2026-2027学年高二上学期期中自编数学预测试题（辽宁省朝阳市适用）

2026-2027学年高二上学期期中数学模拟试题（2） 一、单选题（每小题5分，共计40分） 1．圆与圆的位置关系为（    ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 2．在空间直角坐标系中，点与两点的位置关系是（　　） A．关于轴对称 B．关于平面对称 C．关于坐标原点对称 D．关于平面对称 3．椭圆＝1的焦点坐标为（　　） A．（0，﹣4），（0，4） B．（0，），（0，﹣） C．（4，0），（﹣4，0） D．（，0），（﹣，0） 4．已知三顶点为、、，则是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 5．如图，在平行六面体中，与的交点为，若，则（    ） A． B． C． D． 6．已知正四面体的棱长为1，动点在平面上运动，且满足，则的值为（    ） A． B． C．0 D．2 7．圆关于直线对称的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 8．已知椭圆的焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点，若，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分，共计18分） 9．下列命题正确的是（　　） A．若，则与共面 B．若与共面，则 C．若＝x＋y，则M，P，A，B共面 D．若M，P，A，B共面，则＝x＋y 10．已知圆关于轴对称，经过点且被轴分成两段，弧长比为，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 11．设计一条美丽的丝带，其造型可以看作图中的曲线的一部分．已知过坐标原点，且上的点满足：横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为9，则（     ） A． B．点在上 C．曲线在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D．当点在上时， 三、填空题（每小题5分，共计15分） 12．在斜三棱柱中，底面边长和侧棱长都为2，若，，，且，则的值为________ 13．在三角形中，角的对边分别为，直线与直线平行，则三角形是______三角形． 14．已知为椭圆上的动点，为圆上的动点，则的取值范围是______． 四、解答题 15．（本题满分13分）已知椭圆，为Γ的左、右焦点，点A在椭圆Γ上 (1)求的周长； (2)求的取值范围 16．（本题满分15分）在棱长为1的正方体中，E，F分别是，DB的中点，G在棱CD上，CG＝CD，H为的中点． （1）求EF，所成角的余弦值； （2）求FH的长． 17．（本题满分15分）过直线与的交点作直线分别与轴正半轴交于点． (1)若与直线平行，求直线的方程； (2)求过点且截距相等的直线方程； (3)对于最小，面积最小，若选择_____作为条件，求直线的方程．(只能选一个，选俩算第一个） 18．（本题满分17分）如图，四棱锥的底面是正方形，平面，且． (1)设是棱上一点，且平面，求的值； (2)过作于，求直线与平面所成的角的正弦值． 19．（本题满分17分）如图，已知圆，点为直线上一点，过点作圆的切线，切点分别为. （Ⅰ）已知，求切线的方程； （Ⅱ）直线是否过定点?若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由； （Ⅲ）若，两条切线分别交轴于点，记四边形面积为，三角形面积为，求的最小值. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027学年高二上学期期中数学模拟试题（2）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C A B C C B D AC AB 题号 11 答案 ABD 1．D 【难度】0.94 【知识点】判断圆与圆的位置关系 【分析】圆和圆的位置关系，可以通过比较圆心距和半径之和、半径之差间的关系判断﹒ 【详解】两圆圆心分别为，，半径分别为1和3，圆心距． ∵，∴两圆外离． 故答案为：D 2．C 【难度】0.94 【知识点】关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标 【分析】根据空间点的坐标的概念逐项分析可得答案. 【详解】关于轴对称的两个点的纵坐标相等，故A不正确； 关于平面对称的两个点的横坐标相反，纵坐标、竖坐标都相等，故B不正确； 关于坐标原点对称的两个点的横坐标、纵坐标、竖坐标都是相反数，故C正确； 关于平面对称的两个点的纵坐标相反，横坐标、竖坐标相等，故D不正确. 故选：C 3．A 【难度】0.94 【知识点】求椭圆的焦点、焦距 【分析】根据椭圆方程求出、、，即可求出焦点坐标； 【详解】解：椭圆的焦点在y轴上，，，则， 所以椭圆的焦点坐标，． 故选：A． 4．B 【难度】0.94 【知识点】向量垂直的坐标表示、由顶点坐标判断三角形的形状 【分析】由向量的坐标表示有，，结合向量数量积的坐标运算，即可判断三角形的形状. 【详解】由已知，，， ∴，即， ∴是直角三角形. 故选：B. 5．C 【难度】0.65 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量加减运算的几何表示、用空间基底表示向量 【分析】由已知，根据题意，将利用线性运算表示成的关系，然后利用待定系数法即可求解出. 【详解】由已知，在平行六面体中，与的交点为， 所以 所以. 故选：C. 6．C 【难度】0.65 【知识点】空间向量的加减运算、求空间向量的数量积、用空间基底表示向量、空间向量基本定理及其应用 【分析】由四点共面推得，再以为基底进行向量运算可得. 【详解】动点在平面上运动，且不共线， 则存在实数，使. 即， 所以. 又， 不共面， 由空间向量基本定理可知，故， 解得.即. 因为四面体正四面体，且棱长为. 所以，. 所以 . 故选：C. 7．B 【难度】0.65 【知识点】求点关于直线的对称点、由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】求出圆心关于直线对称的点坐标，即可得到圆关于直线对称的圆的方程． 【详解】圆的圆心坐标为，半径为， 设关于直线对称的点为，则 ，解得， 所以关于直线对称的点的坐标为 所以圆关于直线对称的圆的方程是 故选：B. 8．D 【难度】0.4 【知识点】余弦定理解三角形、椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中焦点三角形的其他问题 【分析】设，根据椭圆定义可得，进而可表示各边长，再结合余弦定理可得离心率. 【详解】 如图所示，设，则，， 由椭圆定义可知，， 则，，， 且， 则在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理可得， 即，化简可得， 即离心率为. 9．AC 【难度】0.85 【知识点】判定空间向量共面、空间共面向量定理的推论及应用 【分析】根据向量共面定理判断各项正误即可. 【详解】AC：由向量共面定理知，则与共面；＝x＋y，则M，P，A，B共面，正确； B：若共线，与不共线，则就不成立； D：若M，A，B共线，点P不在此直线上，则＝x＋y不正确． 故选：AC 10．AB 【难度】0.85 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】由题意可知可设圆心为，半径为，圆被轴截得的弦对的圆心角为，，求出，进而求出圆的方程. 【详解】解：根据题意，可设圆心为，半径为，如图所示： 根据圆被轴分成两段弧长之比为， 可得圆被轴截得的弦对的圆心角为， 所以，解得， 所以半径， 所以圆的方程为． 故选：AB． 11．ABD 【难度】0.4 【知识点】求点到直线的距离、曲线与方程的概念、点与曲线的位置关系、由方程研究曲线的性质、圆锥曲线新定义 【分析】设为曲线上任意一点，则.原点代入等式，结合，求解参数；把点代入等式判断等式是否成立；根据等式求出，根据点在曲线上，得到，特殊值（）代入，求得，判断曲线在第一象限的点的纵坐标的最大值大于1；根据等式求出，结合曲线方程中距离的非负性，对距离表达式进行放缩推导即可. 【详解】设为曲线上任意一点，则. 对于A，由曲线过坐标原点，得，解得，故A正确； 对于B，由得；当，时，， 点在上，故B正确； 对于C，由得. 由曲线在第一象限，得. 点在上，. 取，得，解得； 曲线在第一象限的点的纵坐标的最大值大于1，故C错误； 对于D，由点在上，得； ，，即，故D正确. 12．4 【难度】0.85 【知识点】空间向量的加减运算、求空间向量的数量积 【分析】根据向量线性运算分别表示出，结合向量数量积运算即可求解. 【详解】根据题意，画出空间几何体如下图： ，，，且，且底面边长和侧棱长都为2， 则，， 所以 故答案为：4 【点睛】本题考查了空间向量的线性运算和数量积的应用，属于基础题. 13．等腰 【难度】0.65 【知识点】正弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状、已知直线平行求参数 【分析】根据两直线平行的充要条件得到边角等式，结合正弦定理与三角恒等变换判断三角形形状. 【详解】已知直线与平行， 根据两直线平行的充要条件：对于直线和平行， 等价于且. 代入对应系数得，且， 由于边长，故，，显然不相等， 因此只需满足即可。 由正弦定理，，（为外接圆半径，）， 代入得：，移项后由两角差的正弦公式得. 在中，，故， 因此，即， 故为等腰三角形. 14． 【难度】0.65 【知识点】求椭圆中的最值问题 【详解】如图， 对椭圆，，，所以. 设为椭圆的右焦点，则， 因为，， 所以，即. 15．(1) (2) 【难度】0.82 【知识点】椭圆上点到焦点的距离及最值、椭圆中焦点三角形的周长问题、求椭圆中的最值问题 【分析】利用椭圆定义得椭圆上点到两焦点距离之和为，结合焦距计算三角形周长；将两距离乘积转化为关于单段距离的二次函数，结合距离取值范围求值域. 【详解】（1）由椭圆，得，，故，，因此焦距. 根据椭圆的定义，对任意椭圆上的点，有， 则的周长为： . （2） 由，可得， 设，椭圆上点到焦点的距离满足，即. 令，该函数为开口向下的二次函数，对称轴为，属于区间： 当时，取最大值； 当时，取最小值. 因此，即的取值范围为. 16．（1）；（2）. 【难度】0.65 【知识点】空间向量加减运算的几何表示、求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用 【分析】（1）设于是可得，，根据，，最后结合空间向量的夹角公式和数量积运算即可求得； （2）根据，再由空间向量模的运算和数量积的运算即可得到答案. 【详解】如图， 设则，. 因为， ， 所以， ，则， ，则， 所以，所以所成角的余弦值为. （2）因为， 所以，即FH的长为. 17．(1) (2)或 (3)选；选 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、直线截距式方程及辨析、直线与坐标轴围成图形的面积问题、由两条直线平行求方程、求直线交点坐标 【分析】（1）求出交点坐标，根据平行设出直线的方程，代入交点坐标，求出直线的方程； （2）分截距为0和截距不为0两种情况进行求解； （3）若选，利用基本不等式求最小时的条件，可求直线的方程；若选，利用基本不等式求面积最小时的条件，可求直线的方程. 【详解】（1）联立，解得，即得， 若与直线平行，设直线的方程为， 代入，解得， 直线的方程为. （2）设横、纵两截距相等的直线的方程为或， 将分别代入直线的方程得或，解得或. 故所求直线的方程为或． （3）设，，则直线的方程为，代入点可得. 若选：则， 当且仅当，即时等号成立，此时取得最小值， 直线l的斜率，故其方程为，即. 若选：由，可得，当且仅当时等号成立， x，即面积最小为4， 直线l的斜率，故其方程为，即. 18．(1)． (2)． 【难度】0.62 【知识点】证明线面垂直、求线面角、线面角的向量求法、由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 【分析】（1）利用线面平行的性质定理得到，结合三角形中位线，推出是的中点，比值等于1． （2）先证明平面，将作为平面的法向量，直接代入线面角公式算出正弦值为． 【详解】（1）解：连接与交于点，连接， 因为四边形是正方形 所以是的中点． 平面，平面平面，平面, 由线面平行性质定理得． 所以是的中点，即． （2）解：在正方形中，， 已知平面，平面， 则， 因为，平面，平面， 所以平面， 因为平面， 所以． 又，，平面，平面， 所以平面． 以为原点，，，分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，则， ， 则， 平面的法向量为． 设线面角为， ， 所以与平面所成的角的正弦值等于． 19．（Ⅰ）或；（Ⅱ）是，；（Ⅲ）25. 【难度】0.4 【知识点】直线过定点问题、过圆外一点的圆的切线方程、切线长 【解析】（Ⅰ）分切线的斜率存在和不存在两种情况，斜率存在时由圆心到直线的距离等于半径可得切线的方程； （Ⅱ）由题意求出以为圆心，以为半径的圆的方程，与圆联立可得弦所在的直线的方程，可得直线恒过定点； （Ⅲ）由题意求出面积，的表达式，求出面积之积的表达式，换元，由均值不等式可得其最小值． 【详解】（Ⅰ）情况1.当切线斜率不存在时，有切线 情况2.设切线：，即. 由得，解得，切线为 综上：切线为 （Ⅱ）在以点为圆心，切线长为半径的圆上， 即在圆：上 联立 得 所以过定点 (Ⅲ) 设； 得，， 切线统一记为，即 由得，得两根为 所以 所以，则 记 当，即时， 【点睛】解决解析几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $