精品解析：广东省茂名市电白区高中2026-2027学年高二上学期11月期中考试数学试题

2026～2027学年度第一学期期中考试 高二数学 （时间：120分钟，满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量数量积坐标公式计算即可. 【详解】因为，所以. 2. 样本数据6，8，4，5，12的分位数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据百分位数的定义进行求解即可. 【详解】因为一共有5个数据， 所以有， 这5个数据从小到大排列为， 所以这组数据的分位数为8. 3. 某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件，为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样的方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则（ ） A. 13 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】A 【解析】 【详解】∵ 丙车间生产的产品共60件，分层抽样时从丙车间抽取了3件， ∴ 本次抽样的抽取比例为 . ∵ 三个车间生产的产品总数量为 件， ∴ 样本容量 . 4. 已知空间中直线的一个方向向量，平面的一个法向量，则（    ） A. B. C. D. 直线与平面不相交 【答案】D 【解析】 【分析】由方向向量与法向量关系可判断直线与平面关系. 【详解】对于AB，，则直线可能与平面平行，也可能在平面内，因题目条件不足，故AB选项无法判断， 对于C，与不共线，则直线与平面不垂直，故C错误， 对于D，由AB分析可知，直线与平面不相交，故D正确. 故选：D. 5. 设是两个概率大于的随机事件，则下列说法正确的是（ ） A. 若和互斥，则和一定相互独立 B. 若，则 C. 若和相互独立，则和一定不互斥 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据互斥事件、独立事件的概率定义辨析A、C，利用子集事件的概率加法公式推导B，举例判断D． 【详解】对于A，若互斥，则； 若相互独立，则（）， 所以互斥一定不独立，A错误； 对于B，若，则，且与互斥， 由概率加法公式：，而， 所以，B正确； 对于C，若相互独立，则， 说明，即不可能互斥（互斥要求），C正确； 对于D，举反例：设样本空间，，，，，D错误． 6. 已知，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据投影向量的定义直接计算求解． 【详解】解： 向量在向量上的投影向量为 ． 故选：B． 7. 在空间直角坐标系中，已知，点，点，若平面经过点，且为平面的法向量，是平面内的任意一点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意，，且在平面内， 又为平面的一个法向量， 所以， 整理得：. 8. 一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，投掷这枚骰子1次，观察它朝上面的数字，得到样本空间，设事件，事件，若事件且满足，事件，相互独立，事件，不相互独立，则满足条件的事件的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】先利用条件，相互独立，锁定的元素数量与内部构成，再剔除，相互独立的集合即可. 【详解】∵，事件，事件， ∴，，事件，， 设，∵事件，相互独立，∴， 是同时属于，的元素，记，则， 即，即落在里面的元素数量，是总元素数的一半， 又， 已知，因此是集合与的交集， 设，则，，又， ∴，∵是落在里面的元素数量，∴可以取0，1，2， 当时，则，，即，， 此时事件，相互独立，与题意不符，舍去； 当时，则，，则里面恰好有1个元素在中， 里面恰有2个元素在中，即元素2必须在中， 由得中有4个元素，又∵，，， 又事件，不相互独立，∴，即， 情况①：，，此时， 故再从中选2个，共种； 当选时，，即，舍去； 当选时，，即； 当选时，，即，舍去 情况②：，，此时，故再从中选2个，共种； 当选时，，即，舍去； 当选时，，即； 当选时，，即，舍去， 当时，则，全集只有6个元素，不符合题意，舍去， ∴满足条件的事件有2个，即，. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知空间向量，，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】先利用空间向量垂直求出参数的值，再结合空间向量的线性运算、数量积、夹角余弦公式逐一验证各选项的正误. 【详解】选项A，因为，所以，即，得，，故正确. 选项B，，故正确. 选项C，，故错误. 选项D，，，故错误. 10. 设为两个互斥的事件，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据互斥事件的含义及概率计算公式逐项判定即可. 【详解】因为为两个互斥的事件，且， 所以,即，故A正确，B错误； 因为为两个互斥的事件， 所以 ， 故C正确； 因为为两个互斥的事件，所以，故D正确， 故选：ACD. 11. 下列命题中正确的个数是（ ） ①如果一组数据的极差为0，则这组数据的方差也为0；②已知样本数据2，2，3，4，5，6，7，8，7，9，则该组数据的60%分位数为6；③已知数据的平均数为3，则数据的平均数为9；④已知数据的平均数，方差，若把剔除，则剩余这6个数的方差不变. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用平均数、方差的计算公式，以及百分位数的定义与计算方法，结合选项，逐项分析、求解，即可得到答案. 【详解】对于①，若一组数据的极差为0，可得这组数据都相等，则方差为0，故①正确； 对于②，首先将样本数据按从小到大排序，得到序列：2,2,3,4,5,6,7,7,8,9，共包含n=10个数据. 根据百分位数的计算规则，10×60%=6，由于6为整数， 因此60%分位数为排序后第6项与第7项数据的平均值，即，故②错误； 对于③，由数据，，⋯，的平均数为， 则数据，，⋯，的平均数为，故③正确； 对于④，由数据，，⋯，的平均数，方差， 可得，即， 又由，所以， ，所以剔除后， 则剩余这6个数的平均数为， 方差为，故④错误. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 箱子里有一个红球，两个黄球，三个白球，有放回地取两次，每次取一个，两次都没取到黄球的概率是________. 【答案】 【解析】 【详解】∵ 箱子内总球数为 ，不是黄球的数量为 ， ∴ 单次抽取个球，未取到黄球的概率为 . ∵ 抽取为有放回抽取，两次抽取为相互独立事件， ∴ 两次都没取到黄球的概率为 . 13. 已知点，，点在平面内，若平面的法向量，则点到平面的距离为_____. 【答案】 【解析】 【分析】先求出，再用点到面的距离公式得解. 【详解】∵，，∴. ∵平面的法向量， ∴点Q到平面的距离为. 14. 已知数据的平均数为2，方差为1，数据的平均数为1，方差为2，则数据的方差为______. 【答案】 【解析】 【详解】由的平均数为2，得，所以； 由的方差为1，得， 所以，所以. 同理，由数据的平均数为1，得， 由数据的方差为2，得，所以. 所以数据的平均数为， 方差为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 一项用运动替代降低血压的试验研究，被试分为人数相等且为偶数的3组.第一组每天静坐，第二组每天快走，第三组每天游泳.每组一半人服用降压药，另一半服用安慰剂.用表示静坐的人，用表示快走的人，用表示游泳的人，用表示服用降压药的人，用表示服用安慰剂的人.现从被试中随机选择一人. （1）写出这个试验的样本空间； （2）设事件表示抽到服用安慰剂的人，事件表示抽到快走或游泳的人，求事件发生的概率. 【答案】（1）试验的样本空间为 （2） 【解析】 【小问1详解】 根据题目可知样本中共有静坐服用降压药，静坐服用安慰剂，快走服用降压药，快走服用安慰剂，游泳服用降压药，游泳服用安慰剂共6种情况， 所以试验的样本空间为. 【小问2详解】 事件在本题中表示抽取的人同时满足服用安慰剂且快走或游泳的情况， 共2种情况，所以. 16. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，在棱上，且，是的中点． （1）求的长； （2）求与所成角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 如图，以 为坐标原点，分别以 的方向为 轴、 轴、 轴的正方向， 建立空间直角坐标系 . 因为正方体棱长为 2， 所以 ， 因为为 的中点，所以， 因为 为 的中点，所以， 因为 在棱 上，且 ，所以 ，故 ， 因为 为 的中点， ，所以 ， ， 所以 ， 即 的长为 ； 【小问2详解】 ， 所以 ， ， 设 与 所成角为 ， 则 ， 故 与 所成角的余弦值为 . 17. 已知某工厂有甲、乙、丙三个车间的工人数量分别为200、300、400，现采用分层抽样的方法从中抽取9名工人组成技术攻关小组. （1）应从甲、乙、丙三个车间的工人中分别抽取多少人? （2）设抽出的9名工人分别用A、B、C、D、E、F、G、H、S表示，现从中随机抽取2名工人担任技术攻关小组的组长.设M为事件“抽取的2名工人来自同一车间”，求事件M发生的概率. 【答案】（1） 应从甲、乙、丙三个车间的工人中分别抽取2人、3人、4人； （2） . 【解析】 【分析】（1）利用分层抽样可求得从甲、乙、丙三个车间的工人中分别抽取的人数； （2）利用列举法结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【小问1详解】 甲、乙、丙三个车间的工人数量的比为， 因为，，， 所以应从甲、乙、丙三个车间的工人中分别抽取人、人、人. 【小问2详解】 记A、B两人来自甲车间，C、D、E三人来自乙车间，F、G、H、S四人来自丙车间， 则从中随机抽取2名工人担任技术攻关小组的组长的情况有： ， ， ，共种； 抽取的2名工人来自同一车间的情况有： ， 共种情况. 所以事件M发生的概率为. 18. 我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出.某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民用水量标准（单位：t），月用水量不超过的部分按议价收费.为了了解全市居民用水量分布情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月均用水量（单位：t），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.（结果保留两位小数） （1）求频率分布直方图中的值； （2）估计月均用水量的样本数据的分位数和该市全市居民月均用水量； （3）若该市政府希望使的居民每月的用水量不超过标准t，估计的值. 【答案】（1） （2）分位数为，该市全市居民月均用水量为 （3） 【解析】 【分析】（1）通过频率和等于1计算； （2）计算各区间的频率，估算分位数所在区间，设元后计算分位数，使用各区间的中位数乘频率并求和计算月均用水量； （3）估算所在的区间，通过频率与组距的关系求解. 【小问1详解】 由题可得：， 解得； 【小问2详解】 对应的累计频率依次为：，，，，，， 分位数落在区间，设分位数为， ，解得， 该市全市居民月均用水量为： 【小问3详解】 因为，所以， ，解得. 19. 如图，平行六面体的底面是菱形，，，． （1）当，，时，求的长； （2）当，平面时， ①求的长； ②当时，求直线与平面所成的角的正弦值的取值范围． 【答案】（1） （2）①1 ；② 【解析】 【分析】（1）根据空间向量的数量积、数量积运算律及向量的模求解即可. （2）①根据垂直关系的向量表示、空间向量的数量积、数量积运算律求解即可. ②根据线面角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 如图，连接BD，， 设，，，由题易得，， 依题意，，，， 而． 所以 ，即． 【小问2详解】 ①由（1）知，令， 因为， 所以，，， 易知，，， 因为平面，平面，所以，， 即． 整理得， 而，解得，所以的长为1． ②当时，由①得，， ，则，， ， 而为平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为，则 ， 而，即，则， ，即， 所以直线与平面所成的角的正弦值的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026～2027学年度第一学期期中考试 高二数学 （时间：120分钟，满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 2. 样本数据6，8，4，5，12的分位数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 3. 某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件，为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样的方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则（ ） A. 13 B. 14 C. 16 D. 18 4. 已知空间中直线的一个方向向量，平面的一个法向量，则（    ） A. B. C. D. 直线与平面不相交 5. 设是两个概率大于的随机事件，则下列说法正确的是（ ） A. 若和互斥，则和一定相互独立 B. 若，则 C. 若和相互独立，则和一定不互斥 D. 6. 已知，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 7. 在空间直角坐标系中，已知，点，点，若平面经过点，且为平面的法向量，是平面内的任意一点，则（ ） A. B. C. D. 8. 一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，投掷这枚骰子1次，观察它朝上面的数字，得到样本空间，设事件，事件，若事件且满足，事件，相互独立，事件，不相互独立，则满足条件的事件的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知空间向量，，，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 设为两个互斥的事件，且，则（ ） A. B. C. D. 11. 下列命题中正确的个数是（ ） ①如果一组数据的极差为0，则这组数据的方差也为0；②已知样本数据2，2，3，4，5，6，7，8，7，9，则该组数据的60%分位数为6；③已知数据的平均数为3，则数据的平均数为9；④已知数据的平均数，方差，若把剔除，则剩余这6个数的方差不变. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 箱子里有一个红球，两个黄球，三个白球，有放回地取两次，每次取一个，两次都没取到黄球的概率是________. 13. 已知点，，点在平面内，若平面的法向量，则点到平面的距离为_____. 14. 已知数据的平均数为2，方差为1，数据的平均数为1，方差为2，则数据的方差为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 一项用运动替代降低血压的试验研究，被试分为人数相等且为偶数的3组.第一组每天静坐，第二组每天快走，第三组每天游泳.每组一半人服用降压药，另一半服用安慰剂.用表示静坐的人，用表示快走的人，用表示游泳的人，用表示服用降压药的人，用表示服用安慰剂的人.现从被试中随机选择一人. （1）写出这个试验的样本空间； （2）设事件表示抽到服用安慰剂的人，事件表示抽到快走或游泳的人，求事件发生的概率. 16. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，在棱上，且，是的中点． （1）求的长； （2）求与所成角的余弦值． 17. 已知某工厂有甲、乙、丙三个车间的工人数量分别为200、300、400，现采用分层抽样的方法从中抽取9名工人组成技术攻关小组. （1）应从甲、乙、丙三个车间的工人中分别抽取多少人? （2）设抽出的9名工人分别用A、B、C、D、E、F、G、H、S表示，现从中随机抽取2名工人担任技术攻关小组的组长.设M为事件“抽取的2名工人来自同一车间”，求事件M发生的概率. 18. 我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出.某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民用水量标准（单位：t），月用水量不超过的部分按议价收费.为了了解全市居民用水量分布情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月均用水量（单位：t），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.（结果保留两位小数） （1）求频率分布直方图中的值； （2）估计月均用水量的样本数据的分位数和该市全市居民月均用水量； （3）若该市政府希望使的居民每月的用水量不超过标准t，估计的值. 19. 如图，平行六面体的底面是菱形，，，． （1）当，，时，求的长； （2）当，平面时， ①求的长； ②当时，求直线与平面所成的角的正弦值的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $