精品解析：湖南省长沙市雅礼中学2026-2027学年高一上学期11月期中考试数学试题

雅礼中学2026年下学期期中考试试卷 高一数学 时量：120分钟 分值：150分 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 对于实数下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 下列各式正确的是（） A. B. C. D. 5. 已知幂函数是定义域上的偶函数，则（ ） A. 或3 B. 3 C. D. 6. 函数，对任意，都有，则实数的取值范围为（） A. B. C. D. 7. 已知函数，若正实数满足，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如：，．已知函数，则函数的值域是（ ） A. B. C. D. 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分. 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. C. 若，则或 D. 10. 下列命题正确的是（ ） A. 在上恒成立，则实数的取值范围是 B. 关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是. C. 若关于的方程的一根比1大且另一根比1小，则的取值范围是 D. “集合中只有一个元素”是“”的必要不充分条件 11. 已知函数满足：对任意实数、都有，且，，则下列说法正确的有（ ） A. B. 是偶函数 C. 函数的图像关于直线对称 D. 函数的图像关于点对称 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ___________________. 13. 已知，则函数的最小值为___________. 14. 已知函数，若关于x的不等式恰有一个整数解，则实数a的取值范围是___________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合， （1）若，求和； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 16. 百廿雅礼，大雅华章.年月日雅礼中学迎来建校周年校庆，学校计划布置纪念花坛.如图所示，现将原有矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且，对角线过点，已知米，米. （1）设的长为米，求矩形的面积的解析式及的取值范围； （2）若矩形的面积大于平方米，求的长的取值范围； （3）求矩形花坛的面积的最小值. 17. 已知指数函数. （1）解不等式； （2）求函数在上的最大值. 18. 已知函数的定义域为，都有，当时，. （1）求的值并证明； （2）判断并证明函数的单调性； （3）若，且，，不等式恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求实数的值； （2）若函数在区间上的值域是，求的取值范围； （3）若对任意，都有，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 雅礼中学2026年下学期期中考试试卷 高一数学 时量：120分钟 分值：150分 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】集合，， 则. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】命题“”的否定是 3. 对于实数下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质依次判断各选项即可. 【详解】对于A，当时，，此时，所以A错误. 对于B，当时，，所以B错误. 对于C，因为，两边同时乘正数，不等号方向不变，所以，所以C正确 对于D，当时，，此时，所以D错误. 4. 下列各式正确的是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据根式的运算性质逐一判断即可. 【详解】A选项：左边的定义域为，右边的定义域为， 定义域不同，故不恒等，A错误； B选项：，因，故，B错误； C选项：仅在为偶数时成立；当为奇数时，，C错误； D选项：由根式性质，当有意义时，总有，故D正确. 故选： D 5. 已知幂函数是定义域上的偶函数，则（ ） A. 或3 B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用幂函数的定义，结合偶函数性质列式求出的值. 【详解】由条件得，解得或. 当时，是上的偶函数，符合题意； 当时，是上的奇函数，不符合题意，所以， 故选：B. 6. 函数，对任意，都有，则实数的取值范围为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知是减函数，结合分段函数单调的条件求解. 【详解】因为对任意，都有成立，所以是上的减函数， 则，解得， 即实数的取值范围为. 7. 已知函数，若正实数满足，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断是上的奇函数且单调递增，由结合函数性质化简条件得，配凑出，再用乘法结合基本不等式，即可求出的最小值． 【详解】函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又， 所以是定义在上的奇函数， 由，得， 由，为增函数，得是增函数， 所以，即， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是． 8. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如：，．已知函数，则函数的值域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先化简函数并判断其为奇函数，得到；再分，，三种情况，分别确定的取值范围，结合高斯函数的定义求出，进而计算的取值范围，最后合并得到函数的值域． 【详解】在上单调递减， 又， ， 所以为奇函数， 当时，，，， 所以，所以， 又，此时， 当时，，，， 所以，所以， 又，此时， 时，， 综上的值域是． 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分. 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. C. 若，则或 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，结合充分条件、必要条件，以及全称命题和存在性命题的真假判定方法，即可求解. 【详解】对于A，若，则成立，所以充分性成立； 反之：若，则不一定成立，所以必要性不成立， 所以是的充分不必要条件，所以A正确； 对于B，因为恒成立，所以不存在实数使， 所以为假命题，所以B不正确； 对于C，由，则或，所以C正确； 对于D，当时，，所以命题不成立，该命题为假命题，不正确. 10. 下列命题正确的是（ ） A. 在上恒成立，则实数的取值范围是 B. 关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是. C. 若关于的方程的一根比1大且另一根比1小，则的取值范围是 D. “集合中只有一个元素”是“”的必要不充分条件 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：令，则即可求得的范围；对于B：根据题意求出和的关系，化简即可求出解集；对于C：令，则即可求得的范围；对于D，求出集合中只有一个元素时参数的值，再由充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】对于A：在上恒成立，令， 则，即，解得，即实数的取值范围是，故A正确； 对于B：关于的不等式的解集是，， 则关于的不等式等价于，即，即，解得或， 所以关于的不等式的解集是，故B正确； 对于C：要使关于的方程的一根比大且另一根比小， 令，则，即， 解得，所以的取值范围为，故C错误； 对于D：若集合中只有一个元素， 当时，符合题意； 当时，则，解得； 综上可得或， 所以由“集合中只有一个元素”推不出“”，故充分性不成立； 由“”推得出“集合中只有一个元素”，故必要性成立； 所以“集合中只有一个元素”是“”的必要不充分条件，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数满足：对任意实数、都有，且，，则下列说法正确的有（ ） A. B. 是偶函数 C. 函数的图像关于直线对称 D. 函数的图像关于点对称 【答案】ABD 【解析】 【分析】令，结合，令，可求出的值判断选项A；令，进而可得，可判断B选项；令可判断CD选项. 【详解】对于A:令，得，又，则， 令，得，故，故A正确； 对于B:令，得，即，即， 且函数的定义域为，所以为偶函数，故B正确； 对于C:令，得， 令，则该式可写为，即，故C错误，D正确. 故选：ABD. 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ___________________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据对数运算性质求，根据指数幂性质求，将所得结果相加可得结论. 【详解】因为，，所以. 故答案为： 13. 已知，则函数的最小值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由于，然后利用基本不等式可求得答案 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为9， 故答案为：9 14. 已知函数，若关于x的不等式恰有一个整数解，则实数a的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】作出函数的图象，根据一元二次不等式的解法将不等式转化为，讨论的大小得关于的不等式，从而可得实数a的取值范围. 【详解】作出函数的图像，如图所示， 有，， 由，得， 当时，，不等式无解； 当时，由得，此时不可能只有一个整数解． 当时，由得， 若不等式恰有一个整数解，则整数解为， 又，，再结合图像知， 综上所述，实数a的取值范围为． 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合， （1）若，求和； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）求解一元二次不等式得集合，再运用集合的交并补的运算即得答案； （2）由题意可得是的真子集，根据和分类讨论求出参数的范围，再求并集即可. 【小问1详解】 时，， 由可得，即得， 故， 因为或，所以. 【小问2详解】 由“”是“”的必要不充分条件，可得是的真子集， 当时，，解得； 当时，需使，解得. 综上，可得实数的取值范围为 16. 百廿雅礼，大雅华章.年月日雅礼中学迎来建校周年校庆，学校计划布置纪念花坛.如图所示，现将原有矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且，对角线过点，已知米，米. （1）设的长为米，求矩形的面积的解析式及的取值范围； （2）若矩形的面积大于平方米，求的长的取值范围； （3）求矩形花坛的面积的最小值. 【答案】（1）, （2） （3）平方米 【解析】 【分析】（1）设米,则,利用把用表示,再求矩形面积,并由确定定义域. （2）把面积大于平方米转化为关于的一元二次不等式,解出解集后与第（1）问的定义域取交集. （3）把变形为,用基本不等式求最小值,并检验等号成立的条件是否在定义域内. 【小问1详解】 设米,则.由,得,即. 因为,,所以,从而. 又,所以,解得. 所以,其中. 【小问2详解】 由得. 因为,两边同乘得,即. 展开整理得,即,解得或. 又,所以,即的长的取值范围是. 【小问3详解】 由第（1）问得. 因为,所以,当且仅当,即时等号成立. 又,所以. 所以当米时,矩形花坛的面积取得最小值平方米. 17. 已知指数函数. （1）解不等式； （2）求函数在上的最大值. 【答案】（1）当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. （2）当时， 当时， 【解析】 【分析】（1）令，将不等式化为，即，结合，得到，即，对分情况讨论，结合指数函数的单调性及指数与对数互化求解即可. （2）令，将函数化为，则的最大值即为的最大值；对分情况，结合指数函数的单调性求出的范围，再根据轴动区间定问题求的最大值即可. 【小问1详解】 由题意得，且且. 原不等式可化为： 令，则不等式变为：，即，解得， 又，所以，即. ①当时，函数单调递增，解得. 此时不等式的解集为. ②当时，函数单调递减，解得. 此时不等式的解集为. 综上：当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 【小问2详解】 已知. 令，记. ①当时，，的最大值即为在上的最大值. 的对称轴为. 若，，在上单调递增，. 若，抛物线开口向上，对称轴，在上单调递增，. 若，抛物线开口向下， 当，即时，在上单调递增，. 当，即时，在处取得最大值，. 所以当时，. ②当时，，的最大值即为在上的最大值. 若，抛物线开口向上，无最大值. 若，，在上单调递增，无最大值. 若，抛物线开口向下，对称轴. 当，即时，在上单调递增，在上单调递减，. 当，即时，在上单调递减，. 所以当时，. 综上：当时，； 当时，. 18. 已知函数的定义域为，都有，当时，. （1）求的值并证明； （2）判断并证明函数的单调性； （3）若，且，，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） 有 令得，所以 令得，即，所以 （2） 函数在上单调递增，证明如下： 任取，且，则， 函数在上单调递增 （3） 【解析】 【分析】（1）用赋值法即可求的值，观察得到，借用的结论即可证明； （2）根据单调性的定义证明即可，注意利用题目所给条件； （3）依题意在恒成立，由（2）的单调性及（1）中的结论，可求出的最小值，进而题目转化为在闭区间上的恒成立问题，变更主元后结合函数图象求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 不等式即恒成立 则， 由（2）知函数在上单调第增，所以 由得， 恒成立 即恒成立 令，则函数的图象是一条线段， ， 解得或或， 实数的取值范围是 【点睛】方法点睛： 方法一：由题意可知，该抽象函数对应的是对数函数模型，借用对数函数模型即可证明求解； 方法二：抽象函数求值一般利用赋值法；单调性、奇偶性的证明一般利用定义证明. 19. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求实数的值； （2）若函数在区间上的值域是，求的取值范围； （3）若对任意，都有，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义求解即可. （2）根据函数单调性的定义得到函数在上单调递增，结合函数单调性与最值的关系列出不等式组，再结合一元二次方程有两个不等正实根求解即可. （3）由为奇函数将不等式化为，由在上单调递增得到，通过分离参数得到；令，根据复合函数单调性的判断法则得到在上单调递增，结合单调性与最值的关系求解即可. 【小问1详解】 因为是定义在上的奇函数，所以， 即，解得. 当时，，则， 是奇函数，符合题意. 故. 【小问2详解】 ， 任取实数，且， 则， 因为，所以，所以，故函数在上单调递增. 又在区间上的值域是， 所以，整理得， 则是关于的方程的两个不等正根， 所以，解得：. 故的取值范围为. 【小问3详解】 由题意及为奇函数，原不等式等价于： 由（2）知在上单调递增，因此：. 又，则. 又，， 所以， 即. 令， 故只需即可. 令，， 因为，单调递增，所以在上单调递增， 且. 又在上单调递增，所以， 故在上单调递增，且. 故在上单调递增. 当时，， 故，解得. 所以实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $