精品解析：广东省汕头市潮阳南侨中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

潮阳南侨中学2025-2026学年度第一学期期中试卷 高二数学 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线方程可得斜率，进而可得倾斜角 【详解】设直线的倾斜角是. 直线斜率为， 又， 故选：D. 2. 已知向量，则（ ） A. B. 8 C. 3 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量的坐标运算及模的坐标表示计算即得. 【详解】由向量，得， 所以. 故选：C 3. 直线：与：的交点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】联立两直线方程，求出交点坐标. 【详解】联立方程组解得， 故与的交点坐标为. 故选：A 4. 已知点，，则以线段为直径的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直径求出圆心、半径即可得解. 【详解】因为为直径，所以圆心为， 半径， 所以圆的方程为. 故选：C. 5. 两条平行直线与间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两条平行直线的距离公式计算即可. 【详解】直线的方程化为，则与间的距离 . 故选：D. 6. 已知为空间内三个不共面的向量，平面和平面的法向量分别为和，若，则（ ） A. 5 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知，设，结合向量不共面及基本定理有，求出参数值，即可得. 【详解】因为，所以， 设，即， 由于为空间内三个不共面的向量， 所以，可得，则. 故选：B 7. 经过点，且在轴和轴上截距相等的直线方程是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】分别讨论截距为0和不为0两种情况，设出直线方程，将点代入求解即可. 【详解】当直线在轴和轴上截距都为0时，设直线方程为， 将点代入解得，此时直线方程为，即； 当直线在轴和轴上截距相等且不为0时，设直线方程为， 将点代入解得，此时直线方程为， 所以满足题意的直线方程为或. 故选：D. 8. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点在线段上，点到直线的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系利用空间向量求得点到直线的距离的表达式，再由二次函数性质可求得最小值. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 则，可得， 设，所以可得； 因此， 因此点到直线的距离为 . 当（满足题意）时，取得最小值，即点到直线的距离的最小值为. 故选：A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，，则下列结论正确的是（ ） A. 向量与向量的夹角为 B. C. D. 向量在向量上的投影向量为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，根据向量的夹角公式计算即可；对于BC，利用向量垂直及平行的坐标表示验证即可；对于D，根据向量在向量上的投影向量为计算即可. 【详解】对于A，因为，， 所以， 又，所以，所以A错误； 对于B，因为，所以， 故，所以B正确； 对于C，由向量，，，可知，故，所以C正确； 对于D，根据投影向量的定义可知，向量在向量上的投影向量为 ，所以D错误，． 故选：BC. 10. 已知直线，直线，则下列结论正确的是（ ） A. 在轴上的截距为 B. 过定点 C. 若，则或 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】由直线的方程得横截距可判断A；把方程作为参数的恒等式求解得定点坐标可判断B；根据直线垂直或平行的条件求得参数值可判断CD． 【详解】对于A，令时，，则在轴上的截距为，故A正确； 对于B，直线，当时，所以直线恒过，故B正确； 对于C，若，则且，故，故C错误； 对于D，等价于，解得，故D正确. 故选：ABD. 11. 如图，已知正方体的棱长为2，则下列说法正确的是（ ） A. B. 平面 C. 直线与平面所成的角为 D. 点与平面的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，建立空间直角坐标系，计算出，得到；B选项，证明出四边形为平行四边形，故，从而得到线面平行；C选项，求出平面的法向量，由线面角的求解公式进行求解；D选项，求出平面的法向量，由点到平面的距离公式求出答案. 【详解】A选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ， 故， 故，所以， 故，A正确； B选项，因为，，所以四边形为平行四边形， 故， 又平面，平面，故平面，B正确； C选项，平面的一个法向量为， 又，故 设直线与平面所成的角大小为， 则， 故直线与平面所成的角不为，C错误； D选项，， 则，， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，故， 故点与平面的距离为，D正确. 故选：ABD 第II卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分.共15分. 12. 已知直线不过第一象限，则实数t的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】分析得到直线经过的象限，结合一次函数的性质求解即可. 【详解】当时，，故直线过点， 而直线不过第一象限， 得到，解得. 故答案为： 13. 经过点，且垂直于直线的直线的方程是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用垂直直线系可求直线方程. 【详解】设所求直线方程为，代入点得， 故所求直线方程为， 故答案为：. 14. 已知圆是圆上一动点，点为线段的中点，则动点的轨迹方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】令，由题设得，代入已知圆方程整理即可得动点M的轨迹方程； 【详解】设， M为线段的中点，， 而A是圆C上一动点， 故， 整理得：， 即， 故动点M的轨迹方程为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知三角形的三个顶点是，， （1）求边AB的中线所在直线的方程； （2）求的面积. 【答案】（1）（或） （2）17 【解析】 【分析】（1）根据中点坐标，结合点斜式即可求解， （2）求解直线的方程，进而根据两点距离以及点到直线的距离即可求解. 【小问1详解】 由已知得：AB的中点为，所以边AB的中线所在直线的斜率为， 故方程为：（或） 【小问2详解】 由已知得，直线AC的方程为，即， 且，点B到直线AC的距离为， 所以的面积为. 16. 已知圆心为C的圆经过，，三点. （1）求此圆的标准方程; （2）求直线被此圆截得的弦长. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题设有圆心C为，再由及两点距离公式求得，进而可得圆心和半径，即得圆的标准方程； （2）应用点线距离公式、几何法求所截弦长即可. 【小问1详解】 由题知，圆心C在线段OM的垂直平分线上，可设圆心C为， 又，即，解得， 所以圆心C为，半径， 所以圆C的方程为. 【小问2详解】 由（1）知圆心到直线的距离， 所以直线被此圆截得的弦长 17. 如图，在平行六面体中，，．设，，． （1）用基底表示向量，并求； （2）求异面直线与所成的夹角； 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）结合图形，由向量的加法法则和数量积的运算可得； （2）利用基底表示两直线的向量后再由数量积的运算律可得. 【小问1详解】 ， 因为，， 所以， 所以 . 【小问2详解】 因为， 所以 ， 所以，所以异面直线与所成的夹角为. 18. 如图，在直四棱柱中，侧棱的长为3，底面是边长为2的正方形，是棱的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1） 如图所示，建立以为原点的空间直角坐标系， 由侧棱的长为3，底面是边长为2的正方形， 得， 由是棱的中点，得， 则， 设平面的法向量为，则， 令，则，所以是平面的一个法向量， 显然，则， 又平面，所以平面， （2） 【解析】 【分析】（1）建立以为原点的空间直角坐标系，利用空间向量方法证明即可； （2）分别求出两平面的法向量，代入空间二面角公式可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知平面的一个法向量为， 而平面的一个法向量为， 因此， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 19. 如图，在四棱锥中，平面，，，，.为的中点，点在上，且. （1）求证：平面； （2）求直线与面所成角的正弦值； （3）在线段上是否存在点，使得、、、四点共面，如果存在求出的值；如果不存在说明理由. 【答案】（1）证明：由平面，平面，则， 又，，平面，所以平面. （2）1 （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的性质有，又，根据线面垂直的判定即可证结论； （2）构建以A为原点，建立空间直角坐标系，根据已知确定对应点坐标，求出平面的法向量，应用向量法求线面角的正弦值； （3）设，根据点共面，利用与平面一个法向量垂直，由向量垂直的坐标表示求，即可确定结果. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 以A为原点，平面内与垂直的直线为x轴，的正方向为y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则有， 为的中点，，得，， 则有，，，， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，得， 设直线与面所成角为，则有， 所以直线与面所成角的正弦值为1. 【小问3详解】 若线段上存在点使、、、四点共面，设，， 则，， 若、、、四点共面，则在平面内， 又平面的一个法向量为，则有，解得. 所以线段上存在点，使得、、、四点共面，此时. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 潮阳南侨中学2025-2026学年度第一学期期中试卷 高二数学 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. 0 B. C. D. 2. 已知向量，则（ ） A. B. 8 C. 3 D. 9 3. 直线：与：的交点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 已知点，，则以线段为直径的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 两条平行直线与间的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 已知为空间内三个不共面的向量，平面和平面的法向量分别为和，若，则（ ） A. 5 B. C. 3 D. 7. 经过点，且在轴和轴上截距相等的直线方程是（ ） A. B. 或 C. D. 或 8. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点在线段上，点到直线的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，，则下列结论正确的是（ ） A. 向量与向量的夹角为 B. C. D. 向量在向量上的投影向量为 10. 已知直线，直线，则下列结论正确的是（ ） A. 在轴上的截距为 B. 过定点 C. 若，则或 D. 若，则 11. 如图，已知正方体的棱长为2，则下列说法正确的是（ ） A. B. 平面 C. 直线与平面所成的角为 D. 点与平面的距离为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分.共15分. 12. 已知直线不过第一象限，则实数t的取值范围为______． 13. 经过点，且垂直于直线的直线的方程是________． 14. 已知圆是圆上一动点，点为线段的中点，则动点的轨迹方程为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知三角形的三个顶点是，， （1）求边AB的中线所在直线的方程； （2）求的面积. 16. 已知圆心为C的圆经过，，三点. （1）求此圆的标准方程; （2）求直线被此圆截得的弦长. 17. 如图，在平行六面体中，，．设，，． （1）用基底表示向量，并求； （2）求异面直线与所成的夹角； 18. 如图，在直四棱柱中，侧棱的长为3，底面是边长为2的正方形，是棱的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 19. 如图，在四棱锥中，平面，，，，.为的中点，点在上，且. （1）求证：平面； （2）求直线与面所成角的正弦值； （3）在线段上是否存在点，使得、、、四点共面，如果存在求出的值；如果不存在说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $