精品解析：天津市和平区第二南开中学2026-2027学年高一年级上学期11月期中考试数学试卷

第二南开学校2026—2027学年度第一学期高一年级 数学学科期中质量调查 温馨提示：本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分． 考试时间100分钟．祝同学们考试顺利！ 第Ⅰ卷（选择题　共27分） 注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷上的无效． 3．本卷共9小题，每小题3分，共27分． 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目） 1. 设命题，则的否定为（ ） A. B. C. D. 2. 已知全集U＝R，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（　　） A. B. C. D. 3. 设，给出下列四个结论：①②③④，其中正确的结论的序号为（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ③④ D. ①③ 4. 函数的图象大致为（　　） A. B. C. D. 5. “或”是“幂函数在上是减函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的图象关于直线对称，当时，恒成立．设，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数有最大值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 9. 函数．若存在，使得，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题　共73分） 注意事项： 1．用黑色钢笔或签字笔直接答在答题卡上，答在本试卷上的无效． 2．本卷共11题，共73分． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 10. 对于任意两个正整数m，n，定义一种新运算，若集合，求集合的子集个数________． 11. 函数的值域是________；单调递减区间是________． 12. 定义在上的奇函数满足，当时，，当时，不等式的解集为________． 13. 已知实数，则的最大值为______． 14. 已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为________． 15. 已知函数，是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且．若对任意，都有，则实数a的取值范围是________． 三、解答题（本大题共5小题，共49分） 16. （1）解不等式组． （2）解分式不等式． 17. 已知函数． （1）若对于一切实数恒成立，求的取值范围； （2）解关于的不等式：． 18. 已知函数满足，函数满足． （1）求函数和的解析式； （2）求函数的值域． 19. 已知集合，{或}. （1）若，求的取值范围； （2）若，求的取值范围; （3）命题“，使得”为真命题，求的取值范围. 20. 已知函数是上的偶函数． （1）求实数的值； （2）判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明； （3）如果对，都有成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二南开学校2026—2027学年度第一学期高一年级 数学学科期中质量调查 温馨提示：本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分． 考试时间100分钟．祝同学们考试顺利！ 第Ⅰ卷（选择题　共27分） 注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷上的无效． 3．本卷共9小题，每小题3分，共27分． 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目） 1. 设命题，则的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题即得. 【详解】根据全称量词命题的否定为特称量词命题， 所以命题的否定为“”. 故选：D. 2. 已知全集U＝R，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据图确定集合为，再求集合，即可求解. 【详解】由图可知阴影部分表示的集合为， 因为集合，又全集， 所以，因为， 所以. 故选：B 3. 设，给出下列四个结论：①②③④，其中正确的结论的序号为（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ③④ D. ①③ 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质即可判断①②④，通过举反例可判断②。 【详解】因为，所以，，所以，则①正确； 不妨取满足，但是，故②错误； 因为，则，所以，故③正确，④错误. 故选：D 4. 函数的图象大致为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用奇偶性的定义判断的奇偶性，结合及上的值域，应用排除法确定图象. 【详解】令，其定义域为R，且， 所以是偶函数，排除A，又，排除B， 当，则，此时，当且仅当时取等号， 所以，有，则，排除C. 故选：D 5. “或”是“幂函数在上是减函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数定义及其单调性可得符合题意，可得结论. 【详解】由是幂函数可得，解得或； 当时，在上是减函数， 当时，在上是增函数,不合题意， 即可得“幂函数在上是减函数”的等价条件为“”； 而“”仅是“或”的一部分， 因此“或”是“幂函数在上是减函数”的必要不充分条件. 故选：C 6. 设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得的值. 【详解】由题意可得：， 而， 故. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键. 7. 已知函数的图象关于直线对称，当时，恒成立．设，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件得到函数在上是减函数，再由函数的图象关于直线对称和函数的单调性比较可得答案. 【详解】当且，时，恒成立， 可得在上单调递减，且关于对称， 所以在上单调递增，， ，， 即. 故选：B. 8. 已知函数有最大值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分情况讨论分段函数的单调性，进而确定最大值情况，即可得参数范围. 【详解】由已知当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 即函数在时的最大值为； 当时，， 若，函数在上单调递增，且恒成立， 此时函数在上有最大值为，满足题意； 若，函数，此时， 即函数在上有最大值为，满足题意； 若，函数在上单调递减，且， 则若使函数在上有最大值，则，解得； 综上所述，若函数有最大值，则， 故选：B. 9. 函数．若存在，使得，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过分类讨论和，将转化成具体的不等式，再转化为最值问题，根据单调性求出最值，可得的取值范围. 【详解】当时，，，可化为， 即存在，使得成立， 的对称轴为， 在区间单调递增， 只要，即，解得：， 又，， 当时，可化为，此时不等式恒成立， 综上所述，． 故选： 【点睛】本题考查了不等式有解问题，通过分类讨论转化成最值问题，使问题得到了解决，分类讨论是高中数学经常用到的解题方法，属于中档题. 第II卷（非选择题　共73分） 注意事项： 1．用黑色钢笔或签字笔直接答在答题卡上，答在本试卷上的无效． 2．本卷共11题，共73分． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 10. 对于任意两个正整数m，n，定义一种新运算，若集合，求集合的子集个数________． 【答案】512 【解析】 【分析】按照奇偶性求出集合的元素，利用子集个数的求解公式求解. 【详解】情况1：奇偶性相同，，， 为，，，，， 情况2： 奇偶性不同，，， 为，，，， ， 一共个元素，则的子集总数为. 11. 函数的值域是________；单调递减区间是________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先求出函数定义域，进而求出值域，并根据复合函数单调性满足同增异减得到答案. 【详解】令，解得或，故定义域为， ，故值域为， 由于在上单调递增， 而在上单调递减，在上单调递增， 由复合函数单调性满足同增异减可知，单调递减区间为. 故答案为：，. 12. 定义在上的奇函数满足，当时，，当时，不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】由奇函数的定义可得，根据已知条件确定函数在不同区间的符号，通过不等式性质解不等式可得所求解集. 【详解】由奇函数的定义可得， 当时，则，， 当时，则，， 由或， 根据分析可得的解集为. 13. 已知实数，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】令，则转化为，由得到，利用基本不等式求出的范围，从而得到的范围，继而得到的最大值. 【详解】令，因为 ，所以， 则, 因为，所以， 则，， 当且仅当，即当时，即取等号，则， 所以， 所以的最大值为. 14. 已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】由分段函数在上单调递增，需满足每段函数分别单调递增，且分段点处左段函数值不大于右段函数值，列出不等式求解即得的取值范围． 【详解】因函数在上单调递增， 当时，由单调递增，则，解得； 当时，对于函数，分两种情况考虑： ① 当，即时，函数在上单调递增，符合题意； ② 当，即时，因函数的单调递增区间为， 故需使，平方得，解得，故可得； 综合①，②可得； 又因在分段点处，需使，解得. 综上，由可得. 故实数的取值范围为. 15. 已知函数，是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且．若对任意，都有，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性求出，变形，构造函数，根据其在上单调递增，分、情况结合一次函数和二次函数的性质，求出实数的取值范围. 【详解】由题是奇函数，是偶函数，所以， 因为，则，所以， ，有，整理得. 若对任意，都有， 因为，所以，整理得， 设，所以在上单调递增， 当时，在上单调递增，符合题意. 当时，则函数为二次函数，对称轴为， 因为函数在上单调递增，所以或，解得或， 综上，或或都满足条件，即. 三、解答题（本大题共5小题，共49分） 16. （1）解不等式组． （2）解分式不等式． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【详解】（1）由得， 所以原不等式组的解集为； （2）由得，即，则， 解得，所以原不等式的解集为. 17. 已知函数． （1）若对于一切实数恒成立，求的取值范围； （2）解关于的不等式：． 【答案】（1）的取值范围为； （2）当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为。 【解析】 【分析】（1）分和两种情况讨论，结合一元二次不等式恒成立问题建立不等式组，即可求解； （2）通过对参数进行讨论，求解二次不等式. 【小问1详解】 若，则，解得，不是全体实数； 若，则对于一切实数恒成立，需满足， 因为，所以， 所以的取值范围是. 【小问2详解】 由题， 当时，，即，解得. 当时，因为的两个根为，， 若，，不等式的解集为. 若，，不等式的解集为. 若，，不等式的解集为. 若，，不等式的解集为. 综上： 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 若时，不等式的解集为. 18. 已知函数满足，函数满足． （1）求函数和的解析式； （2）求函数的值域． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用换元法求出的解析式，利用解方程组法求出的解析式； （2）利用换元法求函数的值域. 【小问1详解】 令，即，所以，即， 因为①，②， 由①②解得，. 【小问2详解】 因为， 令， 所以， 因为，所以， 所以该函数的值域为. 19. 已知集合，{或}. （1）若，求的取值范围； （2）若，求的取值范围; （3）命题“，使得”为真命题，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据列不等式，由此求得的取值范围. （2）对进行分类讨论，由此列不等式求得的取值范围. （3）根据题意可得，然后列不等式组，由此求得的取值范围；或先求出时的取值范围，然后由出其补集即可. 【小问1详解】 因为，{或}，， 所以， 解得，即的取值范围为． 【小问2详解】 当时，满足，此时，解得． 当时，或， 解得或，  综上，或，即的取值范围为． 【小问3详解】 方法一：命题“，使得”为真命题，即 ， 解得，即的取值范围为. 方法二：因为即 命题“，使得”为真命题，即 由（2）知时的取值范围为 所以时的取值范围为. 20. 已知函数是上的偶函数． （1）求实数的值； （2）判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明； （3）如果对，都有成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 由（1）可知：，即，该函数单调递增，理由如下： 设是上任意两个实数，且，即， ， 因为，所以， 所以函数在区间上单调递增； （3） 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的性质进行求解即可； （2）根据单调性的定义进行判断证明即可； （3）根据偶函数的性质，结合单调性先求出函数的值域，再解不等式即可. 【小问1详解】 因为函数是上的偶函数， 所以有， 因为，所以； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）可知：函数在区间上单调递增， 而函数是偶函数，所以函数在上单调递减， 因为，， 所以在上的值域为， 由恒成立，即， 也就是， 则，得， 所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $