精品解析：湖北宜昌市秭归县第一中学2026-2027学年高三上学期11月阶段性诊断考试数学试卷

2027届高三11月阶段性诊断考试 数学试卷 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. ★★祝考试顺利！★★ 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并认真核准准考证号条形码上的以上信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 4. 在正方体中，E，F分别为的中点，则（ ） A. 平面平面 B. 平面平面 C. 平面平面 D. 平面平面 5. 已知等比数列的前3项和为168，，则（ ） A. 14 B. 12 C. 6 D. 3 6. 有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ） A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种 7. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若实数、、满足，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 在经验回归方程中，当解释变量x每增加1时，响应变量y平均减少2.3 B. 在经验回归方程中，相对于样本点的残差为–0.25 C. 在残差图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好 D. 若两个变量的决定系数R²越大，表示残差平方和越小，即拟合效果越好 10. 已知函数的定义域为R，且，则（     ） A. B. 是偶函数 C. 是周期函数 D. 11. 如图，在棱长为1的正四面体中，点是顶点在底面内的射影，为的中点，则（ ） A. B. C. 点到平面的距离为 D. 三棱锥的外接球体积为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数为________________（用数字作答）． 13. 当时，化简__________. 14. 设函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，当x∈[1，2]时，f(x)＝ax2＋b.若f(0)＋f(3)＝6，则f()＝____________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 现在很多市民都喜欢骑“共享单车”，但也有很多市民并不喜欢.为了调查人们是否喜欢这种交通方式，某同学从交通拥堵严重的A城市和交通拥堵不严重的B城市随机调查了100名市民，得到了一个市民是否喜欢骑“共享单车”的样本，具体数据如下列联表： A B 总计 喜欢 40 10 50 不喜欢 20 30 50 总计 60 40 100 （1）根据列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢骑“共享单车”与城市的拥堵情况有关联？ （2）为进一步了解A城市的拥堵情况，该同学从样本中A城市的市民中按是否喜欢利用分层随机抽样的方法抽取6人，并从这6人中选出2人代表发言，记代表发言中喜欢骑“共享单车”的人数为，求随机变量的分布列及数学期望. 附表格及参考公式：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 设函数（且）是定义域为的奇函数，． （1）求函数的解析式； （2）若在上的最小值为，求的值． 17. 如图，四棱锥中，是边长为2的正方形，是以为顶点的等腰直角三角形，为的中点，为的中点，． （1）证明：； （2）过两点的平面与直线分别交于点，且平面，求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，． （1）求的通项公式； （2）证明：当时，． 19. 甲、乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得1分，负者得0分．设每个球甲胜的概率为，乙胜的概率为q，，且各球的胜负相互独立.对正整数，记为打完k个球后甲比乙至少多得2分的概率，为打完k个球后乙比甲至少多得2分的概率． （1）求（用p表示）． （2）若，求p． （3）证明：对任意正整数m，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三11月阶段性诊断考试 数学试卷 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. ★★祝考试顺利！★★ 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并认真核准准考证号条形码上的以上信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解分式不等式、一元一次不等式求集合，再由集合的交集运算求集合. 【详解】不等式，所以， 又，所以. 故选：D 2. “”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，求出的范围，再利用充分不必要条件的定义判断得解. 【详解】，而函数在上单调递增， 当时，，因此，解得， 选项中只有是的真子集， 所以“”的一个充分不必要条件是. 故选：D 3. 已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B中函数的奇偶性，再判断A、C中函数在上的函数符号排除选项，即得答案. 【详解】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且， 由且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除； 当时、，即A、C中上函数值为正，排除； 故选：D 4. 在正方体中，E，F分别为的中点，则（ ） A. 平面平面 B. 平面平面 C. 平面平面 D. 平面平面 【答案】A 【解析】 【分析】证明平面，即可判断A；如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，设，分别求出平面，，的法向量，根据法向量的位置关系，即可判断BCD. 【详解】解：在正方体中， 且平面， 又平面，所以， 因为分别为的中点， 所以，所以， 又， 所以平面， 又平面， 所以平面平面，故A正确； 选项BCD解法一： 如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，设， 则， ， 则，， 设平面的法向量为， 则有，可取， 同理可得平面的法向量为， 平面的法向量为， 平面的法向量为， 则， 所以平面与平面不垂直，故B错误； 因为与不平行， 所以平面与平面不平行，故C错误； 因为与不平行， 所以平面与平面不平行，故D错误， 故选：A. 选项BCD解法二： 解：对于选项B，如图所示，设，，则为平面与平面的交线， 在内，作于点，在内，作，交于点，连结， 则或其补角为平面与平面所成二面角的平面角， 由勾股定理可知：，， 底面正方形中，为中点，则， 由勾股定理可得， 从而有：， 据此可得，即， 据此可得平面平面不成立，选项B错误； 对于选项C，取的中点，则， 由于与平面相交，故平面平面不成立，选项C错误； 对于选项D，取的中点，很明显四边形为平行四边形，则， 由于与平面相交，故平面平面不成立，选项D错误； 故选：A. 5. 已知等比数列的前3项和为168，，则（ ） A. 14 B. 12 C. 6 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，易得，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解. 【详解】解：设等比数列的公比为， 若，则，与题意矛盾， 所以， 则，解得， 所以. 故选：D. 6. 有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ） A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种 【答案】B 【解析】 【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解 【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式， 故选：B 7. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用不等式，放缩法可比较数的大小. 【详解】当时，有， 则，所以， 所以，所以. 故选：C. 8. 已知函数，若实数、、满足，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出函数的图象，可知，求出的取值范围，根据求出的值，由此可得出的取值范围. 【详解】作出函数的图象，如图： 由图可知，，即，得， 即， 由，即，可得， 得，即，所以. 所以，，故的取值范围为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于根据图形确定、、的范围，结合图形以及代数运算求出为定值，再结合的范围求解. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 在经验回归方程中，当解释变量x每增加1时，响应变量y平均减少2.3 B. 在经验回归方程中，相对于样本点的残差为–0.25 C. 在残差图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好 D. 若两个变量的决定系数R²越大，表示残差平方和越小，即拟合效果越好 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据经验回归方程的解析式即可判断A；根据回归方程计算，由残差定义即可求得结果可判断B；根据残差图的分布情况分析可判断C；根据决定系数的意义即可判断D. 【详解】对于A，因为， 当解释变量x每增加1时，响应变量y平均减少，故A错误； 对于B，因为，， 所以相对于样本点的残差为，故B正确； 对于C，在残差图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好，故C正确； 对于D，由决定系数的意义可知，越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，故D正确. 故选：BCD. 10. 已知函数的定义域为R，且，则（     ） A. B. 是偶函数 C. 是周期函数 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题设抽象函数的方程，通过赋值法，利用函数的奇偶性定义及周期定义逐项计算判断即可. 【详解】因为， 对于A，令，得，因，则得，故A正确； 对于B，令，得，即，故函数为偶函数，即B正确； 对于C，令，得， 则有，联立可得，则， 故有，即得，故函数的一个周期为，故C正确； 对于D，由上已得， 则，，， ，，故． 因，则．故D错误. 11. 如图，在棱长为1的正四面体中，点是顶点在底面内的射影，为的中点，则（ ） A. B. C. 点到平面的距离为 D. 三棱锥的外接球体积为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用正四面体的结构特征，求出，再结合线面垂直、球的体积公式判断各选项即可. 【详解】在棱长为1的正四面体中，平面，连接， 则，,， ，同理， 对于A，，则，A正确； 对于B，由选项A知，，若，而平面， 则平面，又平面，于是，， 而，即，因此不垂直，B错误； 对于C，由选项A知，两两垂直，则有平面， 因此点到平面的距离为，C正确； 对于D，三棱锥的外接球与以为棱的正方体外接球相同， 则该球的直径为，半径为，体积为，D错误. 故选：AC 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数为________________（用数字作答）． 【答案】-28 【解析】 【分析】可化为，结合二项式展开式的通项公式求解. 【详解】因为， 所以的展开式中含的项为， 的展开式中的系数为-28 故答案为：-28 13. 当时，化简__________. 【答案】 【解析】 【详解】 14. 设函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，当x∈[1，2]时，f(x)＝ax2＋b.若f(0)＋f(3)＝6，则f()＝____________. 【答案】 【解析】 【分析】由f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，可得，，再结合已知的解析式可得，然后结合已知可求出，从而可得当时，，进而是结合前面的式子可求得答案 【详解】因为f(x＋1)为奇函数，所以的图象关于点对称， 所以，且 因为f(x＋2)为偶函数， 所以的图象关于直线对称，， 所以，即， 所以，即， 当x∈[1，2]时，f(x)＝ax2＋b，则 ， 因为，所以，得， 因为，所以， 所以当时，， 所以， 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 现在很多市民都喜欢骑“共享单车”，但也有很多市民并不喜欢.为了调查人们是否喜欢这种交通方式，某同学从交通拥堵严重的A城市和交通拥堵不严重的B城市随机调查了100名市民，得到了一个市民是否喜欢骑“共享单车”的样本，具体数据如下列联表： A B 总计 喜欢 40 10 50 不喜欢 20 30 50 总计 60 40 100 （1）根据列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢骑“共享单车”与城市的拥堵情况有关联？ （2）为进一步了解A城市的拥堵情况，该同学从样本中A城市的市民中按是否喜欢利用分层随机抽样的方法抽取6人，并从这6人中选出2人代表发言，记代表发言中喜欢骑“共享单车”的人数为，求随机变量的分布列及数学期望. 附表格及参考公式：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）有关联 （2）分布列为： 0 1 2 . 【解析】 【分析】（1）根据小概率值独立性检验思想，计算判断即得； （2）由题意，确定的所有可能的值，利用超几何分布概率公式计算对应的概率，列出概率分布表，计算其数学期望即可. 【小问1详解】 零假设为：市民是否喜欢骑“共享单车”与城市的拥堵情况无关联. 根据列联表中的数据，得. 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为市民是否喜欢骑“共享单车”与城市的拥堵情况有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001. 【小问2详解】 根据分层随机抽样的知识可知，随机抽取的6人中喜欢骑“共享单车”的有4人，不喜欢骑“共享单车”的有2人， 则随机变量的所有可能取值为， 故， 所以的分布列为： 0 1 2 所以. 16. 设函数（且）是定义域为的奇函数，． （1）求函数的解析式； （2）若在上的最小值为，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）由题意得：，由此可得，再代入，解方程可得：，即可求出函数的解析式； （2）由（1）得，，令，利用换元法转化为二次函数的最值，再分类讨论即可求出答案． 【详解】解：（1）由题意知：， 即， 解得：， ， 由，得：， 即， 解得：，或（舍去）， ； （2）由（1）得，， 令， 易知：在上单调递增， 故当时，， ∴函数转化为，对称轴为：， 当时， ， 即， 解得，或（舍去）； ②当时，， 解得（舍去）； 综上所述：． 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用换元法和二次函数的图象与性质进行求解. 17. 如图，四棱锥中，是边长为2的正方形，是以为顶点的等腰直角三角形，为的中点，为的中点，． （1）证明：； （2）过两点的平面与直线分别交于点，且平面，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 连结，因为是等腰直角三角形，且为斜边的中点， 所以，且， ，， 所以， 所以，且，平面， 所以平面，且平面， 所以. （2） 【解析】 【分析】（1）根据几何关系，证明平面，即可证明线线垂直； （2）根据线面平行的性质定理说明，再根据（1）的结果，以点为原点建立空间直角坐标系，分别求平面和平面的法向量，利用向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连结，因为平面，平面，平面平面， 所以，即， 由（1）知平面， 如图以点为原点，为轴，过点作与平行的直线为轴， ，，，，，， ，，，， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则，， 则平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为 则，即，令，则， 所以平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，． （1）求的通项公式； （2）证明：当时，． 【答案】（1）； （2）证明：方法1：由（1）知，，， 当为偶数时，， ， 当时，，因此， 当为奇数时，， 当时，，因此， 所以当时，. 方法2：由（1）知，，， 当为偶数时，， 当时，，因此， 当为奇数时， ，显然满足上式，因此当为奇数时，， 当时，，因此， 所以当时，. 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，用表示及，即可求解作答. （2）方法1，利用（1）的结论求出，，再分奇偶结合分组求和法求出，并与作差比较作答；方法2，利用（1）的结论求出，，再分奇偶借助等差数列前n项和公式求出，并与作差比较作答. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，而， 则， 于是，解得，， 所以数列的通项公式是. 【小问2详解】 略 19. 甲、乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得1分，负者得0分．设每个球甲胜的概率为，乙胜的概率为q，，且各球的胜负相互独立.对正整数，记为打完k个球后甲比乙至少多得2分的概率，为打完k个球后乙比甲至少多得2分的概率． （1）求（用p表示）． （2）若，求p． （3）证明：对任意正整数m，． 【答案】（1）， （2） （3） 设打完个球，甲的得分为，乙的得分为，， 所以，，， ，，， 要证明， 即证明①，②， 先证明①， ， 同理可得， 所以①，故成立； 证明②： ， 同理可得， 所以②，故成立； 综上，不等式成立. 【解析】 【分析】（1）直接由二项分布概率计算公式即可求解； （2）由题意，联立，即可求解； （3）首先，，同理有，，作差有，另一方面，且同理有，作差能得到，由此即可得证. 【小问1详解】 为打完3个球后甲比乙至少多得两分的概率，故只能甲胜三场， 故所求为， 为打完4个球后甲比乙至少多得两分的概率，故甲胜三场或四场， 故所求为； 【小问2详解】 由（1）得，，同理， 若，， 则， 由于，所以，解得； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $