精品解析：天津市蓟州区2026-2027学年第一学期期中练习高一数学

2026～2027学年度第一学期期中练习 高一数学 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 用一段长为的篱笆围成一个矩形花园，则该花园的面积（单位）的最大值为（ ） A. 4.5 B. 9 C. 18 D. 36 4. 已知，下列命题正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列哪一组中的函数和是同一个函数（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 6. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数．设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 设一元二次函数，若的解集为，则下列命题正确的个数是（ ） ①； ②不等式：的解集为； ③函数的值域为． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 10. 写出命题，的否定______． 11. 不等式的解集为______． 12. 设，若函数为偶函数，则______． 13. 已知函数是定义在上的奇函数，且对于任意的满足，当时，，则______． 14. 为了节约能源，某市对居民生活用天然气实行“阶梯定价”，计费方式如下表： 每户每年天然气用量 天然气价格 不超过 2.86元 超过但不超过的部分 3.36元 超过的部分 4.11元 若某户居民一年的天然气费为2071.5元，则此户居民这一年天然气的使用量为______． 15. 定义运算“”：，设函数，对任意的，恒有，则实数的取值范围______． 三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （1）已知，求函数的最小值； （2）已知，，且，求的最小值． 17. 已知集合，非空集合，． （1）当时，求，； （2）若，求的取值范围． 18. （1）求关于的不等式的解集； （2）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围． 19. 已知函数，其中． （1）判断的奇偶性并证明； （2）根据函数单调性的定义，证明在区间上单调递增； （3）求不等式的解集． 20. 已知幂函数为偶函数． （1）求的解析式； （2）若存在，使得不等式对任意成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026～2027学年度第一学期期中练习 高一数学 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】集合，，则. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先求得不等式的解集，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由不等式，解得或， 当成立时，不等式一定成立，所以充分性成立； 反之，当成立时，不一定成立，所以必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 3. 用一段长为的篱笆围成一个矩形花园，则该花园的面积（单位）的最大值为（ ） A. 4.5 B. 9 C. 18 D. 36 【答案】B 【解析】 【详解】设花园长为，则宽为，面积为，所以该花园面积的最大值为. 4. 已知，下列命题正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用不等式的性质求解. 【详解】因为，所以，当时，，故A错误； 因为，所以，故B正确； 因为，当时，，故C错误； 当时，故D错误. 5. 下列哪一组中的函数和是同一个函数（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】由函数的定义逐个判断各个选项. 【详解】A选项，定义域为，定义域为，，A选项错误； B选项，定义域为，定义域为，B选项错误； C选项，定义域为，定义域为，C选项错误； D选项，定义域为，定义域为，，所以D选项正确. 6. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，得，故函数的定义域为. 设，，则， 在区间上递增，在区间上递减. 由于函数在上递增，故的单调递减区间是（或）. 7. 已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数．设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】已知是定义在上的偶函数，所以，， 又在上是增函数，且，所以，即． 8. 若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】函数在上单调递减， ，解得， 故实数的取值范围是. 9. 设一元二次函数，若的解集为，则下列命题正确的个数是（ ） ①； ②不等式：的解集为； ③函数的值域为． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】对于①，根据不等式的解集，即可判断的正负，结合韦达定理，用表示和，即可判断①的对错；对于②，将和代入中，结合的正负，约去，即可求解；对于③，先根据二次函数值域的求法，求出的范围，即可求出的值域. 【详解】因为的解集为， 所以方程的解为或，且， 由韦达定理可得：，所以， 所以，，所以，故①错误； 对于不等式：，可化为， 即，解得， 所以不等式的解集为，故②正确； 对于函数，， 而，函数开口向下，对称轴为直线， 所以当时，取最大值为，无最小值， 因为，所以，即， 对于函数， 当时，， 当时，， 所以的值域为，故③正确. 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 10. 写出命题，的否定______． 【答案】， 【解析】 【详解】存在量词命题的否定是把存在量词变成全称量词，然后否定结论， 命题，的否定是， 11. 不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【详解】即，得或， 故不等式的解集为 12. 设，若函数为偶函数，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】由偶函数定义建立等式求得答案. 【详解】由题意可知， 若，则， 所以， 所以，经检验，符合偶函数， 所以. 13. 已知函数是定义在上的奇函数，且对于任意的满足，当时，，则______． 【答案】2 【解析】 【详解】已知任意的满足， 则， 所以函数是周期为的周期函数；即， 令，可得， 又是定义在上的奇函数，因此， 即，又，故． 14. 为了节约能源，某市对居民生活用天然气实行“阶梯定价”，计费方式如下表： 每户每年天然气用量 天然气价格 不超过 2.86元 超过但不超过的部分 3.36元 超过的部分 4.11元 若某户居民一年的天然气费为2071.5元，则此户居民这一年天然气的使用量为______． 【答案】650 【解析】 【详解】设此户居民这一年天然气的使用量为，一年的天然气费为元， 若，则天然气费为， 所以此时，当时，最大为，不合题意； 若，则天然气费为， 此时当时，最大为，不合题意； 若， 则天然气费为， 令，得，解得，在范围内， 综上，所以此户居民这一年天然气的使用量为. 15. 定义运算“”：，设函数，对任意的，恒有，则实数的取值范围______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的新定义，由，求得或，分类讨论，列出不等式，求得的解集，结合集合的包含关系，列出不等式组，即可求解. 【详解】由不等式，即，解得或， 根据定义运算“”：， 当或时， 由不等式，可得，解得， 所以，即不等式的解集为； 当时，，由不等式，可得，解得， 所以不等式的解集为， 又由，所以恒成立时，可得， 因为，恒有，所以，解得， 所以实数的取值范围为. 三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （1）已知，求函数的最小值； （2）已知，，且，求的最小值． 【答案】（1）7；（2）9． 【解析】 【分析】（1）配凑法变形，构造可用基本不等式的形式，注意验证等号成立的条件； （2）利用“乘 1 法”，借助整体代换，展开后再用基本不等式求最值. 【详解】（1）因为，所以. . 由基本不等式，得. 当且仅当，即时，等号成立， 因此，函数的最小值为7. （2）因为，，且， 所以. 由基本不等式得. 当且仅当，即时，等号成立， 因此，的最小值为9. 17. 已知集合，非空集合，． （1）当时，求，； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合的交并补运算即可求解； （2）先根据题意得到，进而根据集合间的包含关系即可求解． 【小问1详解】 当时，， 又，则，或， 所以． 【小问2详解】 由，则， 又为非空集合，则，解得． 综上，的取值范围为． 18. （1）求关于的不等式的解集； （2）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围． 【答案】（1）当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为． （2）. 【解析】 【分析】（1）将分为，，三类求解不等式的解集； （2）当时，原不等式为，恒不成立，满足解集为空的要求；当时，利用二次函数的性质即可. 【详解】（1） 当时，即，解得，不等式解集为； 当时，即，解得，不等式解集为； 当时，即，不等式解集为. 综上所述，当时，不等式解集为；当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为． （2）由关于的不等式的解集为， 可知①当时，不等式为，满足解集为； ②可得； ③当时，不满足解集为. 综上所述，实数的取值范围为． 19. 已知函数，其中． （1）判断的奇偶性并证明； （2）根据函数单调性的定义，证明在区间上单调递增； （3）求不等式的解集． 【答案】（1）函数为偶函数. 证明：由函数的定义域为，关于原点对称， 且，即， 所以函数为偶函数． （2）证明：任取，且，可得， 则由，可得，，， 所以，即， 所以函数在区间上单调递增． （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用函数奇偶性的定义与判定方法，即可求解； （2）根据题意，利用函数单调性的定义和判定方法，即可求解； （3）由（1）（2）得到函数为偶函数，且在上递增，在上递减，把不等式转化为不等式组，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）知：函数为偶函数，则函数的图象关于轴对称， 又由（2）知，函数在区间上单调递增，则在区间上单调递减， 因为，可得，解得或， 所以原不等式的解集为． 20. 已知幂函数为偶函数． （1）求的解析式； （2）若存在，使得不等式对任意成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据幂函数及偶函数的定义即可求解； （2）先将题中不等式条件转化为在上恒成立，进而结合二次函数的性质分类讨论即可求解． 【小问1详解】 由是幂函数，则，可得，或， 所以，或， 又定义域为，不满足为偶函数， 所以． 【小问2详解】 令，则为开口向上，且对称轴为的二次函数， 所以在区间上的最小值为， 从而不等式对恒成立，即在上恒成立， 令，则为开口向上，且对称轴为的二次函数，所以分类讨论如下： ①可得， ②可得， ③可得， 综上所述，实数的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $