精品解析：江西赣州市龙南中学2026-2027学年度第一学期期中学业水平质量检测高二数学试题

江西省龙南中学2026-2027学年度第一学期期中学业水平质量检测 高二数学试题 一、单选题（每小题5分） 1. 已知直线l经过，两点，则直线l的斜率为（ ） A. 2 B. C. D. -2 【答案】A 【解析】 【分析】由直线的斜率公式计算求解. 【详解】因为直线l经过，两点，所以直线l的斜率． 2. 过的直线与圆交于，两点，当弦长度最短时，直线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据时弦长最小，即可根据垂直关系求解斜率得解. 【详解】由于点位于圆内，圆心为，故当直线时，此时最短， ,则直线的斜率为，且直线经过，故直线的方程为，即. 3. 圆：与圆：的位置关系及公切线条数分别为（ ） A. 外切，3条 B. 内切，1条 C. 相交，2条 D. 外离，4条 【答案】A 【解析】 【详解】圆：的圆心为，半径， 圆：的圆心为，半径， 两个圆心之间的距离, 两个半径和为，因为，所以两个圆外切， 两个圆外切时，有3条公切线. 4. “”是“直线与垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分必要条件的知识点解答. 【详解】当时，两条直线分别为：和，所以斜率均存在，且乘积为：，所以两直线垂直，所以充分性成立； 当时，易得两直线分别为：和，明显不垂直；当时，若两直线垂直，则，解得：，所以必要性不成立， 综上所述，“”是“直线与垂直”的充分不必要条件. 5. 已知，分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆C上．若，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】结合椭圆的定义和可求解. 【详解】因为，所以． 由椭圆的定义及题意，得在中， ，， 所以． 6. 设椭圆和双曲线的离心率分别为，．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，得， 由椭圆和双曲线的方程，得，， 所以，解得．因为，所以. 7. 已知点，动直线：，作于点，则点到坐标原点距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先确定动直线恒过的定点，结合垂直关系得到点P的轨迹为圆，再利用圆上点到原点的最小距离为圆心到原点的距离减半径求解. 【详解】将直线的方程整理为， 令，解得，即直线恒过定点， 因为，垂足为，所以， 根据直径所对圆周角为直角，可知点的轨迹是以线段为直径的圆， 因为、，则圆心为的中点，半径， 原点到圆心的距离为， 而圆上点到圆外点的最小距离为点到圆心的距离减半径， 故点到原点的最小距离为. 8. 已知点关于直线对称的点在圆：外，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】设，利用点关于线对称列方程求得Q坐标，代入圆方程得出不等式计算即可. 【详解】设点关于直线对称的点， 则，解得. 因为在圆外，所以，可得 且表示圆可得，即得 综上可得. 二、多选题（每小题6分） 9. 已知椭圆的两个焦点分别为，，点为上的动点，以下正确的是（ ） A. 椭圆的焦距为2 B. 的周长为6 C. 的最小值为 D. 椭圆离心率为 【答案】ABD 【解析】 【详解】选项A：椭圆的焦距为，故A正确； 选项B：由椭圆的定义得，又，因此的周长为，故B正确； 选项C：椭圆上的点到焦点的距离最小值为，即的最小值为1，不是，故C错误； 选项D：椭圆的离心率，故D正确. 10. 已知实数满足曲线的方程，则下列选项正确的是（ ） A. 的最大值是 B. 的最大值是 C. 的最小值是 D. 过点作曲线的切线，则切线方程为 【答案】BD 【解析】 【分析】先将圆的一般方程化为标准方程，找出圆心和半径，A、B、C三个选项分别利用“圆上点到定点距离”、“两点连线斜率”、“截距”的几何意义，结合圆心到直线距离公式求解；D选项利用“点在圆上，切线与半径垂直”的性质求出切线方程． 【详解】因为， 所以圆C的圆心，半径为. 对于A项，表示圆上的点到定点距离的平方，如图所示，    所以的最大值为， 故A项错误； 对于B项，表示圆上的点与点的连线的斜率，如图所示，    设，即，由题意直线与圆C有公共点， 故圆心到直线的距离， 解得，所以的最大值为，故B项正确； 对于选项C：设，则直线方程为， 当直线与圆C有公共点时，圆心到直线的距离 ，即， 即，解得，所以的最小值为，故C错误； 对于D项，设过点作曲线C的切线，则其斜率存在，故可设切线方程为， 由圆心到直线的距离可得，解得， 所以切线方程为，即，故D项正确； 11. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，则下列结论正确的是（） A. 双曲线的离心率为2 B. 双曲线的渐近线方程为 C. 若为上一点，且，则或9 D. 若为上一点，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】A.从标准方程求得，代入离心率公式直接计算；B.根据焦点位置对应渐近线公式，代入化简求解；C.先用双曲线定义列方程求代数解，再结合“焦半径最小值为顶点到焦点的距离”检验解的合理性，排除不可能的结果；D.利用“双曲线上的点到同侧焦点的距离最小值为”，分析的取值范围，即可求解. 【详解】由双曲线，得，，因此，， ，焦点在轴上，左、右焦点，. 选项A，离心率，A正确 选项B，焦点在轴的双曲线，渐近线方程为， 代入得，B正确； 选项C，由双曲线定义：， 代入，代数解得或9. 但双曲线右支上的点到左焦点的最小距离为（右顶点到的距离）， 而，因此只能在左支. 左支满足，故， ，不符合，需舍去，C错误； 选项D，双曲线右支上的点到右焦点的最小距离为（右顶点到的距离）； 左支上的点到的最小距离为， 因此对双曲线上任意点，都有，D正确. 三、填空题（每小题5分） 12. 已知直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角为______． 【答案】## 【解析】 【分析】由直线的方向向量求得直线的斜率，进而得到倾斜角. 【详解】因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率， 设直线的倾斜角为，则，又，所以. 13. 已知直线l：与圆C：，若直线l与圆C相交于A，B两点，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的标准方程求出圆心和半径，求出圆心到直线的距离，并构造直角三角形，利用勾股定理即可列出方程求解. 【详解】过圆心作， 圆C：的圆心，半径为3， 圆心到直线l：的距离， ， 由勾股定理得， 即， 解得. 14. 设直线与双曲线的一条渐近线平行，则双曲线的离心率为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据渐近线方程和离心率公式计算. 【详解】双曲线的渐近线为：，直线与其平行， 所以，所以离心率为： 四、解答题 15. 已知的三个顶点是，，． （1）求边上的中线所在直线的一般式方程； （2）求边上的高所在直线的一般式方程； （3）求边的垂直平分线的一般式方程． 【答案】（1）边AB上的中线所在直线的一般式方程为. （2）边BC上的高所在直线的一般式方程为. （3）边AC的垂直平分线的一般式方程为. 【解析】 【小问1详解】 设的中点为，由中点坐标公式得，即； 中线经过点与，其斜率； 所以中线所在直线的方程为，整理得. 【小问2详解】 直线的斜率； 设边上的高线斜率为，由垂直关系得； 又高所在直线过点， 故由点斜式得边上的高所在直线的，整理得. 【小问3详解】 设的中点为，由中点坐标公式得，即； 直线的斜率，其垂直平分线的斜率； 则边的垂直平分线的方程为，整理得. 16. 已知圆：． （1）求过点且与圆相切的直线方程； （2）已知直线：与圆交于，两点，若，求实数的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）先判断点和圆的位置关系，得出过点的切线数量，然后分斜率存在和切线斜率不存在两种情况讨论. （2）利用列出关于的不等式，求解出的范围即可. 【小问1详解】 圆整理得，圆心，半径． ，故点在圆外，切线有两条． ①当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 则，即，解得，切线方程为； ②当切线斜率不存在时，切线方程为，此时圆心到的距离，符合题意． 所以所求切线方程为或． 【小问2详解】 圆心到直线：的距离， 弦长， 由得，即， 所以，化简得，即．所以实数的取值范围是． 17. 已知抛物线 的顶点在原点，焦点在 轴正半轴上，且经过点 ． （1）求抛物线 的方程； （2）过点 作直线 交抛物线于 ， 两点，若 恰为弦 的中点，求直线 的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出抛物线方程，代入点求解即可. （2）根据“点差法”求出斜率，结合直线的点斜式方程求解即可． 【小问1详解】 设 （）， 因为抛物线经过 ，代入得 ，， 所以抛物线方程为 ． 【小问2详解】 设 ，，则 ，， 两式相减得 ， 又 是 的中点，所以 ， 于是 ， 所以 ，即 ． 18. 已知椭圆：与双曲线：（，）有公共焦点，为与的一个公共点，且在第一象限． （1）求双曲线的半焦距； （2）若，求双曲线的标准方程； （3）求点的坐标及的面积． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的标准方程求出半焦距，利用椭圆与双曲线有公共焦点即可得双曲线的半焦距； （2）利用椭圆定义和余弦定理求出，再由双曲线定义求出，结合求出，即可得出标准方程； （3）联立双曲线与椭圆的方程求出点的坐标，利用三角形面积公式求出面积即可. 【小问1详解】 已知椭圆中，， 故椭圆的半焦距，解得. 因为双曲线与椭圆有公共焦点，所以双曲线的半焦距为； 【小问2详解】 设.因为点在第一象限，所以. 由椭圆的定义得. 在中，，由余弦定理得：， 即. 又因为， 代入上式得： ， 由双曲线的定义得， 两边平方得， 所以，即，解得. 又因为，所以. 故双曲线的标准方程为； 【小问3详解】 由（2）知双曲线的方程为，即. 将其代入椭圆的方程并整理得：， 即，解得. 因为点在第一象限，所以，代入得，故. 所以点的坐标为. 因此的面积. 19. 已知双曲线：，过点，焦距为，点． （1）求双曲线C的标准方程； （2）是否存在过点的直线l，与双曲线C交于P，Q两点，使得是以为顶角的等腰三角形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在直线，或． 【解析】 【分析】（1）利用焦距和双曲线上的点联立方程求出，即得其标准方程； （2）先假设存在直线，可得线段的中点满足，设直线的方程与双曲线方程联立，写出韦达定理，求出点的坐标，分和两种情形，结合图形及计算求出直线的斜率即得直线方程. 【小问1详解】 ∵焦距为，，①， 在双曲线上，②． 联立①②，解得，． 所以双曲线的标准方程为． 【小问2详解】 由（1）可知，假设存在直线，使是以为顶角的等腰三角形． 设线段的中点为，则． 当直线斜率不存在时，：与双曲线相离，不合题意，舍去； 当直线斜率存在时，设斜率为，则：． 联立消去，整理得． 由且得，且． 设，则， 所以，则， 即. ①当，即时，，代入双曲线的方程得，此时，符合题意． ②当，即时，直线的斜率． 由得，解之得或（舍去）， 此时直线的方程为，即． 综上所述：存在直线，其方程为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省龙南中学2026-2027学年度第一学期期中学业水平质量检测 高二数学试题 一、单选题（每小题5分） 1. 已知直线l经过，两点，则直线l的斜率为（ ） A. 2 B. C. D. -2 2. 过的直线与圆交于，两点，当弦长度最短时，直线的方程是（ ） A. B. C. D. 3. 圆：与圆：的位置关系及公切线条数分别为（ ） A. 外切，3条 B. 内切，1条 C. 相交，2条 D. 外离，4条 4. “”是“直线与垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 不充分也不必要条件 5. 已知，分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆C上．若，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 6. 设椭圆和双曲线的离心率分别为，．若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，动直线：，作于点，则点到坐标原点距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点关于直线对称的点在圆：外，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 二、多选题（每小题6分） 9. 已知椭圆的两个焦点分别为，，点为上的动点，以下正确的是（ ） A. 椭圆的焦距为2 B. 的周长为6 C. 的最小值为 D. 椭圆离心率为 10. 已知实数满足曲线的方程，则下列选项正确的是（ ） A. 的最大值是 B. 的最大值是 C. 的最小值是 D. 过点作曲线的切线，则切线方程为 11. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，则下列结论正确的是（） A. 双曲线的离心率为2 B. 双曲线的渐近线方程为 C. 若为上一点，且，则或9 D. 若为上一点，则 三、填空题（每小题5分） 12. 已知直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角为______． 13. 已知直线l：与圆C：，若直线l与圆C相交于A，B两点，且，则______． 14. 设直线与双曲线的一条渐近线平行，则双曲线的离心率为_________． 四、解答题 15. 已知的三个顶点是，，． （1）求边上的中线所在直线的一般式方程； （2）求边上的高所在直线的一般式方程； （3）求边的垂直平分线的一般式方程． 16. 已知圆：． （1）求过点且与圆相切的直线方程； （2）已知直线：与圆交于，两点，若，求实数的取值范围． 17. 已知抛物线 的顶点在原点，焦点在 轴正半轴上，且经过点 ． （1）求抛物线 的方程； （2）过点 作直线 交抛物线于 ， 两点，若 恰为弦 的中点，求直线 的方程． 18. 已知椭圆：与双曲线：（，）有公共焦点，为与的一个公共点，且在第一象限． （1）求双曲线的半焦距； （2）若，求双曲线的标准方程； （3）求点的坐标及的面积． 19. 已知双曲线：，过点，焦距为，点． （1）求双曲线C的标准方程； （2）是否存在过点的直线l，与双曲线C交于P，Q两点，使得是以为顶角的等腰三角形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $