精品解析：江西省南康中学2025-2026学年度第二学期高二年级期中测试数学试卷

南康中学2025-2026学年度第二学期高二年级期中测试 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分；共40分． 1. 数列满足：，若，，则（ ） A. 1 B. －1 C. 5 D. －5 【答案】D 【解析】 【分析】通过递推公式求出数列的周期，再利用周期计算即可. 【详解】由题意可得， 用代替可得：， 两式相加，得， ， 是以6为周期的数列， ， 故选：D． 2. 已知为等差数列的前项和，若，且，则（ ） A. 2025 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由等差数列的性质可得，从而可得，再由等差数列的求和公式代入计算，即可得到结果. 【详解】，又， . 故选：B. 3. 将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数列与的项找到它们公共项的规律，即得数列的各项的规律，确定其通项公式，再用裂项求和的方法即可求得答案. 【详解】数列是以1为首项的奇数列，即， 数列是以1为首项，公差为3的奇偶交错的等差数列，即， 故数列与的公共项所构成的新数列为，即首项为，公差为的等差数列，即， . 故选：A. 4. 已知（n个根号），下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，结合的表达式可以判定A正确；将的表达式两边平方，可得从而判定B正确；由此得到，从递推，可以得到，从而判定C错误；结合前面的结论，可以判断存在极限，并可求得极限为2，从而根据极限定义，可以判定D正确，最后综合选择错误的选项为C. 【详解】A，因为， 所以（重根号）（重根号），故A正确； B，因为（重根号） 所以（重根号）， 所以（＊），故B正确； C，因为， 故C错误； D，由恒成立，所以数列有极限， 设，则，且根据（＊）两边取极限， 得，即， 分解因式得，结合，解得， 根据极限定义，时，，故D正确. 综上所述，只有C项是错误的. 故选：C. 5. 设曲线在处的切线与轴交点的横坐标为，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】求导，由导数的几何意义求出切线方程，故，结合对数运算法则得到答案. 【详解】由，可得， 所以曲线在处的切线方程是， 令得，所以 . 故选：A． 6. 已知对恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先同构不等式，并构造函数，根据函数的单调性，转化为，再根据参变分离转化为最值问题. 【详解】由，可知，，， 则，即， 设，，得， 当时，，单调递增， ，，则，则， 则，恒成立， 设，，令，得， 当，，单调递增，当，，单调递减， 所以当时，取得最大值，， 则. 故选：B 7. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数， 导数判断其单调性，由此确定的大小. 【详解】方法一：构造法 设，因为， 当时，，当时， 所以函数在单调递减，在上单调递增， 所以，所以，故，即， 所以，所以，故，所以， 故， 设，则, 令，， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 又， 所以当时，， 所以当时，，函数单调递增， 所以，即，所以 故选：C. 方法二：比较法 解： ， ， ， ① ， 令 则 ， 故 在 上单调递减， 可得 ，即 ，所以 ； ② ， 令 则 ， 令 ，所以 ， 所以 在 上单调递增，可得 ，即 ， 所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以 故 8. 英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，．该公式也称为麦克劳林公式．根据该公式估算的值为（）（精确到小数点后两位） 注：表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，即为的导数．表示的阶乘，即． A. 0.85 B. 0.88 C. 0.91 D. 0.95 【答案】C 【解析】 【分析】根据麦克劳林公式，求出，令即可求解． 【详解】在处n阶可导， 求出，令， 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分；共18分．有错选、多选的不得分，部分选对的得部分分． 9. 设等比数列的公比为，前项积为前项和为则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，且，则 D. 若，且，则数列的前项和为 【答案】BD 【解析】 【分析】由等比数列的通项公式、下标和的性质及等差、等比数列前项和公式逐个判断即可. 【详解】若，则，由，可得，故A错误； ，故B正确； 对于C，由选项条件可得，，解得或，故C错误； 因为，所以，所以，所以数列的前项和为，故D正确. 故选：BD 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 对任意的实数，函数恒有两个极值点 B. 设为的极值点，则 C. 当时，若在上有最大值，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】求出函数的导数，由结合韦达定理求解判断AB；把代入求出极值点判断C；按给定等式计算判断D. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 对于A，，函数恒有两个变号零点，函数恒有两个极值点，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，当时，，当或时，， 当时，，因此分别是的极大值点和极小值点， 由在上有最大值，得，C错误； 对于D， ，则，D错误. 故选：AC 11. 黎曼函数（Riemann function）在高等数学中有着广泛应用，其一种定义为：时，，若数列，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由即可举出反例，对于B，首先得，利用作差法即可判断；对于CD，利用数学归纳法即可证明. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，当时，是相邻的偶数和奇数，所以是既约分数，所以， 所以，即，故B正确； 对于C，当时，， 若当时，成立， 则时， ，故C正确； 对于D，当时，， 若当时，成立， 则时，， 要使， 而，， 只需，只需，显然， 故只需， 当时，该式子为，显然成立， 若当时，有， 当时， ， 从而对任意正整数均有， 综上所述，，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：再利用数学归纳法以及分析法可知只需证明对任意正整数均有成立即可，再次利用数学归纳法即可顺利得解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分；共15分． 12. 两个等差数列和的前n项和分别为，且，则的值等于_____________． 【答案】##4.75 【解析】 【分析】根据题意，分别设出的表达式，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，可设， 则． 故答案为： 13. 已知函数对定义域内任意，都有，则正实数的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】设，由题设可得的单调性，从而得到 ，利用同构可得，参变分离后可求参数的取值范围. 【详解】因为，所以 令函数，则在上单调递减， 所以在上恒成立，所以， 即.令函数，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 当时，，当时，， 且由题干可知，，即， 若，则恒成立， 当时，恒成立等价于当时，， 故时，恒成立，故. 令函数，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值，所以； 综上所述，正实数的取值范围为. 故答案为：. 14. 某工厂统计了甲产品在2024年7月至12月的销售量（单位：万件），得到以下数据： 月份 7 8 9 10 11 12 销售量 11 12 14 15 18 20 根据表中所给数据，可得相关系数__________.（结果用四舍五入法保留2位小数） （参考公式：相关系数，参考数据：，） 【答案】 【解析】 【分析】根据表中数据求出，进而得出的值，代入公式计算即可得出答案. 【详解】由已知可得，， ， 则， ， 所以，. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题；共77分． 15. 已知为数列的前项和，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，证明：. 【答案】（1） （2）证明：由题意及（1），得， 所以，① ，② ①-②得， 整理得. 又， 所以，得证. 【解析】 【分析】（1）利用与已知建立等式，因，得出，可知是等差数列，进而求出，再根据求出，并验证时是否满足. （2）先根据求出，进而得到表达式. 用错位相减法，即①式减②式求出表达式，从而证明. 再通过放缩法，将各项缩小，得到. 【小问1详解】 解：因为， 所以. 又因为，所以， 所以， 所以是公差为1的等差数列. 则，所以. 当时，， 当时，满足上式， 所以. 【小问2详解】 略 16. 已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数在上的最小值是，求a的值． （3）讨论在上的最大值 【答案】（1） （2） （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）先求得切点坐标，再根据导数的几何意义可求得切线斜率，最后根据点斜式方程可求解； （2）求导后，分、、讨论求得最小值，从而可求得a的值； （3）分、、、讨论求得最大值. 【小问1详解】 当时，，， 所以切点为，，则， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 ，， 若，则在上恒成立， 所以在上单调递增， 所以，不满足题意； 若，令，解得，令，解得， 所以函数在单调递减，单调递增， 所以，解得，满足题意； 若， 则在上恒成立， 所以在上单调递减， 所以，解得，不满足题意， 综上，. 【小问3详解】 由（2）可知若，则在上恒成立， 所以在上单调递增， 若，令，解得，令，解得， 所以函数在单调递减，单调递增， ①即时，， ②即时，， 若， 则在上恒成立， 所以在上单调递减，， 综上：当时，； 当时，. 【点睛】方法点睛：利用导数研究函数的最值，首先要求函数的单调性，当导函数含有参数时，要对参数进行分类讨论，在确定导函数的正负时，难点在于分类讨论时标准的确定，主要是按照是否有根，根的大小进行分类求解的． 17. 某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下： 优级品 合格品 不合格品 总计 甲车间 26 24 0 50 乙车间 70 28 2 100 总计 96 52 2 150 （1）填写如下列联表： 优级品 非优级品 甲车间 乙车间 能否有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？ （2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率，设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（） 附： 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）列联表： 优级品 非优级品 甲车间 26 24 乙车间 70 30 有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异. （2）可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了. 【解析】 【分析】（1）根据题中数据完善列联表，计算，并与临界值对比分析； （2）用频率估计概率可得，根据题意计算，结合题意分析判断. 【小问1详解】 根据题意可得列联表： 优级品 非优级品 甲车间 26 24 乙车间 70 30 可得， 因为， 所以有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异. 【小问2详解】 由题意可知：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为， 用频率估计概率可得， 又因为升级改造前该工厂产品的优级品率， 则， 可知， 所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了. 18. 数阵，又称矩阵，是数学中的一个重要概念，它是一种特殊的数组，由数字或符号按照特定的规则排列而成.数阵的元素按照一定的顺序排列，通常用矩阵的行和列来表示.将阶数阵记作（其中）.已知，且满足， （1）求和的值； （2）求的表达式； （3）是否存在，使得，，成等比数列，如存在，请求出，如不存在，请说明理由. 【答案】（1）， （2） （3） 由（2）知，则， 若为等比数列， 则为等差数列， 设， 则，即， 若满足题意，则有四个整数解， 设， 则 注意最多只有两个零点， 则此时最多只有三段单调区间，至多有三个零点， 故不可能有四个解， 综上所述，不存在使得成等比数列，证毕. 【解析】 【分析】（1）令求出，，再令即可求出； （2）在中令，得，利用累加法得出，再在中令，得，再利用累加法即可求出； （3）由（2）求出，再求出， 则等比数列被转化为为等差数列，设，再通过构造函数，研究其是否存在四个解即可. 【小问1详解】 在中令， 得； 在中令得，， 在中令得，， 则. 【小问2详解】 在中令，得， 则，，，，， 由累加可得， 又时，符合上式，故； 在中令，得， 则，，，，， 由累加可得 ， 又满足上式， 故 【小问3详解】 略 19. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）设是函数的两个极值点，证明：． 【答案】（1） 当时，在区间和上单调递增，在上单调递减； 当时，在区间上单调递增； 当时，在区间和上单调递增，在上单调递减. （2）证明：由题意可知，， 有两个极值点，是的两正根， 则， 且. . ， ∴要证， 即证， 即证， 即证， 即证， 令，则证明， 令，则，在上单调递增， 则，即， 所以原不等式成立． 【解析】 【分析】（1）明确函数的解析式，求导，结合分类讨论思想的应用，利用导函数的符号确定函数的单调区间. （2）先根据是函数的两个极值点，得到的关系，再把转化成，在利用换元法，设，，则，.设函数，，只需证即可. 【小问1详解】 由题知： . ， 令得或， 当时，或，，单调递增； ，，单调递减 ； 当时，，单调递增 ； 当时，或，，单调递增. ，，单调递减 . 综上，当时，在区间和上单调递增，在上单调递减； 当时，在区间上单调递增； 当时，在区间和上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南康中学2025-2026学年度第二学期高二年级期中测试 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分；共40分． 1. 数列满足：，若，，则（ ） A. 1 B. －1 C. 5 D. －5 2. 已知为等差数列的前项和，若，且，则（ ） A. 2025 B. C. 1 D. 3. 将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知（n个根号），下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 设曲线在处的切线与轴交点的横坐标为，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 6. 已知对恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 设，则（ ） A. B. C. D. 8. 英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，．该公式也称为麦克劳林公式．根据该公式估算的值为（）（精确到小数点后两位） 注：表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，即为的导数．表示的阶乘，即． A. 0.85 B. 0.88 C. 0.91 D. 0.95 二、多选题：本题共3小题，每小题6分；共18分．有错选、多选的不得分，部分选对的得部分分． 9. 设等比数列的公比为，前项积为前项和为则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，且，则 D. 若，且，则数列的前项和为 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 对任意的实数，函数恒有两个极值点 B. 设为的极值点，则 C. 当时，若在上有最大值，则 D. 若，则 11. 黎曼函数（Riemann function）在高等数学中有着广泛应用，其一种定义为：时，，若数列，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分；共15分． 12. 两个等差数列和的前n项和分别为，且，则的值等于_____________． 13. 已知函数对定义域内任意，都有，则正实数的取值范围为___________. 14. 某工厂统计了甲产品在2024年7月至12月的销售量（单位：万件），得到以下数据： 月份 7 8 9 10 11 12 销售量 11 12 14 15 18 20 根据表中所给数据，可得相关系数__________.（结果用四舍五入法保留2位小数） （参考公式：相关系数，参考数据：，） 四、解答题：本题共5小题；共77分． 15. 已知为数列的前项和，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，证明：. 16. 已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数在上的最小值是，求a的值． （3）讨论在上的最大值 17. 某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下： 优级品 合格品 不合格品 总计 甲车间 26 24 0 50 乙车间 70 28 2 100 总计 96 52 2 150 （1）填写如下列联表： 优级品 非优级品 甲车间 乙车间 能否有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？ （2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率，设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（） 附： 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 18. 数阵，又称矩阵，是数学中的一个重要概念，它是一种特殊的数组，由数字或符号按照特定的规则排列而成.数阵的元素按照一定的顺序排列，通常用矩阵的行和列来表示.将阶数阵记作（其中）.已知，且满足， （1）求和的值； （2）求的表达式； （3）是否存在，使得，，成等比数列，如存在，请求出，如不存在，请说明理由. 19. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）设是函数的两个极值点，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $