精品解析：河南省信阳市联考2026-2027学年高三上学期9月阶段检测数学试题

高三数学试卷（一） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】已知，，因此. 已知全集， 因此. 2. 将函数图象上所有点的横坐标变为原来的6倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由已知得， 3. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先需要等价转化不等式，变形为整式不等式，然后直接求解二次不等式即可，注意分母的限制. 【详解】等价于， 转化为， 解得，因，故. 所以不等式的解集为 4. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先对函数求导，代入得到切线斜率，再结合切点坐标由点斜式即可写出方程. 【详解】因为， 将代入导函数，可得， 已知切点为，由点斜式可得切线方程为，即. 5. 若幂函数的图象经过点，则满足的的最大值与最小值的差为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为幂函数的图象经过点，所以， 令， 因为和在上均为增函数，所以为增函数， 又因为， 所以的解集为， 所以的最大值与最小值的差为4. 6. 若是的必要不充分条件，则，可以为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【详解】若是的必要不充分条件，则推不出. 对A，取，满足，但推不出，故错误； 对B，，， 所以，故错误； 对C，可得，可得或，所以，故错误； 对D，推不出，， 即推不出，故正确. 7. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据函数的定义域和奇偶性排除部分选项，然后利用函数在无穷远处的极限趋势确定最终选项. 【详解】由题意可知，函数  的定义域为 ， 因为 ， 所以函数  为偶函数，其图象关于  轴对称，故 A、C错误； 当  时， 的增长速度远大于  和 ，所以 ， 故 D错误，B正确. 8. 若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用对数运算性质对进行化简为，再通过换元可知,最后利用均值不等式求得的最大值，再求解的最大值. 【详解】由，可得 ， ， ， 令，则 由(当且仅当，即时取等号)， 可得 ，解得， 所以， 故. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设为虚数，为复平面的原点，且，在复平面内对应的点分别为，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据复数的乘法及复数的相关概念，结合向量的坐标运算求解即可. 【详解】设虚数， 则， 所以， ，故A错误，B正确； 因为，所以，故C正确； 因为，所以，故D正确. 10. 已知函数满足对任意，恒成立，且在上单调，，则（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 不可能是一次函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据奇函数的定义、函数单调性的性质，结合一次函数的性质、代入法逐一判断即可. 【详解】A： 在中，令， ，解得，因此本选项说法正确； B：在中，令， ，解得， 因为，， 所以，又因为在上单调， 所以在上单调递增，所以，因此本选项说法正确； C：在中，令， ， 解得，所以函数不是上的奇函数，因此本选项说法不正确； D：由上可知：， 假设是一次函数，设， 因为，所以有， 当时，，这与矛盾，假设不成立，所以不可能是一次函数，因此本选项说法正确. 11. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 在上的最大值为 D. 在上存在极值点 【答案】BC 【解析】 【分析】根据周期性定义验证可知A错误，再由对称性性质验证可得B正确，利用换元法以及三角函数值域问题，利用导数求得函数存在极大值可得C正确，根据已有分析中的单调性可判断D错误. 【详解】 易知的定义域满足，且； 又，，代入化简得 ， 选项A：由与不能恒等，故最小正周期不是，A错误； 选项B：由， 又，即，则图象关于对称，B正确. 选项C：令，，则； 当时，，令，则， 再令，则在上单调递减， 因此，因此在上单调递减，所以； 令可知在时仅有唯一解， 当时，，即在上单调递增； 当时，，即在上单调递减； 所以函数存在唯一极大值点，代入得， 端点时，，当时，故最大值为，C正确； 选项D：当时， 由选项C中的分析可知当时，恒成立， 且随增大单调递增，故在该区间单调递增，不存在极值点，D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在梯形中，，，，则_________． 【答案】 【解析】 【详解】如图所示： , 所以，所以. 13. 若，，则复数的虚部为_________． 【答案】 ## 【解析】 【详解】由同角三角函数基本关系得，即； 将代入，得，解得； 由于，，故，； 所以 因此虚部为 14. 若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据指数幂的运算法则，结合换元法、构造函数法、利用导数的性质求解出函数的最值，最后结合实数运算的性质进行求解即可. 【详解】. 令. 所以由. 设， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 所以当时，函数有最小值，即. 由， 因为，所以， 因此由 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求； （2）求的值域； （3）求曲线的对称中心的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 . 【小问2详解】 ， ∵，∴， ∴的值域为. 【小问3详解】 由（2）知， 令，，解得， ∴的对称中心的坐标为. 16. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若，且曲线的切线经过点，求的斜率． 【答案】（1）当时，在，上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，无增区间； 当时，在，上单调递减，在上单调递增． （2）切线的斜率为或. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性； （2）先求得，再根据导数的几何意义可求切线方程的一般形式，代入所过的点后可求切点横坐标，从而可得斜率. 【小问1详解】 ， 令，得或． 当，即时， 若，则， 若，则， 故在上单调递增；在上单调递减. 当，即时，（不恒为零）， 则在上单调递减，无增区间. 当，即时， 若，则， 若，则， 故在上单调递增；在上单调递减. 综上，当时，在，上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，无增区间； 当时，在，上单调递减，在上单调递增． 【小问2详解】 由，得， 则，则． 设切线与曲线相切于点， 则，， 所以的方程为， 将点的坐标代入，得， 则， 即，解得或． 当时，；当时，． 故的斜率为或． 17. 已知，，三点都在半径为的圆上，且，． （1）求的长． （2）已知，为线段上一点，且． （i）证明：平分． （ii）现要将区域设置为绿化带，且绿化带的造价为120元，试问这个绿化带的总造价为多少元？ 【答案】（1） （2）（i） 因为，所以，即， 由（1）得，，，又，所以，为锐角，故， ， 又，， 代入得，即， 又，所以，又， 所以，故平分 （ii）元 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理求解； （2）（i）根据三角恒等变换证明即可.（ii）利用三角形的面积公式求出的面积即可. 【小问1详解】 根据正弦定理得，其中，， 解得，又，所以， 所以，即. 【小问2详解】 （i）略. （ii）由（i）得，所以 ， ，， 所以的面积为， 因为，所以， 所以，又绿化带的造价为120元， 所以总造价为元. 18. 对于函数，若存在，使得在上有最小值，且最小值大于，则称为俏函数，其中为的一个俏值． （1）若函数，证明：为俏函数，且的俏值唯一． （2）若定义在上的函数的值域为，且在上先减后增，试问是否为俏函数？说明你的理由． （3）若函数，求的最大值与俏值． 【答案】（1） 对，，当且仅当时等号成立， 因此，函数在上有最小值，故函数为俏函数，是的一个俏值， 对任意大于的正整数，函数在上有最小值，故都不是的俏值， 综上所述，是俏函数，且是其唯一的俏值. （2）是俏函数，理由如下： 设，的图象可由的图象向右平移个单位得到， 因为定义在上值域为，在上先单调递减再单调递增， 所以定义在上值域为，在上先单调递减再单调递增， 不妨设，且函数在上单调递减，在上单调递增， 所以在上有最小值，又因为的值域为，所以， 故是俏函数，是它的一个俏值. （3）最大值为，俏值为 【解析】 【分析】（1）先求的最小值并找出一个俏值证明其是俏函数，再证明该俏值的唯一性； （2）先分析函数的单调性及值域，再根据俏函数的定义证明； （3）先将转换为一个二次函数与的复合函数，可求得最大值，再结合二次函数及的单调性和对称性，分类讨论，确定俏值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 经化简，函数， 设，则由基本不等式得当且仅当时等号成立， 对，，，则恒成立， 所以的图象关于对称， 对，且， 则， 因为，所以，，即， 因此，即， 因此在上单调递减，在上单调递增， 且代入可得，，，可大致画出图象， 因此存在，使得，此时可取最大值； 由二次函数的性质可知，在时单调递增，在时单调递减， 即越大，则越小，而，，， 而当时，且单调递增，所以单调递增， 因此对于， 当时，，所以此时在区间上没有最小值； 当时，此时有最小值，所以是的一个俏值； 当时，此时有最小值，所以不是的俏值； 当时，因，所以，所以都不是的俏值. 综上所述，的最大值为，俏值为. 19. 已知函数． （1）证明：． （2）若函数在上有零点，求的取值范围． （3）若曲线与曲线，分别交于，两点，证明：． 【答案】（1）设， 则，令， 得；令，解得； 令，解得. 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 在处取极小值，也是最小值，故，所以. （2） （3）设,， 那么得到，， 所以，即， 由（1），得 即， 设，则函数在上单调递增， ， 由（1）可得， 故. 故 ，所以, 故， 要证，只需证，即证， 令，则.由于，所以由得， 即，解得， 要证，即证，即证， 要证，只需证,即, 又，即证， 即证，即， 设，则，那么 令，得 ， 所以函数单调递增，又， 故在区间上，即， 所以，故. 【解析】 【分析】（1）构造函数，通过求导，证明函数最小值大于0即可得证; （2）方法一：对函数求导得到函数的单调性，再通过虚设导函数零点，要使在上有零点，则，从而求得的取值范围；方法二：在上有零点等价于在上有解，先证明不等式，则，那么，再通过分类讨论确定的取值范围； （3）设,，则，由交点坐标可得 ，设，则函数在上单调递增，结合（1）的结论可证 ，所以,从而得到，结合换元法代入化简，最终只需证，再通过构造函数最终证明结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 方法一：由题意得，则． 对于任何实数，当时，，当时，． 因为在上为增函数，所以存在唯一的，使得． 令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增． 因为，所以且． 因为在上有零点，所以，即． 设，则在上单调递减． 因为，所以，则，故的取值范围是． 方法二：在上有零点等价于在上有解． 设，则， 故在上单调递增，所以，即， 所以， 又，故， 则，则． 当时，，在上有零点； 当时，，当时，， 由函数零点存在定理可知，在上必有零点．故的取值范围是． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学试卷（一） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 将函数图象上所有点的横坐标变为原来的6倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 3. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 4. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 若幂函数的图象经过点，则满足的的最大值与最小值的差为（ ） A. B. C. D. 6. 若是的必要不充分条件，则，可以为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 8. 若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设为虚数，为复平面的原点，且，在复平面内对应的点分别为，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数满足对任意，恒成立，且在上单调，，则（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 不可能是一次函数 11. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 在上的最大值为 D. 在上存在极值点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在梯形中，，，，则_________． 13. 若，，则复数的虚部为_________． 14. 若，则_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求； （2）求的值域； （3）求曲线的对称中心的坐标． 16. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若，且曲线的切线经过点，求的斜率． 17. 已知，，三点都在半径为的圆上，且，． （1）求的长． （2）已知，为线段上一点，且． （i）证明：平分． （ii）现要将区域设置为绿化带，且绿化带的造价为120元，试问这个绿化带的总造价为多少元？ 18. 对于函数，若存在，使得在上有最小值，且最小值大于，则称为俏函数，其中为的一个俏值． （1）若函数，证明：为俏函数，且的俏值唯一． （2）若定义在上的函数的值域为，且在上先减后增，试问是否为俏函数？说明你的理由． （3）若函数，求的最大值与俏值． 19. 已知函数． （1）证明：． （2）若函数在上有零点，求的取值范围． （3）若曲线与曲线，分别交于，两点，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $