精品解析：江苏泰州市靖江市靖江外国语学校2026-2027学年八年级第一学期阶段质量检测数学试卷（期中考试）

2026－2027靖江市外国语八年级第一学期阶段质量检测数学试卷（期中考试） （满分150分考试 时间120min） 一、选择题（18分） 1. 按括号内的要求用四舍五入法求近似数，其中正确的是      （    ） A. （精确到十分位） B. （精确到0.1） C. （精确到个位） D. （精确到0.000 1） 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了四舍五入法求近似数，大于或等于5进一，小于5则舍去，据此逐项分析即可作答． 【详解】解：A、（精确到十分位），故该选项是错误的； B、（精确到0.1），故该选项是正确的； C、（精确到个位），故该选项是错误的； D、（精确到），故该选项是错误的； 故选：B． 2. 按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是64，则输出的y的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查无理数，算术平方根及立方根，根据题意，利用算术平方根及立方根的定义计算，直至结果为无理数即可，理解题干中的运算程序并进行正确的计算是解题的关键． 【详解】解：若开始输入的的值是64，则其立方根为4，它是有理数； 然后求得4的算术平方根是2，它是有理数； 则2的立方根为，它是无理数，输出答案； 故选：C． 3. 如图，在中，，，直线垂直平分，垂足为E，交于点D，则的周长是（ ） A. 10 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题关键．根据线段垂直平分线的性质得到，再根据三角形周长公式求解即可． 【详解】解：∵直线垂直平分，垂足为E，交于点D， ∴， ∴的周长， 故选：C． 4. 如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高．若这支铅笔长为，则这支铅笔在笔筒外面部分长度的最小值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 铅笔在笔筒外面的长度=铅笔长度铅笔在笔筒内的长度；铅笔在笔筒外面的长度最小时，在笔筒内的长度最长，即斜放在圆柱形笔筒内的时候，用勾股定理求解即可． 【详解】 解：如图所示：铅笔斜放在圆柱形笔筒内的时候，铅笔在笔筒外面的长度最小， ，，， 由勾股定理得：， （负值已舍去）， ， 答：铅笔在笔筒外面部分长度的最小值是． 5. 如图，在中，，，，点在的延长线上，点在边上，且，若，则的长为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查直角三角形所对的边等于斜边的一半，在图中构造合适的辅助线是解题的关键．如图所示过点E作，根据所对边为斜边一半可计算长度，进而可计算的长度． 【详解】解：如图所示：过点E作， ∵，， 在中， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，于F， ∴， ∴， 故选：C． 6. 如图，边长为4的等边，F是边的中点，点是线段上的动点，连接，在的右侧作等边，连接，则以下结论：①；②；③的大小随着点D的移动而变化；④的最小值为1，上述结论中正确的有（ ） A. ①② B. ①②④ C. ②③ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】利用等边三角形三线合一判断①；根据等边三角形的性质与垂直平分线的性质判断②；根据全等三角形的判定与性质判断③；④根据直角三角形求垂线段最小值． 【详解】解：①已知是边长为4的等边三角形，F是边的中点， 根据等边三角形三线合一可得：，故①正确； ②已知是边长为4的等边三角形，F是边的中点， 垂直平分， ∵点是线段上的动点， ， ∵和都是等边三角形， ， ，故②正确； ③由②知， 即， ， 在和中， ， ， ， 的大小不会随着点D的移动而变化，故③错误； ④由③知， 说明点在过点且与夹角为的射线上运动，当时最短， 因为F是边的中点，， 所以， 在中，， 所以 的最小值为1，故④正确． 二、填空题（每题3分，共30分） 7. 的算术平方根是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查算术平方根，掌握知识点是解题的关键． 先求出，再根据算术平方根的定义，即可解答． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是2． 故答案为：2． 8. 下列各数：（相邻两个3之间依次增加一个0）中，无理数有_____个． 【答案】3 【解析】 【分析】先化简所有含开方、绝对值的数，再根据无理数的定义逐一判断即可． 【详解】解：∵ ，是整数，属于有理数． ∵ ，是整数，属于有理数． ∵ 是分数，、是有限小数，均属于有理数． ∵ 是开方开不尽的数，属于无理数． ∵ 是含的无限不循环小数，属于无理数． ∵ （相邻两个3之间依次增加一个0）是无限不循环小数，属于无理数． ∴ 综上，无理数共有3个. 9. 如图，于B，且，以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴于P，则点P表示的数是______ 【答案】## 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，实数与数轴，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 首先根据勾股定理计算出的长，进而得到的长，再根据A点表示，可得点P表示的实数． 【详解】解：由数轴可得长为，而长为1， ∴， ∵A点表示， ∴点P表示的实数是：， 故答案为：． 10. 如图，在中，，为中点，，则的大小为______度． 【答案】55 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理．熟练掌握等腰三角形三线合一是解题的关键． 由等腰三角形三线合一，可得，即，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵在中，，为中点， ∴，即， ∴， 故答案为：55． 11. 三角形的三边长分别为6，9，x，则x的取值范围是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，是解题的关键．利用三角形的三边关系进行求解即可． 【详解】解：三角形的三边长分别为6，9，x， ∴, x的取值范围是． 故答案为：． 12. 如图，是的角平分线，，垂足为E．的面积为20，，则的长为____． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，熟知角平分线的性质是解题的关键． 角平分线上的点到角两边的距离相等．过点D作，垂足为F，根据角平分线的性质得到，再利用面积求即可． 【详解】解：如图，过点D作，垂足为F， 是的角平分线，， ， ，， ， ． 故答案为：8． 13. 已知一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形底角的度数为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意分两种情况讨论，分别利用等边对等角和三角形内角和定理以及三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：如图1，当等腰三角形为锐角三角形时，，，， ∴， ∵， ∴， ∴这个等腰三角形底角的度数为； 如图2，当等腰三角形为钝角三角形时，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴这个等腰三角形底角的度数为； 综上所述，这个等腰三角形底角的度数为或． 14. 如图，在中，，，．现有动点从点开始以的速度向点运动，动点从点开始以的速度向点运动，两点同时运动，同时停止，运动时间记为（单位：）．当为___________s时，是直角三角形． 【答案】或 【解析】 【分析】根据直角三角形性质求出长及度数，用含的代数式表示和，分和两种情况，利用含角的直角三角形性质列方程求解． 【详解】解：，，， ，， 由题意得：，， ， 当是直角三角形时，分两种情况讨论： ①当时， ， ， ， 即， 解得； ②当时， ， ， ，即， 解得； 综上所述，当或时，是直角三角形． 15. 如图，要在河边l上修建一个水泵站，分别向A村和B村送水，已知A村、B村到河边的距离分别为2 km和7 km，且AB两村庄相距13 km，则铺设水管的最短长度是__________km． 【答案】15 【解析】 【分析】作点A关于河边所在直线l的对称点D，连接DB交l于P，则点P为水泵站的位置；利用了轴对称的性质可得AP=DP，在Rt△AEB中利用勾股定理可以算出AE的长，再在Rt△DCB中利用勾股定理算出DB的长，根据两点之间线段最短的性质即可求解． 【详解】解：作点A关于河边所在直线l的对称点D，连接DB交l于P，则点P为水泵站的位置，此时，（PA+PB）的值最小，即所铺设水管最短，最小值为DB的长； 过B点作l的垂线，过D作l的平行线，设这两线交于点C， 过A作AE⊥BC于E，则四边形ADCE和四边形AMNE都是矩形， ∴EN=AM=2，EC=AD=2+2=4，DC=AE， 在Rt△ABE中，依题意得：BE=BN-EN=7-2=5，AB=13， 根据勾股定理可得：AE==12， 在Rt△BDC中，BC=BE+EC=5+4=9，DC=AE=12， 根据勾股定理可得：DB==15， ∴铺设水管的最短长度是15km， 故答案为：15． 【点睛】本题考查主要最短路径问题，勾股定理，正确作出辅助线，构造出最短路线为斜边的直角三角形是解决问题的关键． 16. 如图，已知D点为中点，，过点C作，垂足为点F，若，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 延长到点，使，连接，证明△≌△，进而可得，证明△≌△，可得，即，即可解答． 【详解】解：延长到点，使，连接， 点为中点， ， ， △≌△， ∴， ， ， ， ， ∵ △≌△， ， ， ， ， ， 故答案为：1． 三、解答题（共102分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）5 （2）3.2 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ， ， 解得； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 解得． 19. 已知一个正数的平方根分别是和的立方根为． （1）求出和的值； （2）求的平方根． 【答案】（1）， （2）的平方根为 【解析】 【分析】（1）根据平方根的意义得到关于a的方程，求出，进一步求出的值； （2）根据立方根的意义求出，求出，再根据平方根的意义进行解答即可． 【小问1详解】 解：∵一个正数的平方根分别是和，正数的两个平方根互为相反数． ∴， 解得， ∴ ∴； 【小问2详解】 解：∵的立方根为． ∴ 解得 ∴ ∵ 即的平方根为． 20. 如图，，，垂足分别为，，，，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴，即， ∵，，垂足分别为，， ∴， 在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先根据题意可得，由垂线的定义可得，再利用证明即可，熟练掌握全等三角形的判定方法是解此题的关键． 【详解】略 21. 已知：在中，D为的中点，，，垂足分别为点E、F，且．求证：是等腰三角形． 【答案】证明：连接， 点为的中点， ， 与以，为底时高相同， ， ，， ，， ， 又， ， 是等腰三角形． 【解析】 【分析】连接，利用面积法证明，则求证可得． 【详解】略 22. 如图，在中，是边上的中线，，． （1）延长至点，使，连接．求证：； （2）求的取值范围． 【答案】（1）解：为的中点， ． 在与中， ． （2）． 【解析】 【分析】（1）采用“中线倍长”法：延长中线至使，连接，以证； （2）由全等得，在中用三边关系把转化为的取值范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知， ． 在中，，，． 由三角形三边关系得， 代入数值得， 即， ． 23. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，且每个小正方形的边长均为，三点均在格点上． （1）在图①中，作的角平分线； （2）在图②中，作的角平分线； （3）在图③中，是的角平分线，作的角平分线． 【答案】（1）如图所示，即为所求； （2）如图所示，即为所求； （3）如图所示，即为所求； 【解析】 【分析】此题考查了格点作图，三线合一性质，三角形角平分线的概念等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）取中点E，连接，根据三线合一可得即为的角平分线； （2）连接，取中点F，连接，根据三线合一可得即为的角平分线； （3）取中点H，连接与交于点M，连接并延长交于点G，由三角形角平分线交于一点可得即为的角平分线； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 24. 如图，在中，D为的中点，交的平分线于E，于F，交延长线于G． （1）求证：． （2）猜想、、的数量有什么关系？并证明你的猜想； （3）若，，求长度． 【答案】（1）证明：如图，连接、， D为的中点，， 垂直平分， ， 平分，，， ， 在和中， ， ， ； （2）； 证明：由（1）可知，， ， ； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分线的性质和角平分线的性质，证明，即可得证； （2）根据（1）所得结论即可证明； （3）证明，进而推出，即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：平分， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，， ． 25. 中，，平分，，G和H分别是，的中点． （1）求证：是等腰三角形； （2）求证：； （3）当，时，求的面积． 【答案】（1）证明：∵平分， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）证明：如图，连接、， 由（1）知， ∵为中点， ∴根据等腰三角形“三线合一”可得，即， ∵H是的中点，， ∴，， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）由角平分线的定义可得，求出，再结合对顶角相等得出，即可得证； （2）连接、，由等腰三角形的性质可得，再结合直角三角形的性质即可得证； （3）连接，令与交于点，由角平分线的定义可得，证明为等边三角形，再证明出平分从而可得，，最后由三角形面积公式计算即可得出结果． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接，令与交于点， ∵平分， ∴， 由（2）可得， ∵，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即平分， ∴，， ∴的面积． 26. 回顾人类文明历史，勾股定理所揭示的直角三角形三边关系早已被广泛应用，被认为是人类最早发现、最基本以及应用最广的数学定理之一．历史上不同时代、不同国家的人士，先后给出了各种证明方法，据统计已有数百种，其中中国历代数学家的贡献独树一帜． 【拼图证明】晓风对勾股定理的证明进行了再研究．他动手操作，用四张全等的直角三角形纸片（直角边分别为a、b，斜边为）拼成如图1所示的图形．从面积的角度思考，不难发现：大正方形面积个小三角形面积+小正方形面积，从而得到等式，化简证得勾股定理． 【图形变式】晓华同学受此启发，对原图进行折叠与拼接，提出以下问题： （1）如图1，若，那么小正方形面积：大正方形面积的比值等于__________． （2）如图2，晓华先将图1上方的两直角三角形向内折叠，如果，那么空白部分的面积等于__________． （3）如图3，晓华再将4个直角三角形紧密的拼接成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为，求该风车状图案的面积． 【迁移运用】如图4，用三张含角的全等三角形纸片能拼出一个大等边三角形，你能仿照勾股定理的验证过程，发现含角的三角形三边a、b、c之间的关系吗？ （4）请直接写出此等量关系式：__________． （知识补充：如图5，含角的直角三角形，对边：斜边定值．） 【答案】（1）；（2）19；（3）；（4） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的证明和应用、含30度角的直角三角形的性质，根据图形得出面积关系是解题的关键． （1）求出小正方形的面积，大正方形的面积即可； （2）根据空白部分的面积为小正方形的面积两个三角形的面积，计算即可， （3）可设，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解； （4）根据大正三角形面积三个全等三角形面积小正三角形面积，构建关系式即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴小正方形面积：大正方形面积， 故答案为：； （2）根据题意得 ， ∵空白部分的面积为小正方形的面积两个三角形的面积， ∴空白部分的面积． 故答案为：19； （3）如图， ， 根据题意得 ，． 设，则，． 在中，， 即， 解得， ∴， ∴该风车状图案的面积； （4）． 理由：设大正三角形的高为，中心小正三角形的高为，三个全等三角形的边a上的高为． 由图可知大正三角形面积三个全等三角形面积小正三角形面积， ， 大等边三角形的面积， ， 小等边三角形的面积， ， ， 三个这样的三角形面积之和为， ， 即， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026－2027靖江市外国语八年级第一学期阶段质量检测数学试卷（期中考试） （满分150分考试 时间120min） 一、选择题（18分） 1. 按括号内的要求用四舍五入法求近似数，其中正确的是      （    ） A. （精确到十分位） B. （精确到0.1） C. （精确到个位） D. （精确到0.000 1） 2. 按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是64，则输出的y的值是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，，直线垂直平分，垂足为E，交于点D，则的周长是（ ） A. 10 B. 12 C. 13 D. 14 4. 如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高．若这支铅笔长为，则这支铅笔在笔筒外面部分长度的最小值为（ ）． A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，，点在的延长线上，点在边上，且，若，则的长为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 6. 如图，边长为4的等边，F是边的中点，点是线段上的动点，连接，在的右侧作等边，连接，则以下结论：①；②；③的大小随着点D的移动而变化；④的最小值为1，上述结论中正确的有（ ） A. ①② B. ①②④ C. ②③ D. ①②③④ 二、填空题（每题3分，共30分） 7. 的算术平方根是______． 8. 下列各数：（相邻两个3之间依次增加一个0）中，无理数有_____个． 9. 如图，于B，且，以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴于P，则点P表示的数是______ 10. 如图，在中，，为中点，，则的大小为______度． 11. 三角形的三边长分别为6，9，x，则x的取值范围是_______________． 12. 如图，是的角平分线，，垂足为E．的面积为20，，则的长为____． 13. 已知一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形底角的度数为_____． 14. 如图，在中，，，．现有动点从点开始以的速度向点运动，动点从点开始以的速度向点运动，两点同时运动，同时停止，运动时间记为（单位：）．当为___________s时，是直角三角形． 15. 如图，要在河边l上修建一个水泵站，分别向A村和B村送水，已知A村、B村到河边的距离分别为2 km和7 km，且AB两村庄相距13 km，则铺设水管的最短长度是__________km． 16. 如图，已知D点为中点，，过点C作，垂足为点F，若，则______． 三、解答题（共102分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解下列方程： （1）； （2）． 19. 已知一个正数的平方根分别是和的立方根为． （1）求出和的值； （2）求的平方根． 20. 如图，，，垂足分别为，，，，求证：． 21. 已知：在中，D为的中点，，，垂足分别为点E、F，且．求证：是等腰三角形． 22. 如图，在中，是边上的中线，，． （1）延长至点，使，连接．求证：； （2）求的取值范围． 23. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，且每个小正方形的边长均为，三点均在格点上． （1）在图①中，作的角平分线； （2）在图②中，作的角平分线； （3）在图③中，是的角平分线，作的角平分线． 24. 如图，在中，D为的中点，交的平分线于E，于F，交延长线于G． （1）求证：． （2）猜想、、的数量有什么关系？并证明你的猜想； （3）若，，求长度． 25. 中，，平分，，G和H分别是，的中点． （1）求证：是等腰三角形； （2）求证：； （3）当，时，求的面积． 26. 回顾人类文明历史，勾股定理所揭示的直角三角形三边关系早已被广泛应用，被认为是人类最早发现、最基本以及应用最广的数学定理之一．历史上不同时代、不同国家的人士，先后给出了各种证明方法，据统计已有数百种，其中中国历代数学家的贡献独树一帜． 【拼图证明】晓风对勾股定理的证明进行了再研究．他动手操作，用四张全等的直角三角形纸片（直角边分别为a、b，斜边为）拼成如图1所示的图形．从面积的角度思考，不难发现：大正方形面积个小三角形面积+小正方形面积，从而得到等式，化简证得勾股定理． 【图形变式】晓华同学受此启发，对原图进行折叠与拼接，提出以下问题： （1）如图1，若，那么小正方形面积：大正方形面积的比值等于__________． （2）如图2，晓华先将图1上方的两直角三角形向内折叠，如果，那么空白部分的面积等于__________． （3）如图3，晓华再将4个直角三角形紧密的拼接成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为，求该风车状图案的面积． 【迁移运用】如图4，用三张含角的全等三角形纸片能拼出一个大等边三角形，你能仿照勾股定理的验证过程，发现含角的三角形三边a、b、c之间的关系吗？ （4）请直接写出此等量关系式：__________． （知识补充：如图5，含角的直角三角形，对边：斜边定值．） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $