精品解析：重庆市潼南区初中学校联考2025-2026学年八年级上学期半期测试数学

2025级八年级上期半期考试数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（ ） A. 爱 B. 我 C. 实 D. 中 2. 下列长度的三条线段，能构成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 3，4，5 C. 5，12，17 D. 6，8，20 3. 如图所示，△ABC 中 AB 边上的高线是（ ） A. 线段 DA B. 线段 CA C. 线段 CD D. 线段 BD 4. 如图，已知，则根据图中信息，可得出x的值为（ ） A. 27 B. 30 C. 35 D. 40 5. 以下说法正确的有（ ） ①三角形的中线、角平分线都是射线； ②三角形的三条高所在直线相交于一点； ③三角形的三条角平分线在三角形内部交于一点； ④直角三角形的三条高相交于直角顶点； ⑤三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 6. 如图，，的延长线交于点．若，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在三角形纸片中，，，沿过点的直线将纸片折叠，使点落在上的点处，折痕交于点，再折叠纸片，使点与点重合，折痕交于点，交于点，若，则（　　） A. 2 B. 4 C. 3 D. 5 8. 如图，等边中，D为中点，点P、Q分别为上的点，，在上有一动点E，则的最小值为（　　） A. 11 B. 13 C. 12 D. 10 9. 如图，在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，若，则一定等于（　　） A. B. C. D. 10. 如图，Rt中，，，是上一点，，且，，与交于点，过点作的垂线交的延长线于点，延长，交于点，，垂足为．有下列结论：①；②；③；④．正确的结论的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 点P(-2，3)，则点P关于x轴对称的点的坐标是________． 12. 工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在的两边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M、N重合，这时过角尺顶点P的射线就是的平分线，这里构造全等三角形的依据是________（从“”中选择一个回答）． 13. 如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，则_____°． 14. 如图，已知AD所在直线是△ABC的对称轴，点E、F是AD上的两点，若BC=4，AD=3，则图中阴影部分的面积的值是______． 15. 在中，点、分别为边、的中点，于点，交于点，，若，，则_____． 16. 若一个四位自然数M的千位数字与个位数字之和恰好是百位数字与十位数字之和的2倍，则称这个四位数M为“二中数”．设“二中数”，记，.若是15 的整数倍，且是4的整数倍，则_________；所有满足条件的M的最大值和最小值的差为_________． 三、解答题：（本大题9个小题，第17题、第18题各8分，其余每题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 已知：如图，，，．求证：． 18. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是，每个小正方形的顶点叫做格点．网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）． （1）画出关于直线的对称图形（不写画法）； （2）若网格上的每个小正方形的边长为1，求的面积． 19. 如图，已知，，，求的度数． 20. 是一款人工智能模型，团队为了解用户对此模型的体验感设计了调查问卷．团队从所有的调查问卷中抽取了部分调查问卷绘制成如图所示不完整的统计图．设定选项A为“功能建议”，选项B为“界面优化”，选项C为“报告”，选项D为“其他反馈”．请你根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）抽取的调查问卷共 份， ； （2）补全条形图； （3）扇形图中选项A“功能建议”对应扇形的圆心角度数为 ； （4）在3000份调查问卷中，请估计选择“界面优化”和“报告”的总人数． 21. 如图，在中，，平分， （1）用尺规完成以下基本作图：作的角平分线，分别交，于点O，点E；（保留清晰作图痕迹，不写作法，不下结论） （2）在（1）所作的图形中，完成下面证明的过程． 证明：在中， ∴ ∵平分，平分 ∴ ① ② 在与中， ∴， ∴ 22. 如图，是等边三角形，点D、E分别在上，且，与相交于点F，作垂足为G，． （1）求证：； （2）求的长． 23. 如图，已知，，相交于点，，． （1）求证：． （2）求证：． 24. 在中，动点A在x轴的正半轴上，动点C在y轴的正半轴上，已知，． （1）在图①中，求证：； （2）已知在图②中点A的坐标为，点C的坐标为，求B点的坐标； （3）在图③中，以、为腰在第一、二象限作等腰直角和等腰直角，，，连接交y轴于点P，求证：P为的中点． 25. 已知等边，过点作的垂线交延长线于点． （1）如图1，点为内部一点，满足，为延长线上一点．且，连接、，求证：为等边三角形； （2）如图2，在（1）的条件下，点是中点连接并延长，交于点，连接，若，求证：； （3）如图3，的面积为8，点为线段上一动点，连接、，将沿着直线翻折得到，连接、，当取得最小值时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025级八年级上期半期考试数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（ ） A. 爱 B. 我 C. 实 D. 中 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：∵“爱”“我”“实”均无法找到一条直线，使其沿直线折叠后直线两旁的部分完全重合， ∴它们都不是轴对称图形． ∵“中”可沿竖直中间的线折叠，折叠后直线两旁的部分能够完全重合， ∴“中”是轴对称图形． 2. 下列长度的三条线段，能构成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 3，4，5 C. 5，12，17 D. 6，8，20 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形两边之和大于第三边，判断是否成立即可． 【详解】A选项，1+2=3，不能构成三角形； B选项，3+4>5，能构成三角形； C选项，5+12=17，不能构成三角形； D选项，6+8<20，不能构成三角形； 故选B 【点睛】本题考查了三角形三边关系，根据两条较短边之和大于最长边，可以快速判断． 3. 如图所示，△ABC 中 AB 边上的高线是（ ） A. 线段 DA B. 线段 CA C. 线段 CD D. 线段 BD 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形高线的定义判断即可． 【详解】解：由图可得，△ABC 中 AB 边上的高线是线段CD， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形的高线，钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 4. 如图，已知，则根据图中信息，可得出x的值为（ ） A. 27 B. 30 C. 35 D. 40 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵， ∴，即． 5. 以下说法正确的有（ ） ①三角形的中线、角平分线都是射线； ②三角形的三条高所在直线相交于一点； ③三角形的三条角平分线在三角形内部交于一点； ④直角三角形的三条高相交于直角顶点； ⑤三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【详解】解：①三角形的中线、角平分线都是线段，原说法错误； ②三角形的三条高所在直线相交于一点，正确； ③三角形的三条角平分线在三角形内部交于一点，正确； ④直角三角形的三条高相交于直角顶点，正确； ⑤三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，正确． 所以说法正确的有4个． 6. 如图，，的延长线交于点．若，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质、三角形的内角和定理，根据全等三角形的对应角相等得到，进而利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 7. 如图，在三角形纸片中，，，沿过点的直线将纸片折叠，使点落在上的点处，折痕交于点，再折叠纸片，使点与点重合，折痕交于点，交于点，若，则（　　） A. 2 B. 4 C. 3 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，等边三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，熟知这些知识是解题的关键．先根据折叠和，证得是等边三角形，再得到是含角的直角三角形，最后根据线段的关系即可求得的长． 【详解】解：由折叠性质得：，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 在中，，， ∴，， ∴，， ∴是直角三角形， 在中，， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 8. 如图，等边中，D为中点，点P、Q分别为上的点，，在上有一动点E，则的最小值为（　　） A. 11 B. 13 C. 12 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．在上截取，连接交于点E，得出的最小值，证明是等边三角形，求出结论即可． 【详解】解：在上截取，连接交于点E， ∵是等边三角形，D为中点， ∴点P和关于对称，， ∴， ∴的最小值， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 即的最小值为13， 故选：B． 9. 如图，在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，若，则一定等于（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查四边形的内角和，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质等知识，正确作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 延长到点，使，连接，则，根据，得到，，证得，从而得到，，再推导，证得，进而得到，故，完成求解． 【详解】解：延长到点，使，连接，则， ∵，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 10. 如图，Rt中，，，是上一点，，且，，与交于点，过点作的垂线交的延长线于点，延长，交于点，，垂足为．有下列结论：①；②；③；④．正确的结论的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明，推出，即可判断①正确；求出，，得到，证得，进而证明，得到，由此得到②正确；证明，得到，由此判断故③正确；过点E作于点M，得，证得，由全等三角形的性质得对应高，由此，再证，得，由此判断故④正确 ． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，故②正确； ∵ ∴， ∴， ∴，故③正确； 过点E作于点M， ∵， ∴， ∵， ∴，  ∴， ∵， ∴，  ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确；  正确的结论有4个， 故选：A ． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 点P(-2，3)，则点P关于x轴对称的点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答． 【详解】解：∵点P（-2，3）， ∴点P关于x轴对称的点的坐标是（-2，-3）． 故答案为：（-2，-3）． 【点睛】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 12. 工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在的两边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M、N重合，这时过角尺顶点P的射线就是的平分线，这里构造全等三角形的依据是________（从“”中选择一个回答）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理和性质定理．根据全等三角形的判定定理推出，根据全等三角形的性质得出，根据角平分线的定义得出答案即可． 【详解】解：在和中， . ∴， ∴， 即就是的平分线， 故答案为：． 13. 如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，则_____°． 【答案】30 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的性质等知识点，根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，即可求出的度数，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 【详解】解：∵是中的平分线，是的外角的平分线， ∴，， ∵是的外角， ∴， 故答案为：30． 14. 如图，已知AD所在直线是△ABC的对称轴，点E、F是AD上的两点，若BC=4，AD=3，则图中阴影部分的面积的值是______． 【答案】3 【解析】 【分析】通过轴对称可以知道S△BEF=S△CEF，阴影部分的面积等于三角形ABC面积的一半. 【详解】解：∵△ABC关于直线AD成轴对称， ∴∠ADB=∠ADC=90°，BD=DC， ∵E，F是AD上的两点， ∴△EFB与△EFC关于直线AD成轴对称， ∴S△BEF=S△CEF. ∵S△ABC=4×3÷2=6， ∴S阴影部分=S△ABC=3. 故答案为：3 【点睛】本题考查了轴对称，三角形的面积. 15. 在中，点、分别为边、的中点，于点，交于点，，若，，则_____． 【答案】2 【解析】 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形中位线的性质，连接，过点D作于H，得到，证明，推出四边形为矩形，进而得到，，再证明，得到． 【详解】解：连接，过点D作于H， ∵点、分别为边、的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：2． 16. 若一个四位自然数M的千位数字与个位数字之和恰好是百位数字与十位数字之和的2倍，则称这个四位数M为“二中数”．设“二中数”，记，.若是15 的整数倍，且是4的整数倍，则_________；所有满足条件的M的最大值和最小值的差为_________． 【答案】 ①. 5 ②. 8082 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算、分式的运算等知识，根据定义得到，进一步得到；，，是4的整数倍，则，3，5，7或9，进一步计算即可．读懂题意求出，是解题的关键． 【详解】解：， ， 为正整数， ∵，， ∴， 只能等于，则， ， ∵， ∴可取0到5的数， ∴只能取5，3，1，这六个数， ∵，且为4的倍数， ∴只能取1，这两个数，是4的整数倍， ，3，5，7或9； 由于M的最大值可以千位为9，最小值千位最小可以为1， 当时，取到最小值，，， ， 为正整数，且小于10， 或2， 当，时，取到最小值，，， 的最小值为1239， 当，时，取到最小值，，， 的最大值为9321， ． 故答案为： 5，8082． 三、解答题：（本大题9个小题，第17题、第18题各8分，其余每题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 已知：如图，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的几种判定方法． 先由线段和得到，再由平行线的性质得到，再结合已知条件即可证明． 【详解】略 18. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是，每个小正方形的顶点叫做格点．网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）． （1）画出关于直线的对称图形（不写画法）； （2）若网格上的每个小正方形的边长为1，求的面积． 【答案】（1） 如图所示即为所求 （2）8.5 【解析】 【分析】（1）直接利用关于直线对称点的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）利用△ABC所在矩形面积减去周围多余直角三角形的面积进而得出答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的面积为． 【点睛】此题主要考查了轴对称变换、网格中三角形面积求法，正确找出对应点位置是解题关键． 19. 如图，已知，，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质和三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的性质和三角形的内角和定理，熟知全等三角形的对应角相等是解答的关键． 20. 是一款人工智能模型，团队为了解用户对此模型的体验感设计了调查问卷．团队从所有的调查问卷中抽取了部分调查问卷绘制成如图所示不完整的统计图．设定选项A为“功能建议”，选项B为“界面优化”，选项C为“报告”，选项D为“其他反馈”．请你根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）抽取的调查问卷共 份， ； （2）补全条形图； （3）扇形图中选项A“功能建议”对应扇形的圆心角度数为 ； （4）在3000份调查问卷中，请估计选择“界面优化”和“报告”的总人数． 【答案】（1）200； （2） （3） （4）1650人 【解析】 【分析】（1）利用选项A的数量除以其所占的百分比求得总数，再利用选项D的数量除以总数求解即可； （2）先利用选项B所占百分比乘以样本容量求得其数量，再补全统计图即可； （3）利用选项A的百分比乘以即可求解； （4）先求得选项B和选项C所占百分比的和，再乘以总人数即可． 【小问1详解】 解：由图得，抽取的调查问卷共（份）， ； 【小问2详解】 解：选项B的人数为：； 条形统计图略 【小问3详解】 解：， 答：选项A“功能建议”对应扇形的圆心角度数为； 【小问4详解】 解：由题意得，（人）， 答：选择“界面优化”和“报告”的总人数为1650人． 21. 如图，在中，，平分， （1）用尺规完成以下基本作图：作的角平分线，分别交，于点O，点E；（保留清晰作图痕迹，不写作法，不下结论） （2）在（1）所作的图形中，完成下面证明的过程． 证明：在中， ∴ ∵平分，平分 ∴ ① ② 在与中， ∴， ∴ 【答案】（1） 如图， （2）①；②；③；④ 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图作角平分线，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）直接根据角平分线的作法作答即可； （2）根据已知条件和角平分的性质、等腰三角形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质补充过程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 如图，是等边三角形，点D、E分别在上，且，与相交于点F，作垂足为G，． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1） 证明：∵为等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质， 等边三角形的性质，含30 度角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练的掌握全等三角形的判定和性质， 等边三角形的性质，含30 度角的直角三角形的性质． （1）根据等边三角形的性质可得，，即可求证； （2）根据全等三角形的性质可得，从而得到，进而得到，再由直角三角形的性质解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 23. 如图，已知，，相交于点，，． （1）求证：． （2）求证：． 【答案】（1） 证明：， ， 在和中， ， ， ． （2） 如图，令交于点O， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用说明，进而可得结论； （2）利用全等三角形的性质说明，再利用对顶角相等得，因此得到，进而可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 在中，动点A在x轴的正半轴上，动点C在y轴的正半轴上，已知，． （1）在图①中，求证：； （2）已知在图②中点A的坐标为，点C的坐标为，求B点的坐标； （3）在图③中，以、为腰在第一、二象限作等腰直角和等腰直角，，，连接交y轴于点P，求证：P为的中点． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴； （2） （3） 证明：如图③，过点B作轴交y轴于点M，过点E作轴交y轴于点N， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可证， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴P为的中点． 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形、等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，是解此题的关键． （1）由题可知，再根据同角的余角相等即可获证； （2）过点B作轴交y轴于点D，结合（1）中的结论和，用证得，，，即可求得B点的坐标； （3）过点B作轴交y轴于点M，过点E作轴交y轴于点N，由（2）中的经验可同样证得，，进而有，再用证，则有，即可获证结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴，， 如图②，过点B作轴交y轴于点D， ∴， 由（1）知， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴B点的坐标为； 【小问3详解】 略 25. 已知等边，过点作的垂线交延长线于点． （1）如图1，点为内部一点，满足，为延长线上一点．且，连接、，求证：为等边三角形； （2）如图2，在（1）的条件下，点是中点连接并延长，交于点，连接，若，求证：； （3）如图3，的面积为8，点为线段上一动点，连接、，将沿着直线翻折得到，连接、，当取得最小值时，请直接写出的面积． 【答案】（1） 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 是等边三角形； （2） 延长至，使，连接，如下图所示： 点是中点 在和中， ， ， ，， 由（1）得：是等边三角形 在和中， ，    ， （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意证明，可得到，，进一步得出结论； （2）延长至，使，连接，可证得，进而得到，，再证明，可得到，最后进一步得出结论； （3）由翻折的性质可知点在关于直线对称的直线上运动，，当时，可取得最小值，过作于点，设，根据含角的直角三角形可知，进而得到，然后根据已知条件可得是等边三角形，，可得到，同理可求得，最后根据三角形面积公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：沿着直线翻折得到， 当点在上运动时，点在关于直线对称的直线上运动，， 当时，可取得最小值，过作于点， ∵ ∴， ∴, ∴， ∴， 则当取得最小值时，在边上， 如下图所示： 设，则， 是等边三角形， ， ， ， ， ，， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ，即； 是等边三角形，， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，图形翻折的性质，等边三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质等知识，找出全等三角形，最值是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $