精品解析：湖北省黄冈市2026-2027学年高三上学期11月期中考试供题数学试题

2026年秋季高三年级期中考试供题 数学 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将答题卡上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】， . 2. 若复数，则复数的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，得，因此的虚部为． 3. 甲、乙、丙、丁、戊5名同学站一排照相，若乙与丙不相邻，则不同的站法有（ ） A. 36 B. 72 C. 48． D. 96 【答案】B 【解析】 【分析】利用间接法，用全排列数减去乙丙相邻的站法数求解. 【详解】5名同学无任何限制的全排列数为； 将乙、丙捆绑为1个整体，与其余3名同学共4个元素进行全排列，同时考虑乙、丙内部的顺序，相邻站法数为 ； 因此乙、丙不相邻的站法数为. 4. 已知是边长为2的正方形对角线上的一点，则等于（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过建立平面直角坐标系将向量坐标化，利用向量数量积的坐标运算求解定值. 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，由正方形边长为2，得，，，， 直线的方程为，故可设的坐标为，其中， ，，. 5. 抛掷一枚质地均匀的骰子，骰子朝上一面的点数构成样本空间，记事件，若事件，相互独立，则事件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用古典概型概率公式计算各选项对应的事件概率与交事件概率，结合事件相互独立的充要条件逐一验证即可. 【详解】样本空间，包含6个等可能的基本事件，事件，包含2个基本事件， 若事件相互独立，则必有，据此对各选项逐一验证： 选项A：，故；，故，，由于，不满足独立条件，排除A； 选项B：，故；，故，，等式成立，满足事件相互独立的条件； 选项C：，故；，故，，由于，不满足独立条件，排除C； 选项D：，故；，故，，由于，不满足独立条件，排除D. 6. 若函数在处取得最小值2，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数在处取最小值2的条件，结合函数值与极值点的导数性质求出参数、，再代入计算即可. 【详解】函数的定义域为， 由题设，函数在处取得最小值2， 因此 ，解得， ， ，得，所以， ， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 因此是在定义域上的极小值点，也是最小值点，且，符合题设条件； 故. 7. 若函数的图象关于直线对称，则在下列区间内，函数单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为 的图象关于直线 对称， 为的最值，， 又因为，其中， 所以 的最值为 ， 所以 . 两边平方整理得 ，解得 ， 此时 ，符合题意. 所以 . 令 ，解得 ， 所以 的单调递增区间为 ，. 对于A：取 得递增区间 ，而 ，所以 在该区间上单调递增，所以A正确； 对于B ： 在 上递增、在 上递减，所以在 上不单调，所以B错误； 对于C ： 在 上递增，而 ，所以在 上不单调，所以C错误； 对于D ： 当 时，， 单调递增，所以 单调递减，所以D错误. 8. 已知数列的前项和为，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用递推式代入为奇数的情况，得出相邻两项和，分组求和求出，代入为偶数，推导出奇数项数列是间隔为2的等差数列，从而求出，最后将两者相加，即得的值. 【详解】由已知， 当（）时，， 所以，将数列前项两两分组， 则. 当（）时，， 将代入上式，得， 即，再将替换为（）可得， 两式相减得，说明奇数项数列中相隔1个位置的项构成公差为2的等差数列， 已知，由，得， 数列构成首项为，公差为的等差数列；而对应的项数， 其奇数项下标中的为奇数，故与同组， 由在奇数项组中的位置为项，所以， 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分． 9. 下列选项中正确的有（ ） A. 若一组数据，，，，的平均数为5，则该组数据的第60百分位数是5 B. 已知随机变量服从正态分布，且，则 C. 若，，则 D. 甲、乙两个盒子中都装有除颜色外完全相同的红球和黑球，两盒球的个数之比为．若从甲、乙两盒中各任取一球，取到红球的概率分别是0.4和0.3．现将这两个盒子中的球混合到一起，从中任取一球，取到红球的概率是0.34 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A，由题意可得， 重新按从小到大排序为， 因为，所以该组数据的第60百分位数是，故错误； 对于B，由正态分布的对称性可得，正确； 对于C，， ，正确； 对于D，设甲盒中有个球，乙盒中有个球， 因为从甲、乙两盒中各任取一球，取到红球的概率分别是0.4和0.3，所以甲盒中有红球，乙盒中有红球， 混合后总红球数为，所以从中任取一球，取到红球的概率是，正确. 10. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 在上单调递增 D. 的值域为 【答案】AB 【解析】 【分析】先利用倍角公式将函数化为关于的二次函数，再结合三角函数性质逐项判断； 【详解】由，令，则. 选项A：， 且不存在比更小的正周期，故的最小正周期为，A正确； 选项B：， 所以的图象关于直线对称，B正确； 选项C：， 在上，令，设， 当时，，而在上为减函数， 故在为减函数， 同理在为增函数，故C错误； 选项D：在时取得最大值，在时取得最小值， 故值域为，不是，D错误； 11. 已知函数，若在点和点（）处的切线分别为，，且，与轴和轴分别交于点和，与轴和轴分别交于点和，下列选项中正确的有（ ） A. 为定值 B. 直线的斜率为定值 C. 直线与直线互相垂直 D. 记直线和的斜率分别为，，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】先明确分段函数的解析式，分段求导.利用可判断A的真假；写出直线的斜率并整理，可判断B的真假；计算的值，可判断C的真假；利用特例，可判断D的真假. 【详解】因为， 所以. 对A，因为，所以，即. 所以为定值.故A正确； 对B，直线的斜率为：为定值.故B正确； 对C，因为直线的方程为：，令得， 同理. 所以，， 因为， 所以， 所以，所以直线与直线互相垂直.故C正确； 对D，令，， 则，，所以：，所以； ，，所以：，所以. 所以直线的斜率， 直线的斜率， 所以.故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则______． 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以． 又因为是奇函数，所以． 13. 已知点，分别在的边，上，且，，为线段的中点，为线段与的交点，若，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先通过向量线性运算与三点共线的向量性质推导的等量关系，再利用“1的代换”结合基本不等式求解目标式的最小值. 【详解】因为为线段的中点， 所以， 把，代入上式， 得：， 因为为线段与的交点，即三点共线， 所以， 由于分别在边上，故，，即，， 根据基本不等式， 有：， 当且仅当，即时等号成立， 联立，解得，故等号可取， 故. 14. 在中，已知，且是与的等差中项，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意得，将其化简得，再由整理得，然后联合两式即可求出. 【详解】由题知，由为的内角，， ， ，由正弦定理得， 由余弦定理得，①， 由，， ， ， ②， 将①代入②得，， ，，， ，. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前项和为，且满足． （1）求数列的通项； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用数列前项和与通项的关系，通过作差推导递推关系，判定数列为等比数列后求解通项； （2）先化简的表达式得到的通项，再通过错位相减法求解数列的前项和； 【小问1详解】 已知， ① 当时，，解得； ② 当时，可得， 作差：，化简得：， 因此数列是以为首项，公比为3的等比数列， 根据等比数列通项公式，得， 验证时，，与首项结果一致，故通项公式为； 【小问2详解】 由（1），， ∴， 因此数列的通项为， 其前项和为：， ， 两式相减得：， ，化简得， 即数列的前项和为； 16. 已知的角，，对边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若，为的中点，，求． 【答案】（1）角的大小为 （2）的长度为 【解析】 【分析】（1）由正弦定理角化边和余弦定理可得； （2）由余弦定理可解. 【小问1详解】 因为． 由正弦定理可得， 由余弦定理可得， 因为，所以. 【小问2详解】 在中，， 即，解得， 即， 所以在中，由余弦定理可得 17. 某市人力资源社会保障部门为了制定大学生就业相关的帮扶政策，积极引导应届大学毕业生顺利就业．在大型招聘会现场随机调查了100名大学生的月薪理想值．根据调查结果，绘制成月薪理想值的频率分布直方图，如图所示．请根据该频率分布直方图，解答下列问题． （1）估计本届大学毕业生的月薪理想值的平均数．（同一组数据用该组区间的中点值为代表）． （2）若把月薪理想值超过12千元的受访者称为乐观求职者，用此样本频率估计概率，各受访者可视为相互独立． （i）从本届大学毕业生随机抽取1名毕业生，求恰为乐观求职者的概率是多少？ （ii）若随机采访5名本届大学毕业生求职者，设其中有X名乐观求职者，求X的数学期望与方差． 【答案】（1）（千元）； （2）（i）；（ii），. 【解析】 【分析】（1）利用各组中点值乘以对应频率（矩形面积）求和，即可估算出平均数； （2）（i）将超过千元的两组频率相加即可得到概率估计值； （ii）判断出随机变量服从二项分布，直接代入期望和方差公式计算即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图，估计本届大学毕业生的月薪理想值的平均数为：（千元）. 【小问2详解】 由题意，月薪理想值超过12千元的频率为, 用样本频率估计概率，则任取1名毕业生，其为乐观求职者的概率. （i）从本届大学毕业生随机抽取1名，恰为乐观求职者的概率是； （ii）因为每次采访相互独立，且每次采访只有“是乐观求职者”和“不是乐观求职者”两种结果，所以随机变量服从二项分布，即， 所以的数学期望为：， 的方差为：. 18. 已知函数． （1）若曲线存在斜率小于0的切线，求的取值范围； （2）当时，求函数的单调区间； （3）讨论函数的零点个数． 【答案】（1） （2）在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. （3）当或时，函数有1个零点；当时，函数有3个零点. 【解析】 【分析】（1）求导，根据在上有解，结合基本不等式，可求的取值范围. （2）求导，利用导函数的符号确定函数的单调区间. （3）求导，分情况讨论函数的单调性与极值，可得函数的零点个数. 【小问1详解】 因为，所以，且. 因为曲线存在斜率小于0的切线，所以在上有解. 由. 又因为，所以，当且仅当时取等号，所以，， 所以，即实数的取值范围为. 【小问2详解】 当时，，. 由或；由. 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 首先，所以必是函数的1个零点. 因为，. 当时，在上恒成立，所以在上单调递减， 所以函数在上只有这1个零点； 当时，因为，所以在上恒成立，所以在上单调递增， 所以函数在上只有这1个零点； 当时，由或， 所以当或时，；当时，. 故在和上单调递增，在上单调递减. 所以函数在处取得极大值，在处取得极小值. 又，，所以极大值大于0，极小值小于0. 又当时，；当时，. 所以在和各有1个零点，再加上这个零点，函数共有3个零点. 综上可得：当或时，函数有1个零点；当时，函数有3个零点. 19. 已知集合，为从集合到集合的一个函数，该函数记为：，即对于任意的，都有唯一的． （1）若函数满足条件：，，当时，都有，则称函数为非严格单调递增函数．现从集合中随机抽取一个函数，求恰为非严格单调递增函数的概率； （2）若满足，则称为函数的一个不动点，设表示函数的不动点个数． （i）求的分布列与期望； （ii）计算，，，并猜想的值是多少，且证明你的结论． 【答案】（1） （2）（i）分布列为： （ii）①，，函数只有一个：，必然是不动点，，所以. ②，，设指示变量：，则，； ，，所以； ③，，， 所以； 猜想：.证明如下： 构造指示随机变量，对每个， ，不动点数：， 对任意固定下标，可以等可能取中个元素，满足的概率， ，由期望的性质可得： ，即得证. 【解析】 【分析】（1）根据概率的计算公式计算即可； （2）（i）根据概率的计算公式求解； （ii）分别依次分析时，事件的概率与期望，结合一般情况进行整体分析，整体计算概率与期望. 【小问1详解】 根据函数的定义，对于每一个，都可以取中任意一个数， 一共有种选择， 非严格单调递增：， 问题等价于：求满足，且的三元组的数量； 递增函数的数量为：，所以. 【小问2详解】 （i），总函数的数量为个， 设事件，则 ， ，， ，， ， 所以分布列为： . （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季高三年级期中考试供题 数学 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将答题卡上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数，则复数的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 3. 甲、乙、丙、丁、戊5名同学站一排照相，若乙与丙不相邻，则不同的站法有（ ） A. 36 B. 72 C. 48． D. 96 4. 已知是边长为2的正方形对角线上的一点，则等于（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 5. 抛掷一枚质地均匀的骰子，骰子朝上一面的点数构成样本空间，记事件，若事件，相互独立，则事件可以是（ ） A. B. C. D. 6. 若函数在处取得最小值2，则（ ） A. B. C. D. 7. 若函数的图象关于直线对称，则在下列区间内，函数单调递增的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列的前项和为，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分． 9. 下列选项中正确的有（ ） A. 若一组数据，，，，的平均数为5，则该组数据的第60百分位数是5 B. 已知随机变量服从正态分布，且，则 C. 若，，则 D. 甲、乙两个盒子中都装有除颜色外完全相同的红球和黑球，两盒球的个数之比为．若从甲、乙两盒中各任取一球，取到红球的概率分别是0.4和0.3．现将这两个盒子中的球混合到一起，从中任取一球，取到红球的概率是0.34 10. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 在上单调递增 D. 的值域为 11. 已知函数，若在点和点（）处的切线分别为，，且，与轴和轴分别交于点和，与轴和轴分别交于点和，下列选项中正确的有（ ） A. 为定值 B. 直线的斜率为定值 C. 直线与直线互相垂直 D. 记直线和的斜率分别为，，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则______． 13. 已知点，分别在的边，上，且，，为线段的中点，为线段与的交点，若，则的最小值为__________． 14. 在中，已知，且是与的等差中项，则的值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前项和为，且满足． （1）求数列的通项； （2）若，求数列的前项和． 16. 已知的角，，对边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若，为的中点，，求． 17. 某市人力资源社会保障部门为了制定大学生就业相关的帮扶政策，积极引导应届大学毕业生顺利就业．在大型招聘会现场随机调查了100名大学生的月薪理想值．根据调查结果，绘制成月薪理想值的频率分布直方图，如图所示．请根据该频率分布直方图，解答下列问题． （1）估计本届大学毕业生的月薪理想值的平均数．（同一组数据用该组区间的中点值为代表）． （2）若把月薪理想值超过12千元的受访者称为乐观求职者，用此样本频率估计概率，各受访者可视为相互独立． （i）从本届大学毕业生随机抽取1名毕业生，求恰为乐观求职者的概率是多少？ （ii）若随机采访5名本届大学毕业生求职者，设其中有X名乐观求职者，求X的数学期望与方差． 18. 已知函数． （1）若曲线存在斜率小于0的切线，求的取值范围； （2）当时，求函数的单调区间； （3）讨论函数的零点个数． 19. 已知集合，为从集合到集合的一个函数，该函数记为：，即对于任意的，都有唯一的． （1）若函数满足条件：，，当时，都有，则称函数为非严格单调递增函数．现从集合中随机抽取一个函数，求恰为非严格单调递增函数的概率； （2）若满足，则称为函数的一个不动点，设表示函数的不动点个数． （i）求的分布列与期望； （ii）计算，，，并猜想的值是多少，且证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $