湖北宜昌市宜都市2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题

2026年秋季学期初中学段期中学业水平测试 九年级数学 （全卷共24小题，满分120分，考试时间120分钟） 注意事项：本试卷分试题卷和答题卡两部分，请将答案写在答题卡上每题对应的答题区域内，写在试题卷上无效．考试结束时，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：（共10题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．将一元二次方程化成一般式，则一次项系数和常数项分别是（ ）． A．， B．， C．， D．， 2．根据表中的对应值，方程的一个根的取值范围是（ ）． 11.2 11.3 11.4 11.5 0.96 2.25 A． B． C． D． 3．若反比例函数的图象在第二、第四象限内，则的取值范围是（ ）． A． B． C． D．任意实数 4．以2和为两根的一元二次方程为（ ）． A． B． C． D． 5．已知二次函数，下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（ ） A．图象的开口向上 B．图象的顶点坐标是 C．当时，随的增大而减小 D．函数有最大值为 6．一元二次方程根的情况为（ ）． A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 7．用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A． B． C． D． 8．足球运动能锻炼学生的心肺功能、身体协调性、爆发力和耐力，促进骨骼与肌肉的发育，改善体态和运动能力．在某中学举办的“青春杯”校园足球赛中，采用单循环赛制（参赛的每两支球队之间都要进行一场比赛），共比赛28场，则参加比赛的球队数量是（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 9．已知为一元二次方程的根，则的值为（ ）． A． B． C． D． 10．二次函数（，，是常数，）的图象的一部分如图所示，其对称轴是直线．有下列说法： ①； ②； ③； ④； ⑤．其中正确的是（ ）． A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．②③⑤ 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．已知，是方程的两个根，则__________． 12．将二次函数的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后所得抛物线对应的函数解析式为__________． 13．已知反比例函数，当时，的取值范围是__________． 14．已知点，都在二次函数的图象上，则，的大小关系是__________．（填“<”或“>”） 15．如图，某湖面上有一座抛物线型拱桥，以拱顶为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则桥拱所在抛物线的函数表达式为．某一时刻，桥下水面的宽度为16米，则此时拱顶到水面的距离为__________米． 三、解答题（本大题共9小题，共75分） 16．（6分）解下列方程： （1） （2）． 17．（6分）如图，在宽为、长为的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，把耕地分成六块，要使修完道路后的耕地面积为，求道路的宽度． 18．（6分）在一次综合实践活动课上，小明设计了一个探究杠杆平衡条件的装置．如图，左边固定的托盘中放置一个重物，右边托盘中放置若干数量可以加减的砝码．改变托盘与点之间的距离（单位：），调整托盘中砝码的总质量（单位：），使装置重新在水平位置平衡（平衡时遵循杠杆的平衡条件），根据实验结果得到如下表格： 托盘与点之间的距离 10 20 30 40 托盘中砝码的总质量 60 30 20 15 （1）小明根据上述数据确定与之间是反比例函数关系，请运用表格中的数据求与之间的函数关系式； （2）当砝码的总质量为时，求托盘与点之间的距离； （3）已知该装置托盘与点之间的最大距离为，求该装置在水平位置平衡时托盘中砝码的最小总质量． 19．（8分）二次函数图象上部分点横坐标、纵坐标的对应值如下表： … 0 1 2 3 … … 0 0 … （1）画出函数图象． （2）求出二次函数的解析式． （3）当时，的取值范围为__________． 20．（8分）已知关于的一元二次方程． （1）若方程的一个根为，求的值； （2）求证：无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （3）若，是原方程的两个根，且，求的值． 21．（8分）如图，在矩形中，，，反比例函数（）的图象经过矩形边的中点，交边于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）在轴上找一点使的周长最小，求此时点的坐标； （3）在（2）的条件下，求出的面积． 22．（10分）2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品． （1）某电商平台数据显示，该毛绒小马2月份销量为10万件，4月份销量已增至12.1万件．求该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率； （2）某商铺以每件15元的价格购进“哭哭马”若干件，以线上和线下两种方式销售．线下市场调查发现，当售价为35元/件时，日销量为80件．售价每降低1元，日销量可增加10件． ①为借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销．为使线下日销售利润达到1800元，则每件应降价多少元？ ②若线上售价与线下相同，但每件产品商家需多付3元快递费，且线上日销量固定为100件．当每件降价多少元时，线上和线下的日利润总和最大？并求出最大利润． 23．（11分）正方形的边长为，点是对角线上的一个动点（点与、不重合），连接，将绕点顺时针旋转得到，连接、，与交于点，的延长线与（或延长线）交于点． （1）求证：，； （2）设，的面积为． ①求与的函数关系式； ②求出的最大值，并判断此时四边形的形状． （3）猜想与的数量关系，并证明你的结论． 24．（12分）如图，已知抛物线（）与轴交于点和，与轴交于点，抛物线对称轴为直线． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，若点是位于直线下方抛物线上一动点（不与点、重合），连接，，当面积最大时，求此时点的坐标，并求出面积的最大值； （3）如图2，在（2）的条件下，取的中点，连，过点的直线与抛物线交于点，且．在轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋宜都市九年级数学期中测试卷参考答案 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C B B D D C A B A D 二、填空题 11． 12． 13． 14． 15．4 三、解答题 16．（每小题3分，共6分） （1）移项，得． 由此可得， 即，． （2）左边分解因式，得． 于是，或， 即，． 17．解：设道路的宽度为，根据题意，得． 2分 整理，得． 解得，（不符合题意，舍去）． 5分 因此，道路的宽度为． 6分 18．（1）解：设与之间的函数关系式为（）， 由表格中的数据可知，当时，，，， 与之间的函数关系式为； 2分 （2）解：在中，当时，， ∴当砝码的总质量为时，托盘与点之间的距离为； 4分 （3）解：在中，当时，， ，，∴在第一象限内，随增大而减小，∴当时，， ∴装置在水平位置平衡时托盘中砝码的最小总质量为． 6分 19．（1）画出函数图象如图所示： （2分） （2）解：根据图象及表格可得，二次函数图象的顶点坐标为， 设二次函数的解析式为（）， 将代入解析式（）得，解得， ∴二次函数的解析式为；（5分） （3）解：由函数图象可得，当时，的取值范围为．（8分） 20．（1）解：由题意，把代入， 得．解得．（2分） （2）证明：，无论取何值，恒大于0， ∴原方程总有两个不相等的实数根．（5分） （3）解：，是原方程的两个根，，． ，即，，， 解得，．（8分） 21．（1）解：依题意，在矩形中，，，， 为的中点， ∵反比例函数的图象经过点，， 反比例函数的表达式为． 2分 （2）解：连接，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则点就是所求点．， 把代入，，， 设直线的表达式为， 把，代入，得：， 解这个方程组，得， 当时，，， ． 5分 （3）解：如图，，，， ． 8分 22．（1）解：设该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率为， 根据题意得：，解得，（不符合题意，舍去）． 答：该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率为10%； 3分 （2）解：①设每件应降价元，则每件的销售利润为元，日销售量为件， 根据题意得：，整理得： 解得：，， 又∵要尽快减少库存，， 答：每件应降价10元． 6分 ②设线上和线下的日利润总和为元，售价为元/件 则 ， ， ∴当时，有最大值，最大值为3310， ∴当售价为34元/件，即降价元/件时，线上和线下的日利润总和达到最大，最大利润为3310元． 10分 23．（1）证明：∵四边形是正方形，，，， ∵将绕点顺时针旋转得到， ，，， ，即，（）， ，，， ；（3分） （2）①解：由（1）得，，，正方形边长为，则， ，，， （5分） ② ，∴当时，有最大值，最大值为． 当时为的中点，又 又，，，∴四边形为正方形（8分） （3）解理由如下： ①当在上时，在上截取，连接 又， （） ， 又 ， （10分） ②当在的延长线上时，同①可证（11分） 24．（1）抛物线的解析式为．（过程略）（2分） （2）， ∴直线的解析式为：， 过作平行轴交于 设点的坐标为，则点的坐标为， ， ∴当时，三角形面积最大，且最大值为8，此时．（6分） （3）解：是的中点，且，则点， 设直线的表达式为， 根据题意，得，解得，故直线的表达式为； 当时，，∴点在直线上（没证明扣1分） 过点作轴于点，则，故， 而，，， ∴直线和直线关于直线对称，∵点，，∴点，（8分） 设直线的表达式为， 根据题意，得，解得，故直线的表达式为；（9分） 根据题意，得 解得，， ∴点的坐标为，另一组解与点重合，（9分） 设点的坐标为， 根据题意，得， ， 当时，此时有，故，故，此时方程无实数解； 当时，此时有，故，故，解得；（10分） 当时，此时有，故，解得；（11分） 故在轴上存在点，使得为等腰三角形，并且点的坐标为或或．（12分） （其他方法参阅评分） 学科网（北京）股份有限公司 $