精品解析：辽宁省朝阳市第一高级中学2026-2027学年高二上学期11月期中数学试题

高二11月份数学考试 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合 ，，则（　　） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若定义在区间上的函数满足：对任意，当时都有，且当时.记的最大值、最小值分别为M、N，则的值为（ ） A. 2024 B. 0 C. 4048 D. 1012 4. “”的充分不必要条件可能是（） A. B. C. D. 5. 已知函数，若为偶函数，则的值可以为（ ） A. B. C. D. 6. 已知平面内点到直线的距离为，根据公式解决问题：实数，，，满足，，，则的最大值为（ ） A. B. 14 C. D. 12 7. 数列中，“，，成等差数列”是“数列是等差数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知长方体中，，，，动点在棱上（含端点），则直线与平面所成角的正弦值的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 记为数列的前项和，已知，，则（ ） A. B. 取最小值时 C. 是等差数列 D. 10. 在中，内角、、所对的边分别为、、，其中、均为锐角，且满足，的外接圆半径为．记内切圆的半径为，则（ ） A. 为钝角 B. C. 若，则 D. 的最大值为 11. 如果一个人爬楼梯的方式有两种，一次上1个台阶或2个台阶，设爬上第个台阶的方法数为， 则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为____________． 13. 如图所示，长方体中，，为上的一个动点，则的最小值为________． 14. 已知数列的前n项和，设，，其中k是大于1的正整数，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的内角所对的边分别为. （1）求； （2）求的周长. 16. 已知等差数列的前四项和为10，且成等比数列 （1）求数列通项公式 （2）设，求数列的前项和 17. 如图，在棱长为2的正方体中，、分别为棱、的中点．求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式及其图象的对称轴方程； （2）若函数，，求满足不等式的解集. 19. 设数列的前项和为，已知． （1）求的通项公式． （2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在项（其中成公差不为零的等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的项；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二11月份数学考试 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合 ，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】根据并集的定义进行判断． 由，可得． 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】由得，即， 又是的真子集，则“”是“”的必要不充分条件． 3. 若定义在区间上的函数满足：对任意，当时都有，且当时.记的最大值、最小值分别为M、N，则的值为（ ） A. 2024 B. 0 C. 4048 D. 1012 【答案】C 【解析】 【分析】设，根据条件推得，利用函数的奇偶性定义与单调性定义证明为奇函数，且在上单调递减，即得在上单调递减，利用为奇函数得，代入即可求出目标式的值. 【详解】设，则任意，当时， . 若取，可得，即； 若取，则得，即函数为奇函数； 设，记，则，由题意，，则， 由，可得， 故函数在上单调递减，从而可知在上单调递减. 又因的最大值、最小值分别为， 则，， 因，为奇函数，则， 故. 4. “”的充分不必要条件可能是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，得，函数在定义域上单调递增，解得， A选项：当时，满足，但不满足，故不是充分条件； B选项：同理，不满足充分条件； C选项：显然与交集为空，不是充分条件； D选项：如果成立，那么必定有成立，充分性成立； 当时，如，不一定有，不必要性成立， 因此，是的充分不必要条件. 5. 已知函数，若为偶函数，则的值可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以， 又因为为偶函数，所以， 解得：， 当时，，无对应选项； 当时，，选项C正确； 当时。，无对应选项； 其余整数对应的均与选项不匹配， 6. 已知平面内点到直线的距离为，根据公式解决问题：实数，，，满足，，，则的最大值为（ ） A. B. 14 C. D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】先把代数条件翻译成几何模型：由两个平方等式得到两点在大圆上，数量积为0推出两向量垂直；然后利用点到直线距离公式，将绝对值的和转化为两点到定直线距离之和；借助直角三角形斜边中线定理确定两点连线中点的轨迹是小圆，再利用圆上动点到定直线距离最值模型（圆心到直线距离加半径）求出中点到直线距离的最大值，最后回代即可求出原式的最大值. 【详解】设， ∵ ，∴点在以原点为圆心，半径为的圆上， 又∵，∴，即， 设点到直线的距离分别为， 则， ∴， 取的中点，则点到直线的距离为： ，即 ， 在 中，，即点在以原点为圆心，半径为的圆上， 设点到直线的距离为， 则点到直线的距离的最大值为，即， ∵， ∴， ， ∴， 即的最大值为. 7. 数列中，“，，成等差数列”是“数列是等差数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】数列是等差数列，能推出，，成等差数列，必要性成立； ，，成等差数列推不出数列是等差数列， 举反例：数列1，2，3，5，8，前三项1，2，3满足等差中项性质，但整个数列显然不是等差数列，充分性不成立； 所以“，，成等差数列”是“数列是等差数列”的必要不充分条件. 8. 已知长方体中，，，，动点在棱上（含端点），则直线与平面所成角的正弦值的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，代入公式求出直线与平面所成角的正弦值，再令，得，求导判断单调性即可. 【详解】以为坐标原点建立空间直角坐标系， 则，， 因动点在棱上，故设，， 设平面的法向量为， 则，令，则，故平面的法向量为， 故直线与平面所成角的正弦值为， 令，则， 记，则， 则在上单调递增，在上单调递减， 故的最大值为， 故直线与平面所成角的正弦值的最大值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 记为数列的前项和，已知，，则（ ） A. B. 取最小值时 C. 是等差数列 D. 【答案】CD 【解析】 【分析】利用条件等式可计算A，由等差数列的定义先证明为等差数列，求出后结合二次函数的性质可判定B，由的关系得出结合等差数列的定义可判定C，由裂项相消法可判定D. 【详解】对于A，由， 可得，即，故A错误； 对于B，条件变形有， 所以是以为首项为公差的等差数列，则， 所以， 由二次函数的对称性可知或时取最小值，故B错误； 对于C，由作差得， 而，符合上式，所以，即是等差数列，公差为，故C正确； 对于D，由上可知， 所以，故D正确. 故选：CD 10. 在中，内角、、所对的边分别为、、，其中、均为锐角，且满足，的外接圆半径为．记内切圆的半径为，则（ ） A. 为钝角 B. C. 若，则 D. 的最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，若为钝角，可得，与矛盾，即可判断；对于B，若为锐角，结合正弦定理边角互化推出，即可判断；对于C，求出角A，由二倍角公式求解，即可判断；对于D，由，可得，再结合基本不等式即可判断. 【详解】设的外接圆半径为，则， 若为钝角，则，即， 即得，则， 这与矛盾，故A错误； 若为锐角，由，得，即， 由于，、均为锐角，则、，所以， 由得，则， 故，矛盾，故C为直角， 则，则，B正确； 若，结合，得，， 得，C正确； 由，可得， 由，得，， 令，由基本不等式可得， 所以，当且仅当时，等号成立， 则，则，D错误. 11. 如果一个人爬楼梯的方式有两种，一次上1个台阶或2个台阶，设爬上第个台阶的方法数为， 则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题知，且,再根据递推关系依次讨论各选项即可得答案. 【详解】解：根据题意，爬上第个台阶有两种可能， 一种是从第个台阶上一次上1个台阶爬上来，有种方式； 一种是从第个台阶上一次上2个台阶爬上来，有种方式， 所以，，且 所以，，故正确； 所以，，故C选项错误； 因为， 所以，，故B正确； ， ， ， ．．． ， 累加可得 ， 故 D 正确， 故选： ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为____________． 【答案】 【解析】 【分析】应用导数几何意义求切线方程即可. 【详解】已知函数，则， 所以，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 13. 如图所示，长方体中，，为上的一个动点，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】将半平面沿翻折到，使得与平面位于同一平面，连接，得到即为的最小值，在中，利用余弦定理，即可求解. 【详解】将半平面沿翻折到，且平面与平面位于同一平面， 截面如图所示，连接，与交于点，此时即为的最小值， 因为，可得， 在直角中，可得， 所以， 则， 可得，所以的最小值为. 14. 已知数列的前n项和，设，，其中k是大于1的正整数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由与的关系得数列的通项公式，从而当时，；当时，即时，是等差数列.由此求得，再结合错位相减法求和法求得的值. 【详解】因为，所以当时，， 所以；又，满足上式， 综上所述，.因为k是大于1的正整数， 所以当时，； 当时，， 所以当时，是等差数列. 所以. 令， 则， 所以 ， 所以. 所以． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的内角所对的边分别为. （1）求； （2）求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用辅助角公式化简题设三角函数式，并结合三角形内角的取值范围确定角； （2）利用余弦定理求边，再求三角形的周长． 【小问1详解】 由，得， 因为，所以， 所以，解得． 【小问2详解】 由余弦定理得， 所以， 所以的周长为. 16. 已知等差数列的前四项和为10，且成等比数列 （1）求数列通项公式 （2）设，求数列的前项和 【答案】（1）或； （2）当时，；当时，. 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，由等差数列的通项公式结合等比数列的性质即可得解； （2）由分组求和法结合等差、等比数列的前n项和公式即可得解. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意，得，解得或， 所以或； （2）当时，， 此时； 当时，， 此时. 综上：当时，；当时，. 17. 如图，在棱长为2的正方体中，、分别为棱、的中点．求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】 【解析】 【分析】以为原点建系，利用直线与平面所成角的向量求法求解. 【详解】在正方体中，以点为原点，分别以，，所在直线轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，， ，， ， 设平面的法向量为 则，即，令，则， 所以平面的一个法向量为， ， ， 设直线与平面所成角为， 所以 即直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式及其图象的对称轴方程； （2）若函数，，求满足不等式的解集. 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）根据函数图象，结合正弦型函数的性质求参数值，即可得的解析式，再由正弦函数的对称性，求得对称轴方程； （2）利用三角恒等变换化简，结合正弦函数的性质求解. 【小问1详解】 的最小值为，所以， 由图可知，即，又，所以或， 结合图象可知函数在处的切线的斜率为负数可得， 而，所以，故， 函数的最小正周期满足， 又，即，则； 而，所以， 所以. 令，，解得， 即函数的图象的对称轴方程为. 【小问2详解】 ， 令，即， 则，解得， 又，则当时，，当时，， 即或， 所以满足不等式的解集为或.（或写作） 19. 设数列的前项和为，已知． （1）求的通项公式． （2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在项（其中成公差不为零的等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的项；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）不存在，理由如下： 由题意可知，和插入个数后，共个数成等差数列，是第1项，是第项， 因此，代入，得，故， 假设存在三项满足条件：成公差不为的等差数列，且成等比数列， 则， 将代入等比条件：， 约去，由得，因此， 整理得：, 将代入上式得：， 即，与公差不为零矛盾，故不存在这样的三项. 【解析】 【分析】（1）利用及与的递推关系，正确得出； （2）由插入个数后形成等差数列，正确求出公差，假设存在满足条件的三项，结合成等差数列（公差非零）及等比条件，推导得到即，与公差不为零矛盾. 【小问1详解】 已知，当时，，解得； 当时，， 两式相减得：，整理得， 因此是首项为、公比为的等比数列，通项公式为：. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $