河南省信阳市商城县农村高中五校2026-2027学年高三上学期联考模拟数学试题

2026-2027学年度商城县农村高中五校联考模拟试题 高三数学 本卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 1．已知集合，则＝（    ） A． B． C． D． 2．长方体中，，为的中点，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．若，是双曲线与椭圆的共同焦点，点P是两曲线的一个交点，且为等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 4．在数列中，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 5．已知为实数，且.则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．函数（且）的图象恒过定点，若且，，则的最小值为（   ） A．9 B．8 C． D． 7．如图1，在正方形中，点为线段上的动点（不含端点），将沿翻折，使得二面角为直二面角，得到图2所示的四棱锥，点为线段上的动点（不含端点），则在四棱锥中，下列说法正确的是（    ） A．､､､四点一定共面 B．存在点，使得平面 C．侧面与侧面的交线与直线相交 D．三棱锥的体积为定值 8．已知，则的值等于（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 9．在直三棱柱中，，，为线段的中点，则下列正确的有（    ） A．直线平面 B． C．直线与直线所成的角为 D．到平面距离为 10．关于双曲线，下列说法正确的有（    ） A．实轴长为16 B．焦点坐标为， C．离心率为 D．渐近线方程为 11．对于定义在上的可导函数，为其导函数，下列说法不正确的是（    ） A．若是的解，则其一定是函数的极值点 B．在上单调递减是在上恒成立的充要条件 C．若函数既有极小值又有极大值，则其极大值一定不会比它的极小值小 D．若在上存在极值，则它在一定不单调 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．函数的最小正周期__________． 13．已知，则的解集是_______． 14．已知直角梯形中，，，，为上一点，且，若，其中，为实数，则_______；设点为线段上的动点，点为线段中点，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）函数的图象关于原点对称且当时，，求函数在时的解析式. 16．（15分）已知公差不为0的等差数列中，且成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和为. 17．（15分）在中，(为的面积). (1)求； (2)从下面三个条件中选择两个作为已知，使得存在，求的周长.条件①：；条件②：；条件③：边上的中线等于. 18．（17分）如图，在多面体中，四边形是边长为2的正方形，． (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面所成锐角的余弦值． 19．（17分）已知直线 (1)求直线关于轴对称的直线的方程，并求与的交点P； (2)若直线过点P且与直线垂直，求直线的方程. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度商城县农村高中五校联考模拟试题 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A B D B B B C ABD ABC 题号 11 答案 ABC 1．D 【分析】计算，，再计算交集得到答案. 【详解】，， 故. 故选：D. 【点睛】本题考查了解不等式，交集运算，意在考查学生的计算能力和应用能力. 2．A 【分析】连接，设，表示出，，，利用勾股定理计算可得. 【详解】如图连接，设，则， ，， 因为，所以，即，解得（负值舍去）. 故选：A 3．B 【分析】由题意可得双曲线中，由为等腰三角形，所以,从而可求得，再利用双曲线的定义可求得在双曲线中，，进而可求出双曲线的渐近线方程 【详解】解：因为椭圆的焦点坐标为， 所以双曲线中， 设点P为两曲线在第一象限的交点， 由于在椭圆中，为等腰三角形，所以, 所以， 在双曲线中，，所以，代入，得， 所以该双曲线的渐近线方程为， 故选：B 【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆、双曲线的定义的应用，解题的关键由为等腰三角形和椭圆的定义求出的值，属于中档题 4．D 【分析】，利用对勾函数的单调性，可得，从而可得答案. 【详解】由题意可得． 根据对勾函数与复合函数的单调性，在上递增，在上递减， 所以在中，， 当时，，； 当时，． 因为，所以， 所以的最大值是． 故选：D. 5．B 【分析】利用必要不充分条件的定义判断即可． 【详解】推不出；但， 故选：B 6．B 【分析】先由函数过定点求出定点坐标，再利用常值代换法，借助于基本不等式即可求得. 【详解】由的图象恒过定点，可得，，则； 因， 当且仅当时等号成立， 由，可解得， 故当时，的最小值为8. 故选：B. 7．B 【分析】A. 用反证法判断； B.在AD上取点G，使得AG=EC，当判断； C.利用线面平行的判定定理和性质定理判断； D.根据二面角为直二面角，由点E移动时，影响点B到AE的距离判断. 【详解】A. 假设､､､四点共面，则直线EC与BF共面，若EC与BF平行，又EC与AD平行，则AD与BF平行，这与AD与BF相交矛盾；若EC与BF相交，设交点为Q，则Q即在平面BAD内，又在平面AECD内，则点Q在交线AD上，这与EC与AD平行矛盾，所以假设不成立，所以B、E、C、F不共面，故错误； B.如图所示： 在AD上取点G，使得AG=EC，当时，，又平面，平面，所以平面，同理平面，又，所以平面平面，则平面，故存在点，使得平面，故正确； C.设侧面与侧面的交线为l，因为，且面，面，所以面，则，所以，故错误； D.因为二面角为直二面角，当点E移动时，点B到AE的距离即三棱锥的高变化，而是定值，故三棱锥的体积不是定值，故错误； 故选：B 8．C 【分析】由诱导公式化简求值 【详解】由诱导公式得 故选：C 9．ABD 【分析】以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，对A，求直线的方向向量和平面的法向量，验证方向向量与法向量垂直，结合线不在面内判定；对B，计算和​的数量积判断；对C，利用异面直线夹角公式，计算两个方向向量夹角的余弦绝对值判断；对D，求出平面的法向量，代入距离公式计算验证. 【详解】以为原点，​分别为轴， 由，得各点坐标： ， 对于选项A：，平面中， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，所以是平面的一个法向量 ， 因为，故，且不在平面内， 因此平面，A正确； 对于选项B：， 因为 ，所以，B正确； 对于选项C：，设异面直线与所成角为， 则，得，C错误； 对于选项D：，设平面的法向量， 则，即，令，则， 所以是平面的一个法向量，又， 所以点到平面的距离： ，D正确. 10．ABC 【分析】将双曲线方程化为标准形式，求解长轴判断A，求解焦点坐标判断B，求解离心率判断C，求解渐近线方程判断D即可. 【详解】因为，所以， 则，化简得，则， 对于A，则实轴长为，故A正确， 对于B，焦点坐标为，，故B正确， 对于C，离心率为，故C正确， 对于D，渐近线方程为，故D错误. 故选：ABC 11．ABC 【分析】取，可判断A选项；利用特例法结合函数单调性与导数的关系，结合充分条件与必要条件的定义可判断B选项；举特例可判断C选项；利用极值点与函数单调性的关系可判断D选项. 【详解】对于A选项，不妨取，则，当且仅当时，等号成立， 但函数在上单调递增，无极值点，A错； 对于B选项，取，则，当且仅当时，等号成立， 但函数在上单调递减， 所以，“在上单调递减”“在上恒成立”， 另一方面，若在上恒成立，则函数在上单调递减， 所以，“在上单调递减”“在上恒成立”， 所以，在上单调递减是在上恒成立的必要不充分条件，B错； 对于C选项，若函数既有极小值又有极大值，则其极大值不一定不会比它的极小值小， 如下图所示，函数的极大值小于它的极小值，C错；    对于D选项，若在上存在极值，则它在一定不单调，D对. 故选：ABC. 12． 【分析】根据正余弦函数的周期公式即可求解. 【详解】根据正余弦函数的周期公式可知： 函数的最小正周期， 故答案为：. 13． 【分析】首先求出当时的解析式，再根据解析式分段得到不等式组，解得即可. 【详解】因为， 设，则，所以， 所以， 不等式，即或，解得或， 综上可得的解集. 故答案为： 14． / 【详解】以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，如图所示. 由题意，故得，，，。 由，可得, 即,即， 由， 则,因此 因，设， 则，即， 又是的中点，，则 ,, 故. 15．，． 【分析】根据题意可知，函数为奇函数，由奇函数的性质可得，，即可求出时的解析式． 【详解】因为函数的图象关于原点对称，所以函数为奇函数． ∵时，， ∴，∴． 【点睛】本题主要考查利用奇函数的性质求分段函数的解析式，属于基础题． 16．(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式和等比中项可求出结果； （2）根据错位相减法可求出结果. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由题意可知. 即，又，得， 因为，所以，. 故通项公式. （2）， ， ， ， 所以. 17．(1) (2) 选条件①②：的周长为; 选条件①③：的周长为; 若选条件②③，三角形不存在. 【分析】（1）利用余弦定理和面积公式代入已知即可求解； （2）选择①②：利用平方关系与和差公式求出，然后结合正弦定理求解即可；选择①③：利用平方关系与和差公式求出，根据正弦定理设出三边，再由余弦定理列方程求解可得；选择②③：此时边上的高大于边上的中线，不符合题意. 【详解】（1）由余弦定理，，又， 所以，得， （2）选条件①②：， ， 则. 由正弦定理得，解得：， 所以的周长为. 选条件①③：， ， 由正弦定理可得， 不妨设，设中点为， 由余弦定理 ， 由得，解得，所以的周长为. (注：若选条件②③，此时边上的高，边上的中线， 由于，不满足三角形中高不大于对应中线的性质，故该组合不成立.) 18．(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）作出辅助线，求出，由勾股定理逆定理得到，进而得到线面垂直，得到，从而得到平面，得到，最终证明出平面，得到面面垂直； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解面面角的余弦值. 【详解】（1）证明：连接， 因为， 所以， 因为， 所以， 由勾股定理得：， 因为， 故，所以， 又， 所以平面， 又平面， 所以， 又， 所以平面， 又平面，所以， 又，所以平面， 又平面，所以平面平面． （2）由（1）知两两垂直，以D为原点，的方向为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系． ， 由平面知是平面的一个法向量． 设平面的法向量为， 由得：， 解得：，令，则，故， 设平面与平面所成锐角为， 即， 所以平面与平面所成锐角的余弦值为． 19．(1)， (2) 【分析】（1）求出直线与x轴的交点，进而根据题意可知两条直线斜率互为相反数，进而求得答案； （2）根据（1）中l3的斜率和点P的坐标，再由两条直线垂直，进而通过点斜式求得答案. 【详解】（1）由题意，直线l3与直线l1的倾斜角互补，从而它们的斜率互为相反数，且l1与l3必过x轴上相同点，∴直线l3的方程为， 由，解得，∴． （2）由（1）得直线l3的斜率为2，∴直线的斜率  且过点，∴直线的方程：  即为. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $