的否定为________________________． 13. 若对勾函数 对于任意的，都有，则实数的最大值为______． 14. 设，且，则的最小值是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设集合． （1）若，求； （2）若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． 16. 已知函数． （1）求 ， 的值 （2）探索 （3）利用（2）的结论求表达式： 的值． 17. 已知函数. （1）若的解集为，求不等式的解集； （2）若且在上恒成立，求实数的取值范围. 18. 已知集合． （1）若，求实数m的取值范围； （2）当集合A变为时，求A的非空真子集的个数； （3）若，求实数m的取值范围． 19. 已知函数的定义域为，满足：对，都有，当时，，且． （1）求的值，并证明是奇函数； （2）证明：是上的减函数； （3）解关于的不等式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度郫都一中高2025级高一上期期中测试 数学学科试卷 考试满分：150分；考试时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，，则集合，，的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对集合C分析，当n为偶数时，它与集合A相等，所以集合A是集合C的真子集；又集合B和集合C相等，从而得出集合A、B、C的关系． 【详解】集合， 当时，， 当时，， 又集合，， 集合，集合， ，可得， 综上可得 故选：C． 2. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用一元二次不等式和一元二次方程的对应关系求出参数，再解另一个不等式即可. 【详解】由题设知方程有两根2和3，故由韦达定理得则， 因此，解得． 故选：A． 3. 函数，若实数满足，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】判断的单调性可得，所以，求得的值即可求解. 【详解】由题意可得的定义域为， 在上单调递增，在上单调递增， 若，所以，可得， 由可得，解得：， 所以， 故选：D. 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象. 【详解】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误； 当时，，选项B错误. 故选：A. 【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项． 5. 若正实数满足，不等式有解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据基本不等式“1”的代换求最小值，再由不等式有解得，即可求参数范围. 【详解】由， 仅当，即时等号成立， 要使不等式有解，只需， 所以. 故选：B 6. 若存在且，对任意的，均有恒成立，则称函数具有性质P，已知：单调递减，且恒成立；单调递增，存在使得，则是具有性质P的充分条件是（ ） A. 只有 B. 只有 C. 和 D. 和都不是 【答案】C 【解析】 【分析】对于，当，根据减函数的定义和已知条件，结合不等式性质，可得成立；对于，取同理可得出结论． 【详解】：当，，因为函数单调递减， 所以 即，存在， 当满足命题时，具有性质P. ：当时，， 因为函数单调递增， 所以， 即， 存在，当满足命题时，具有性质P. 综上可知命题、都是具有性质P的充分条件． 故选：C 【点睛】本题考查函数的新定义、函数的单调性以及不等式的性质，考查了理解辨析能力、运算求解能力和逻辑推理能力，属于中档题． 7. 和函数是同一函数的是（　 ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相同的函数定义域，对应法则，值域都相同可知ABC不符合要求，D满足. 【详解】的定义域为，值域为， 对于A，与的对应法则不同，故不是同一个函数； 对于B，的值域为，故不是同一个函数； 对于C，的定义域为，故不是同一个函数； 对于D, ，故与是同一个函数. 故选：D 8. 已知函数的定义域为，且满足，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用赋值判断A，令可判断C，令，结合条件求出函数周期可判断BD. 【详解】令，则，解得，故A正确； 令，则，即， 因为不恒为0，所以，且定义域为，故函数为奇函数，故C正确； 令，则，因为不恒为0，且， 所以只能，从而，周期为4， 显然，故B错误D正确. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 对于给定实数a，关于x的一元二次不等式的解集可能是（  ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据参数的符号，以及和的大小关系分类讨论即可. 【详解】当时，，此时解集为或， 当时，，此时解集为， 当时，，此时解集为或， 当时，不等式为，此时解集为， 当时，，此时解集为， 故A 、B正确， C、D错误. 10. 设是一个数集，且至少含有两个数，若对任意，都有（除数），则称是一个数域.例如有理数集是一个数域；现有两个数域与.下列关于这两个数域的命题中是真命题的为（ ） A. 数域中均含的元素0，1. B. 有理数集. C. 是一个数域 D. 整数集. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于AD，由数域定义可得答案；对于B，通过举例判断即可；对于C，取即可判断. 【详解】对于A选项，根据定义，由，则， 则0，1是任何数域中的元素，故A正确； 对于B选项，当时，，故B正确； 对于C选项，取， 则，则不是一个数域，故C错误； 对于D选项，由0，1是任何数域中的元素可得依次类推， 整数集是任何数域的子集，若数集E，F都是数域，则， 则整数集，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知定义域为R的函数在上为增函数，且为偶函数，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 在上为增函数 C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意结合偶函数的性质可得图象关于直线对称，且在上为减函数，然后逐个分析判断即可 【详解】对于A，因为函数为偶函数，其图象关于对称， 所以函数的图象关于对称，故A正确； 对于B，函数在上为增函数且函数的图象关于对称， 所以函数在上为减函数，故B错误； 对于C，由于函数的图象关于对称，且函数在上为增函数， 所以，故C错误； 对于D，由于， 因为函数在上为减函数，且， 所以，即，故D正确. 故选：AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题 ，，则命题的否定为________________________． 【答案】， 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断即可. 【详解】命题 ，为存在量词命题， 其否定为：，. 故答案为：， 13. 若对勾函数 对于任意的，都有，则实数的最大值为______． 【答案】##0.75 【解析】 【分析】由可得，分和两种情况讨论即可. 【详解】因为，则， 所以，即， 当，即，恒成立， 因为，则，所以． 当，即或时，恒成立， 因为， 所以． 综上，， 所以实数的最大值为． 故答案为： 14. 设，且，则的最小值是__________. 【答案】 【解析】 【详解】分析：首先根据，即可得到，代入原不等式进而得出，解关于的不等式即可得出的最小值. 详解：∵，∴，∴， 即，解得或（舍去）； ∴的最小值为，故答案为. 点睛：考查基本不等式：，，，以及一元二次不等式的解法，解题的关键是构造出关于的不等式. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设集合． （1）若，求； （2）若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）求解二次不等式，得到集合，根据集合并集运算法则计算即可； （2）由题可知，列出不等式进行计算即可． 【小问1详解】 当时，或； ∵， ∴或； 【小问2详解】 ∵“”是“”的充分条件，∴， ∵，即， ∴或，∴或， 而，要使得， 需有或， ∴或． 16. 已知函数． （1）求 ， 的值 （2）探索 （3）利用（2）的结论求表达式： 的值． 【答案】（1） ， ． （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）根据解析式代入求解； （2）利用解析式直接相加求解； （3）根据（2）的结论，运用到式子中化简即可求值. 【小问1详解】 已知函数， ， ． 【小问2详解】 由，得， ． 【小问3详解】 由知 ，， ． 17. 已知函数. （1）若的解集为，求不等式的解集； （2）若且在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用不等式的解集，结合一元二次方程根与系数的关系列式求出，再代入求解不等式. （2）求出的关系，再由表示并利用一元二次不等式恒成立列式求解. 【小问1详解】 不等式，由不等式的解集为， 得且的两根为，则，解得， 不等式为，即，即， 解得，所以不等式的解集为. 【小问2详解】 由，得，将代入， 得对任意的恒成立， （i）当，即时，不等式变为恒成立，满足题意； （ii）当，即时，则，解得； 综上所述，实数的取值范围是. 18. 已知集合． （1）若，求实数m的取值范围； （2）当集合A变为时，求A的非空真子集的个数； （3）若，求实数m的取值范围． 【答案】（1）； （2）254； （3）或. 【解析】 【分析】（1）因为，所以A，分类讨论和即可得出答案； （2）当时，A中共有8个元素，即可求出A的非空真子集的个数； （3）若，分类讨论和，即可求出实数的取值范围. 【小问1详解】 因为，所以. 当时，由，得，符合题意； 当时，根据题意，可得 解得 综上，实数的取值范围是． 【小问2详解】 ，共有个元素， 所以A的非空真子集的个数为． 【小问3详解】 当时，由（1）知， 当时， 可得或，解得． 综上，实数的取值范围是或． 19. 已知函数的定义域为，满足：对，都有，当时，，且． （1）求的值，并证明是奇函数； （2）证明：是上的减函数； （3）解关于的不等式． 【答案】（1） 令，得，所以． 令，得， 所以， 所以， 所以是奇函数． （2） 设，且． 由 ， 因为，所以， 因为时，， 所以，即， 即，所以， 所以是上的减函数． （3） 【解析】 【分析】（1）令代入已知等式求，再令结合的结果，变形验证满足奇函数的定义. （2）设，将用的公式变形，结合时的条件，判断差值的正负，证明的减函数性质. （3）利用的公式对不等式变形，结合求出，将不等式转化为，再借助减函数的单调性转化为一元二次不等式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由， 得， 即， 即， 即 即． 因为，所以， 又，所以， 所以． 由（2）知，是上的减函数， 所以，即， 解得或， 所以不等式的解集为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $