精品解析：江西赣州市七校2026-2027学年高二上学期11月素养训练数学试题

2026-2027学年第一学期高二年级11月份素养训练 数学试题 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 设复数满足（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示，直线的斜率分别为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 设，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知向量，，其中O为坐标原点，若点C为线段AB的中点，则点C的坐标为（ ）． A. B. C. D. 5. 已知圆与圆关于直线对称，则的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，点为椭圆上位于第一象限内的一点，若，（为坐标原点），则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是抛物线上一动点，若点到轴的距离为，到圆上的动点的距离为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 3 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知直线：，则下列说法正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 若直线与直线垂直，则 C. 若直线在轴上的截距为3，则 D. 若，则直线的倾斜角的取值范围为 10. 已知椭圆：的两个焦点分别为，，点为上的动点，以下正确的是（ ） A. 椭圆离心率为 B. 的周长为6 C. 的最小值为 D. 面积的最大值为 11. 已知圆和直线，点在直线上运动，直线、分别与圆相切于点、，则下列说法正确的是 （ ） A. 切线长最小值为 B. 四边形的面积最小值为 C. 最小时，弦所在的直线方程为 D. 弦长的最小值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，则______. 13. 若点在圆外，则实数k的取值范围为______． 14. 已知焦点在x轴上的双曲线M与双曲线N:有共同的渐近线，且点在双曲线M上，则双曲线M的方程为____________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知直线，． （1）若直线，求m的值； （2）若直线，求l1与l2的距离． 16. 已知椭圆的长轴长为，离心率为． （1）求椭圆C的方程； （2）若直线与椭圆C有且只有一个公共点，求实数m的值． 17. 已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上，求： （1）求圆心为的圆的标准方程； （2）设点在圆上，点在直线上，求的最小值； （3）若过点的直线被圆所截得弦长为，求该直线的方程． 18. 已知双曲线C：的左、右焦点为，，点P在C上. （1）求双曲线C的离心率及渐近线方程； （2）若抛物线E的顶点、焦点分别是C的中心、左顶点，求抛物线E的方程； （3）若，求的面积. 19. 已知在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线的焦点为，A、B是抛物线Γ上两个不同的点． （1）求抛物线Γ的方程； （2）若直线斜率为1，且过点F，求线段的长度； （3）设直线、的斜率为、，若，证明：直线过定点，并求该定点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期高二年级11月份素养训练 数学试题 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 设复数满足（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘除法运算即可得到答案. 【详解】. 故选：A. 2. 如图所示，直线的斜率分别为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用斜率与倾斜角的关系即可判断． 【详解】由，结合的函数图象， 直线对应的倾斜角为钝角，则， 直线与都为锐角，且的倾斜角大于的倾斜角， 则，故． 故选：B 3. 设，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】由，若，则、重合，充分性不成立， 由，则必有，必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 4. 已知向量，，其中O为坐标原点，若点C为线段AB的中点，则点C的坐标为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先表示的坐标，再根据中点坐标公式计算可得． 【详解】因为向量，，其中O为坐标原点， 所以，， 所以的中点的坐标为， 故选：D 5. 已知圆与圆关于直线对称，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知圆的方程确定圆心，进而得到线段的中点坐标及的斜率，应用点斜式写出直线方程. 【详解】圆的标准方程为：，圆心. 圆的标准方程为：，圆心. 所以线段的中点为， 由题意，为线段的垂直平分线，且，所以， 所以的方程为，则. 故选：D 6. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，点为椭圆上位于第一象限内的一点，若，（为坐标原点），则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意判断为直角三角形，然后根据勾股定理列出方程，求得离心率. 【详解】如图， 由，得，， 其中，所以， 可得为直角三角形， ，且， 解得，， 再由勾股定理可得： 得，． 故选：D． 7. 已知是抛物线上一动点，若点到轴的距离为，到圆上的动点的距离为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用抛物线的定义，结合圆的性质求出最小值. 【详解】抛物线的焦点，准线方程为，由抛物线定义得， 圆的圆心，半径，则， 因此， 当且仅当分别是线段与抛物线和圆的交点时取等号， 所以的最小值为. 故选：C 8. 已知，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用两点间距离公式及线段和的性质求解. 【详解】如图，设，， ， ， 表示点与之间的距离； 表示点与之间的距离； 表示点与之间的距离； 表示点与之间的距离； 所以 ， 其中是以1为边长的正方形内任意一点， ，； 故， 当且仅当时，，等号成立，所以原式的最小值为. 故选：B 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知直线：，则下列说法正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 若直线与直线垂直，则 C. 若直线在轴上的截距为3，则 D. 若，则直线的倾斜角的取值范围为 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A：直线的方程可化为，由，解得， 即该直线恒过定点，故A正确； 对于B：直线的斜率为，直线与直线垂直， 则直线得斜率，故B错误. 对于C：由，令，解得，依题意，解得，故C正确； 对于D：依题意，因，由正切函数的性质，可得，故D错误. 10. 已知椭圆：的两个焦点分别为，，点为上的动点，以下正确的是（ ） A. 椭圆离心率为 B. 的周长为6 C. 的最小值为 D. 面积的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由椭圆方程求出，即得离心率，判断A；根据椭圆的定义即可求出的周长，判断B；由椭圆上一点到焦点的距离最小值为，判断C；结合图形可知，当的边上的高最大时其面积最大，计算即可判断D. 【详解】由题可知，，则，则离心率，故A正确； 由椭圆的定义可知，， 所以的周长为，故B正确； 由图知，椭圆上一点到焦点的距离最小值为，即，故C错误； 由，则当点在上顶点或下顶点时， 即取得最大值时，面积的最大值为，故D正确. 11. 已知圆和直线，点在直线上运动，直线、分别与圆相切于点、，则下列说法正确的是 （ ） A. 切线长最小值为 B. 四边形的面积最小值为 C. 最小时，弦所在的直线方程为 D. 弦长的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】分析可知，当时，取最小值，结合勾股定理可判断A选项；推导出，可得出，利用三角形的面积公式可判断B选项；分析可知，当最小时，四边形为正方形，求出线段的中点坐标，结合直线的点斜式方程可判断C选项；分析可知，，求出的最小值，可判断D选项. 【详解】圆心为，半径为，连接、，则， 对于A选项，由勾股定理可得， 当时，取最小值，此时，也取最小值， 且，则，A错； 对于B选项，由切线长定理可得， 又因为，，所以，， 故， 当且仅当时，等号成立，故四边形面积的最小值为，B对； 对于C选项，当取最小值时，， 因为直线的斜率为，则，此时，直线的方程为， 联立可得，此时，点，线段的中点为， 因为，且， 所以，四边形为正方形，此时，， 且直线过线段的中点，则直线的方程为，即，C对； 对于D选项，设， 因为，则， 因为，则，且为的中点， 所以，，且， 当时，取最小值，此时，， 故，D错. 故选：BC. 【点睛】方法点睛：圆的弦长的常用求法 （1）几何法：求圆的半径为，弦心距为，弦长为，则； （2）代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，则______. 【答案】3或 【解析】 【分析】先利用向量的线性坐标运算求出的坐标，再求出，然后求出即可. 【详解】， 所以，解得或， 故答案为：3或 13. 若点在圆外，则实数k的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据及由点在圆外列式即可求解. 【详解】方程表示圆，则有，解得， 点在圆外，有，解得， 所以实数k的取值范围为. 故答案为：. 14. 已知焦点在x轴上的双曲线M与双曲线N:有共同的渐近线，且点在双曲线M上，则双曲线M的方程为____________. 【答案】 【解析】 【详解】依题意，设双曲线M的方程为， 将点代入得,解得， 所以双曲线M的方程为. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知直线，． （1）若直线，求m的值； （2）若直线，求l1与l2的距离． 【答案】（1）6； （2） 【解析】 【分析】（1）利用两直线垂直的充要条件列方程即得； （2）利用两直线平行的充要条件列方程求出的值，再运用两平行线之间距离公式求解. 【小问1详解】 ，， ，， m的值为6； 【小问2详解】 ， ，解得：或， 验证，，两直线重合，舍去， 时，，， 故与的距离为． 16. 已知椭圆的长轴长为，离心率为． （1）求椭圆C的方程； （2）若直线与椭圆C有且只有一个公共点，求实数m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用待定系数法求椭圆方程； （2）直线与椭圆方程联立，根据，求的取值. 【小问1详解】 由题意可得解得，， 故椭圆C的方程为． 【小问2详解】 联立得． 由题可得， 解得，． 17. 已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上，求： （1）求圆心为的圆的标准方程； （2）设点在圆上，点在直线上，求的最小值； （3）若过点的直线被圆所截得弦长为，求该直线的方程． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】(1)设圆的标准方程为，利用圆经过的两个点，且圆心在直线上，建立方程组就可以求得. (2)求出圆心到直线的距离，即可求出最小值. (3)根据直线被圆截得的弦长为8，求出圆心到直线的距离，用点到直线的距离公式建立方程，求出得值，即可写出直线方程. 【小问1详解】 设圆的标准方程为，因为圆经过和点，且圆心在直线上， 所以 解得： 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 因为圆到直线的距离为 ， 所以直线与圆相离， 所以的最小值为. 【小问3详解】 当斜率存在时，由条件可知，圆心到直线的距离为 根据点到直线的距离公式得：，解得. 当斜率不存在时，直线方程为，符合截圆所得的弦长为8 所以直线方程为或. 18. 已知双曲线C：的左、右焦点为，，点P在C上. （1）求双曲线C的离心率及渐近线方程； （2）若抛物线E的顶点、焦点分别是C的中心、左顶点，求抛物线E的方程； （3）若，求的面积. 【答案】（1）离心率，渐近线方程； （2）； （3）9. 【解析】 【分析】（1）根据给定的双曲线方程直接求出离心率及渐近线方程. （2）由（1）求出抛物线的顶点及焦点坐标，进而求出抛物线方程. （3）利用双曲线定义，结合垂直关系求出三角形面积. 【小问1详解】 双曲线C：的实半轴长，虚半轴长，则半焦距， 所以双曲线C的离心率，渐近线方程为. 【小问2详解】 由（1）得抛物线E的顶点为，焦点为， 所以抛物线E的方程为. 【小问3详解】 由（1）知，，， 由，得， 则， 所以的面积. 19. 已知在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线的焦点为，A、B是抛物线Γ上两个不同的点． （1）求抛物线Γ的方程； （2）若直线斜率为1，且过点F，求线段的长度； （3）设直线、的斜率为、，若，证明：直线过定点，并求该定点的坐标． 【答案】（1）； （2）8 （3）证明如下： 由题意可知所在直线斜率不为0，所在直线方程． 联立抛物线Γ和直线的方程：，化简可得：， 则．由韦达定理可得， 又由已知，则． 此时直线恒过点． 【解析】 【分析】（1）根据焦点坐标为，故，所以抛物线为； （2）联立直线和抛物线方程，得到两根之和，两根之积，利用焦点弦长公式求出答案； （3）设出直线的方程，联立抛物线方程，得到两根之积，根据得到方程，求出，得到恒过的定点. 【小问1详解】 抛物线的焦点为， 则，即，所以抛物线为； 【小问2详解】 直线的方程为，联立抛物线Γ和直线l的方程：， 得．，设， 由韦达定理得， 故. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $