精品解析：河南省新乡市第十中学2026-2027学年上学期九年级数学期中试卷

新乡十中2026-2027学年上学期九年级期中数学试卷 一．选择题（共10题，每小题3分，共30分） 1. 起源于中国的围棋深受青少年喜爱．以下由黑白棋子形成的图案中，为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 将二次函数的图象先向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后的抛物线对应的函数表达式为( ) A. B. C. D. 4. 已知关于x的一元二次方程 有两个实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 其图像的开口向上 B. 其图像的对称轴为直线 C. 其最小值为5 D. 当时，y随x的增大而增大 6. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致（ ） A. B. C. D. 7. 一个小组共有x人，端午节互送荷包，若全组共送72个，下面所列方程正确的是（　　） A. x2＝72 B. x（x﹣1）＝72 C. （x﹣1）2＝72 D. ＝72 8. 下表给出了二次函数中的部分对应值，可以估计方程的一个解的取值范围是（ ） … 0.25 0.5 0.75 1 … … 1.31 3 … A. B. C. D. 9. 石拱桥是我国古代人民建筑艺术上的智慧象征如图，拱桥的形状是抛物线，其函数解析式为，当水面离拱顶的距离为m时，水面的宽度为（ ）. A. B. C. D. 10. 如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：；②；③；④．其中正确结论有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二．填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 已知方程的一个根是1，则m的值为________． 12. 若抛物线经过点（2，8），则a=_________________． 13. 如图，将绕点顺时针方向旋转到，点的对应点恰好落在上，且．若，则的度数为___________． 14. 如图，、两点在双曲线上，分别经过、两点向坐标轴作垂线段，已知，则___________． 15. 规定：两个函数，的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数与的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y函数”．若函数（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式为______． 三．解答题（共8小题） 16. 解下列方程 （1）； （2）． 17. 已知关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）若方程的两根x1，x2满足x12+x22＝16，求k的值． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，． （1）试作出以为旋转中心，沿顺时针方向旋转后的图形； （2）以原点为对称中心，画出与关于原点成中心对称的，且坐标为______． 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求的值； （2）直接写出不等式的解集是___________； （3）求的面积． 20. 已知二次函数． （1）直接写出该二次函数图象的对称轴是 ； （2）请补全表格，并在如图所示的平面直角坐标系中描出表中各点，画出图象； x 0 1 2 3 y 0 （3）根据图象回答下列问题： ①当时，x的取值范围为 ； ②当时，y的取值范围为： ； ③当(k是常数)时，y随x的增大而减小，实数k的取值必须满足条件： ； 21. 区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法，小聪搜集了某路段测速区间内若干小型汽车行驶的平均速度与行驶时间的数据如表． 小型车辆 行驶时间 平均速度 0.5 60 0.3 100 0.6 50 0.4 75 （1）根据调查数据可知，该路段测速区间内小型汽车平均速度是行驶时间的函数，求与之间的函数关系式： （2）若某辆小汽车通过该测速区间的行驶时间为，求它的平均速度： （3）已知该测速区间限速要求不超过，小汽车通过该测速区间时，行驶时间应控制在怎样的范围内？ 22. 某商店销售一种成本为40元／件的玩具，若按50元／件销售，则月销售量为500件，若每件玩具的售价每涨1元，则月销售量就减少10件．设售价为元／件，月销售量为件，月销售利润为元． （1）与的函数解析式为__________，与的函数解析式为__________．（不用写的取值范围） （2）商店为了尽量让利给顾客，同时使月销售利润达到8000元，销售价应定为多少元／件？ （3）当销售价定为多少元／件时会获得最大利润？求出最大利润． 23. 如图1，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，点B在线段AE上，点C在线段AD上． （1）请直接写出线段BE与线段CD的关系： ； （2）如图2，将图1中的△ABC绕点A顺时针旋转角α（0＜α＜360°）， ①（1）中的结论是否成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由； ②当AC=ED时，探究在△ABC旋转的过程中，是否存在这样的角α，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出角α的度数；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新乡十中2026-2027学年上学期九年级期中数学试卷 一．选择题（共10题，每小题3分，共30分） 1. 起源于中国的围棋深受青少年喜爱．以下由黑白棋子形成的图案中，为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义判断即可，解题的关键是正确理解中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】解：、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，是中心对称图形，符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，不是中心对称图形，不符合题意； 故选：． 2. 下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义； 含有一个未知数且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此判断即可． 【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程； B、不是整式方程，不是一元二次方程； C、是一元二次方程； D、整理后为，不是一元二次方程； 故选：C． 3. 将二次函数的图象先向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后的抛物线对应的函数表达式为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：向左平移1个单位长度得，再向上平移3个单位长度得． 4. 已知关于x的一元二次方程 有两个实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 根据根的情况得到，进而求解即可． 【详解】解：∵方程有两个实数根， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 5. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 其图像的开口向上 B. 其图像的对称轴为直线 C. 其最小值为5 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解决此题的关键．根据题目中的函数解析式，可以写出该函数图象的开口方向、对称轴、最值和顶点坐标，从而可以判断哪个选项是符合题意的． 【详解】解：∵，， ∴该函数的图象开口向下，故选项A不符合题意； 对称轴是直线，故选项B不符合题意； 当时y取得最大值，故选项C不符合题意； 当时，y随x的增大而增大，故选项D符合题意； 故选：D． 6. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和一次函数的图象，分两种情况讨论是解题的关键． 分两种情况讨论，当时，分析出一次函数和反比例函数所过象限；再分析出时，一次函数和反比例函数所过象限，对选项一一分析符合题意者即为正确答案． 【详解】解：①当时，一次函数图象过一、三、四象限；反比例函数图象过一、三象限； ②当k＜0时，一次函数图象过一、二、四象限；反比例函数图象过二、四象限， A．由反比例函数知，一次函数图象应过一、三、四象限，而该选项一次函数图象过一、二、三象限，故该选项不正确，不符合题意； B．由反比例函数知，一次函数图象应过一、二、四象限，而该选项一次函数图象过一、三、四象限，故该选项不正确，不符合题意； C．由反比例函数知，一次函数图象应过一、三、四象限，而该选项一次函数图象过一、二、四象限，故该选项不正确，不符合题意； D．由反比例函数知，一次函数图象应过一、二、四象限，该选项一次函数图象过一、二、四象限，故该选项正确，符合题意． 故选：D． 7. 一个小组共有x人，端午节互送荷包，若全组共送72个，下面所列方程正确的是（　　） A. x2＝72 B. x（x﹣1）＝72 C. （x﹣1）2＝72 D. ＝72 【答案】B 【解析】 【分析】一个小组共有x人，则每个人送出去（x－1）个荷包，根据全组共送72个，列方程即可． 【详解】由题意得，x(x－1)＝72． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，弄清题意，找准等量关系是解题的关键． 8. 下表给出了二次函数中的部分对应值，可以估计方程的一个解的取值范围是（ ） … 0.25 0.5 0.75 1 … … 1.31 3 … A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数值的正负变化，确定方程解所在的范围． 【详解】解：方程的解是函数中时的值， 由表格得，当时，；当时，， ∵二次函数的图象是连续的， ∴在的范围内存在使得， 即方程的一个解的取值范围是． 9. 石拱桥是我国古代人民建筑艺术上的智慧象征如图，拱桥的形状是抛物线，其函数解析式为，当水面离拱顶的距离为m时，水面的宽度为（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，得到方程求解，进而得到水面的宽度． 【详解】解：根据题意，令，解得：， 故水面的宽度为米． 10. 如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：；②；③；④．其中正确结论有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①∵抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴在y轴的右侧， ∴a，b异号，即， ∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴， ∴， ∴，故①正确； ②∵图象与x轴交于点，对称轴为直线， ∴图象与x轴的另一个交点为， ∴当时，， ∴，故②错误； ③∵图象与轴的交点在和之间，对称轴为直线， ∴顶点的纵坐标要小于， ∴， ∵ ∴，故③正确； ④∵图象与轴的交点在和之间， ∴， ∵图象经过点与， ∴的两根为和3， ∴， ∴， ∴， ∴，故④错误； 综上：正确的有2个. 二．填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 已知方程的一个根是1，则m的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的定义，即可求解． 【详解】解：将代入得：，解得． 故答案是：2． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的根，掌握一元二次方程根的定义，是解题的关键． 12. 若抛物线经过点（2，8），则a=_________________． 【答案】2 【解析】 【分析】将点（2，8）代入y＝ax2可得关于a的方程，解之可得． 【详解】解：将点（2，8）代入y＝ax2， 得4a＝8， 解得a＝2， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数图象上点的坐标符合二次函数的解析式． 13. 如图，将绕点顺时针方向旋转到，点的对应点恰好落在上，且．若，则的度数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由旋转知且对应角相等；点落在上，所以，由得是等腰三角形，；又，由内错角相等得，而旋转保持角不变，；最后由三角形内角和求出． 【详解】解：∵绕点顺时针旋转到， ∴，， ∴． ∵点在上， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 14. 如图，、两点在双曲线上，分别经过、两点向坐标轴作垂线段，已知，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用反比例函数的几何意义，可得过两点向坐标轴作垂线段形成的矩形面积均为，结合已知阴影面积分别表示出、，再计算两者的和． 【详解】解：将双曲线解析式整理为， ∵反比例函数中，过图象上任意一点向两坐标轴作垂线段，形成的矩形面积为， ∴过两点对应的矩形面积均为， ∵两矩形的重叠部分为阴影区域，且， ∴， ∴， ∴ ． 15. 规定：两个函数，的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数与的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y函数”．若函数（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式为______． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况，根据关于y轴对称的图形的对称点的坐标特点，即可求得． 【详解】解：函数（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点， 函数（k为常数）的图象与x轴也只有一个交点， 当k=0时，函数解析为，它的“Y函数”解析式为，它们的图象与x轴只有一个交点， 当时，此函数是二次函数， 它们的图象与x轴都只有一个交点， 它们的顶点分别在x轴上， ，得， 故k+1=0，解得k=-1， 故原函数的解析式为， 故它的“Y函数”解析式为， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了新定义，二次函数图象与x轴的交点问题，坐标与图形变换-轴对称，求一次函数及二次函数的解析式，理解题意和采用分类讨论的思想是解决本题的关键． 三．解答题（共8小题） 16. 解下列方程 （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的求解，准确计算是解题的关键． （1）利用配方法计算即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 ， ， ， ， ，或， ，． 【小问2详解】 ， ， ， ， 或， ，． 17. 已知关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）若方程的两根x1，x2满足x12+x22＝16，求k的值． 【答案】（1）k＜1；（2）k＝﹣1． 【解析】 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式＞0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围； （2）根据根与系数的关系及x12+x22＝16，即可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出k值，再结合（1）的结论即可确定k的值． 【详解】解：（1）∵a＝1，b＝2（k﹣1），c＝k2﹣1， ∴＝b2﹣4ac＞0，即[2（k﹣1）]2﹣4×1×（k2﹣1）＞0， ∴k＜1． （2）∵关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0的两根为x1，x2， ∴x1+x2＝﹣2（k﹣1），x1x2＝k2﹣1． ∵x12+x22＝16， ∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝16，即[﹣2（k﹣1）]2﹣2（k2﹣1）＝16， 整理，得：k2﹣4k﹣5＝0， 解得：k1＝5，k2＝﹣1． 又∵k＜1， ∴k＝﹣1． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、根的判别式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，． （1）试作出以为旋转中心，沿顺时针方向旋转后的图形； （2）以原点为对称中心，画出与关于原点成中心对称的，且坐标为______． 【答案】（1） 根据题意，作图如下： ， 则即为所求． （2） 画图如下： ． 则即为所求， 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质，结合旋转的方向作图即可； （2）根据原点对称的点的坐标特点，确定坐标后画图即可． 本题考查了旋转作图，原点对称的作图，熟练掌握作图的基本要领，确定坐标是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据题意，，，关于原点的对称点分别为，，．且． 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求的值； （2）直接写出不等式的解集是___________； （3）求的面积． 【答案】（1），． （2）的取值范围是或． （3）． 【解析】 【分析】先把、两点的坐标代入反比例函数中，求出参数与． 再由、两点列方程组，求出一次函数的、，把分式不等式按的正负分类化成整式不等式求解． 最后由一次函数解析式求出直线与轴的交点，把分割成两个直角三角形求面积． 【小问1详解】 解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴． ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：点、都在一次函数的图象上， 根据函数图象可得：不等式的解集是或． 【小问3详解】 解：∵点、都在一次函数的图象上， ∴ 解得： ∴一次函数的解析式为， ∴直线与轴交于点，则 ∴， ． 20. 已知二次函数． （1）直接写出该二次函数图象的对称轴是 ； （2）请补全表格，并在如图所示的平面直角坐标系中描出表中各点，画出图象； x 0 1 2 3 y 0 （3）根据图象回答下列问题： ①当时，x的取值范围为 ； ②当时，y的取值范围为： ； ③当(k是常数)时，y随x的增大而减小，实数k的取值必须满足条件： ； 【答案】（1）直线 （2） 列表如下： x 0 1 2 3 y 0 函数图象如下所示： （3）①或；②；③ 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，画二次函数图象，求二次函数值： （1）根据对称轴计算公式求解即可 （2）先求出对应的函数值，再补全表格，然后描点连线即可； （3）①②根据函数图象求解即可；③根据题意可得在对称轴左边，y随x的增大而减小，据此可得答案． 【小问1详解】 解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数的对称轴为直线， 故答案为：直线； 【小问2详解】 解：略． 【小问3详解】 解：①由函数图象可知，当时，x的取值范围为或， 故答案为：或； ②由函数图象可知，当时，y的取值范围为， 故答案为：； ③∵二次函数开口向上，对称轴为直线， ∴在对称轴左边，y随x的增大而减小， ∵当(k是常数)时，y随x的增大而减小， ∴， 故答案为：． 21. 区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法，小聪搜集了某路段测速区间内若干小型汽车行驶的平均速度与行驶时间的数据如表． 小型车辆 行驶时间 平均速度 0.5 60 0.3 100 0.6 50 0.4 75 （1）根据调查数据可知，该路段测速区间内小型汽车平均速度是行驶时间的函数，求与之间的函数关系式： （2）若某辆小汽车通过该测速区间的行驶时间为，求它的平均速度： （3）已知该测速区间限速要求不超过，小汽车通过该测速区间时，行驶时间应控制在怎样的范围内？ 【答案】（1） （2） （3） 行驶时间应不小于 【解析】 【分析】（1）由测速区间路程固定，可知v与t成反比例函数关系，代入表中数据求解解析式； （2）将给定行驶时间代入函数解析式，计算平均速度； （3）根据限速要求列不等式，结合时间的实际意义求解取值范围.  【小问1详解】  解：∵测速区间的路程为定值，设为，则， ∴是的反比例函数，设， 将，代入，得，解得， ∴与的函数关系式为. 【小问2详解】 解：将代入， 得； 故它的平均速度为； 【小问3详解】 解：∵测速区间限速不超过， ∴， ∵，且， ∴，两边同乘，得， 解得； 答：行驶时间应控制在不小于的范围内. 22. 某商店销售一种成本为40元／件的玩具，若按50元／件销售，则月销售量为500件，若每件玩具的售价每涨1元，则月销售量就减少10件．设售价为元／件，月销售量为件，月销售利润为元． （1）与的函数解析式为__________，与的函数解析式为__________．（不用写的取值范围） （2）商店为了尽量让利给顾客，同时使月销售利润达到8000元，销售价应定为多少元／件？ （3）当销售价定为多少元／件时会获得最大利润？求出最大利润． 【答案】（1）； （2）60元/件 （3）销售价定为70元/件时会获得最大利润9000元 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用和一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意找准等量关系正确列出函数关系式． （1）根据月销售量（定价-50），月销售利润=每件利润×销售数量，根据以上所列等量关系可得函数解析式； （2）根据月销售利润达到8000元列方程求解即可； （3）将w关于x的函数解析式配方成顶点式，再利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵售价为x元/件，，且当时，，售价每涨1元，销量减少10件 ∴月销售量； 月销售利润 ∴y与x的函数解析式为，w与x的函数解析式为， 故答案为：；； 【小问2详解】 解：令，则， 整理得， 整理得， 解得或。 ∵要尽量让利给顾客。 ∴销售价应定为60元/件。 答：销售价应定为60元/件； 【小问3详解】 解： ， ∵， ∴当时，w有最大值9000， 答：当销售价定为70元/件时会获得最大利润9000元． 23. 如图1，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，点B在线段AE上，点C在线段AD上． （1）请直接写出线段BE与线段CD的关系： ； （2）如图2，将图1中的△ABC绕点A顺时针旋转角α（0＜α＜360°）， ①（1）中的结论是否成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由； ②当AC=ED时，探究在△ABC旋转的过程中，是否存在这样的角α，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出角α的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）BE=CD； （2）①解：成立，理由如下： ∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，∴AB=AC，AE=AD，由旋转的性质可得∠BAE=∠CAD，在△BAE与△CAD中，∵AB=AC，∠BAE=∠CAD，AE=AD，∴△BAE≌△CAD（SAS），∴BE=CD； ②存在，α=45°． 【解析】 【分析】（1）由△ABC和△AED都是等腰直角三角形，得到AB=AC，AE=AD，即可得到BE=CD； （2）①由△ABC和△AED都是等腰直角三角形，得到AB=AC，AE=AD，由旋转的性质可得∠BAE=∠CAD，得到△BAE≌△CAD，根据全等三角形的性质即可得到结论； ②由平行四边形的性质可得∠ABC=∠ADC=45°，再由等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：（1）∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，∴AB=AC，AE=AD，∴AE﹣AB=AD﹣AC，∴BE=CD； （2）①略 ②存在，α=45°．∵以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC=45°，∵AC=ED，∴∠CAD=45°， ∴角α的度数是45°． 【点睛】本题考查几何变换综合题；旋转的性质；平行四边形的性质；探究型；存在型；综合题；压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $