精品解析：辽宁大连市第三十七中学2026-2027学年上学期期中测试自命题九年级数学试题

大连市第三十七中学期中测试自命题 初三数学 （本试卷共23题满分120分考试时间120分钟） 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 点关于原点成中心对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标特征，根据关于原点对称的点，其横坐标和纵坐标都互为相反数，即可求解． 【详解】解：∵点关于原点对称， ∴对称点的横坐标为，纵坐标为， ∴对称点坐标为． 故选：D． 2. 如果两个相似三角形的对应角平分线的比为，那么它们对应面积的比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵两个相似三角形的对应角平分线的比为， ∴相似比为， ∴对应面积的比为． 3. 把抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据二次函数图象的平移规律：左加右减，上加下减即可求解，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键． 【详解】解：把抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的解析式为， 故选：． 4. 已知，是方程的两个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将所求分式通分，转化为含两根之和与两根之积的形式，利用根与系数的关系代入求值． 【详解】解：∵，是方程的两个根, ∴由根与系数的关系得，, ∴． 5. 二次函数化为的形式，下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 6. 如图，下列阴影部分的三角形与（顶点均在正方形网格格点上）相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形相似判定定理以及勾股定理，熟练掌握三角形相似判定定理是解题的关键． 根据三角形相似判定定理：三边对应成比例，分别利用勾股定理计算各三角形的边长，然后逐个选项进行分析即可得出答案． 【详解】解：设正方形网格的边长为1， 则在中，，，， A、该三角形三边分别为，，4，则，故与不相似，不符合题意； B、该三角形三边分别为，，3，则，故与不相似，不符合题意； C、该三角形三边分别为2，，，则，故与不相似，不符合题意； D、该三角形三边分别为，2，，则，故与相似，符合题意； 故选：D． 7. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，则不等式的解集是（　　） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点问题，利用图象法确定不等式的解集即可． 【详解】解：由图象可知，的解集为：或； 故选C． 8. 已知二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值如下表所示，方程的一个根的近似值可能是（ ） x 1.2 1.3 1.4 1.5 y 0.05 0.65 A. 1.12 B. 1.26 C. 1.38 D. 1.45 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，观察表中数据得到抛物线与x轴的一个交点在和点之间，更靠近点，然后根据抛物线与x轴的交点问题可得到方程一个根的近似值． 【详解】解：∵时，；时，； ∴抛物线与x轴的一个交点在和点之间，更靠近点， ∴方程有一个根约为． 故选：C． 9. 如图，点和点分别在反比例函数（）和（）两个图象上，轴且交轴于，若，则的值为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：轴 点和点的纵坐标相同， ，即， ，，， ，， ， ，即， ， ． 10. 如图，左侧是一把撑开的雨伞，右侧是其直截面示意图，伞面的轮廓可以看作是一条抛物线，在图示的坐标系中，其表达式为，点、在抛物线上，且关于轴对称．若顶点到的距离是分米，那么、两点之间的距离是（ ）分米． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据解析式求顶点坐标，结合距离求, 纵坐标，代入求横坐标进而得长.  【详解】解：， 顶点的坐标为， 顶点到的距离是分米， 点, 的纵坐标为， 当时，， 解得， , 两点之间的距离是（分米）. 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 关于x的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于的不等式，解不等式即可，同时还应注意二次项系数不能为0． 【详解】由题意可知：， ∴， ∵， ∴且， 故答案为：且． 【点睛】考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况． 12. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到，点恰好落在上，交于点，则_______ ． 【答案】##度 【解析】 【分析】由旋转的性质可得是等腰三角形，再根据其性质求出，再由三角形内角和定理即可求． 【详解】解：将绕点逆时针旋转， ，，， ， ， ， ． 13. 某公司从年开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的成本不断降低，具体数据如表： 该组数据变化规律，产品成本（万元/件）与技术改进资金（万元）符合反比例函数模型． 年度 技术改进资金（万元） 产品成本（万元/件） 9.75 7.8 若年预计投入技术改进资金万元，则预计年每件产品成本是__________________万元． 【答案】 【解析】 【分析】题目明确给出产品成本与技术改进资金符合反比例函数模型，先通过表格数据求出比例系数，再将代入函数式计算对应成本即可． 【详解】解：∵ 产品成本与技术改进资金符合反比例函数模型， ∴ 设函数关系式为， ∵ 代入表格中两组对应数据计算可得，， ∴ 比例系数，函数关系式为， ∵ 2027年投入技术改进资金为万元，即， ∴ 代入函数式得． 14. 如图是凸透镜成像的光路示意图，、、分别表示蜡烛、烛像、凸透镜，它们均与主光轴垂直．一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线经过焦点．一束经过光心的光线与折射光线相交于点，已知，，则的值为__________________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意可得四边形 是矩形，则 ，由 可得 ，由 可得 ，利用相似三角形对应边成比例建立方程求出 的长，进而求解． 【详解】解：∵， ∴四边形 是矩形 ， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 解得， ∴． 15. 若二次函数在的范围内的最大值为，则实数的值为__________________． 【答案】或 【解析】 【分析】将二次函数配方为顶点式，确定开口方向与对称轴，结合区间最大值小于顶点函数值，判断给定区间不包含对称轴，分区间在对称轴左侧、右侧两种情形，结合函数值为4的对应横坐标求解． 【详解】 ，抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点纵坐标为13， 在上函数最大值为，且， 最大值不在顶点处，只能在区间端点取得， 令， ， ① 当区间在对称轴左侧，即，时，函数单调递增，最大值在处 ，满足，符合条件； ② 当区间在对称轴右侧，即时，函数单调递减，最大值在处 ，满足，符合条件 综上，或． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：方程中，，，， ∵． ∴， 解得，． 【小问2详解】 解：， ， ， ， ∴或， 解得，． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出绕原点逆时针旋转得到； （2）以原点为位似中心，在第三象限内画一个，使它与的相似比为，并写出点的坐标． 【答案】（1）如图，即为所求； （2） 如图，即为所求， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了图形的旋转作图、作位似图形等知识点，掌握相应知识点和作图方法是解题的关键． （）将旋转图形的各顶点与旋转中心相连，根据旋转方向和旋转角度确定旋转后的对应点，连接这些对应点即可； （）根据图形的位似性质，将图形的各顶点与位似中心相连，并将其延长，并根据位似比截取线段得对应点，连接这些对应点即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 如图，，与交于点，且，，． （1）求的长； （2）求证：． 【答案】（1）； （2） 证明：∵， ， ， 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键； （1）根据相似三角形的判定得，再根据即可求解； （2）利用及即可证明结论． 【小问1详解】 解：， ， ， ∴， 即：， ； 【小问2详解】 略 19. 已知二次函数 （1）在如图所示的平面直角坐标系中，请补全列表，并画出该二次函数的图象： … … … … （2）直接写出当时，的取值范围． 【答案】（1）补全表格： … … … 0 0 … 图象如下： （2） 【解析】 【分析】（1）将的相应值分别代入，求出的值，在平面直角坐标系中描出相应的点，再用平滑的曲线连接即可得到二次函数的图象； （2）根据图象回答即可． 【小问1详解】 解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，， 补全表格，并画图（略） 【小问2详解】 解：当时，， 结合图象得：当时，． 20. 小聪和小兰想测量学校实验楼的高度，他们制作了测量工具：将两根互相垂直的标杆固定在点，并在M处安装测角仪．测量时，调整工具位置，使（为地面），此时，从点M测得实验楼顶端A的仰角为，实验楼顶端A的影子恰好与标杆的影子顶端Q重合（A、P、Q三点共线），若为4.4米，为1.8米，为2米，请根据以上数据，求实验楼的高度． 【答案】实验楼的高度为米． 【解析】 【分析】延长交于点，过点作于点，易证四边形是矩形，四边形是矩形，得到米，米，，，证明是等腰直角三角形，得到，由，即可求解． 【详解】解：延长交于点，过点作于点， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， 同理，四边形是矩形， ∴米，米，，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵米， ∴（米）， 在中，， ∵四边形是矩形， ∴，即， ∴， ∴在中，， 设米，则米， ∴， ∴，即米， ∴（米）． 答：实验楼的高度为米． 21. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”，例如：一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”． （1）判断方程是否是“邻根方程”，并说明理由； （2）已知关于的方程（是常数）是“邻根方程”，求的值； （3）若关于的方程（、是常数，且）是“邻根方程”，试求出代数式的最大值． 【答案】（1）方程不是“邻根方程”，理由如下： ， 解得，． ， ∴方程不是“邻根方程”． （2）或 （3）最大值为16 【解析】 【分析】（1）先解方程，再结合新定义可得答案； （2）先解方程，再根据新定义得，再解方程即可； （3）根据新定义得，再利用根与系数的关系得到与的关系式，将代数式转化为关于的式子，通过配方可求出最大值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ，， ∵方程是“邻根方程”， ∴， 解得或． 【小问3详解】 解：设方程的两个根分别为，， ∵方程是“邻根方程”， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 整理得：， ∴， ∴， 当时，代数式有最大值，为16． 22. 定义：如图，与有公共顶点，且，我们称这两个三角形互为“旋转相似图形”． （1）知识理解： ①如图，若，都是等边三角形，则_____的“旋转相似图形”（填“是”或“不是”）； ②如图，与互为“旋转相似图形”，若，，，则____．若连接，，则_____． （2）知识运用： 如图，在四边形中，，于，，求证：和互为“旋转相似图形”． （3）拓展提高： 如图，为等腰直角三角形，点为的中点，点为上一点，是延长线上的一点，点在线段上，且与互为“旋转相似图形”，若，，求和的长． 【答案】（1）①是②10， （2）证明：∵，， ∴； ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵与有公共顶点A， ∴和互为“旋转相似图形”； （3）， 【解析】 【分析】（1）①先证明，再结合“旋转相似图形”的定义判断即可得出结果； ②由“旋转相似图形”的定义可得，再由相似三角形的性质计算得出，连接，由相似三角形的性质可得，，从而得出，，即可推出，再由相似三角形的性质即可得出结果； （2）①由对顶角相等可得，再结合题意即可证得，得出，从而可得，再证明，得出，最后再证明，再结合“旋转相似图形”的定义判断即可得证； （3）由等腰直角三角形的性质可得，，，结合题意可得，由“旋转相似图形”的定义可得，由相似三角形的性质可得，，，则，求出，作于点M，则为等腰直角三角形，求出，证明垂直平分，由勾股定理可得，，求出，最后再由勾股定理计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：①∵都是等边三角形， ∴， ∴， ∵与有公共顶点A， ∴是的“旋转相似图形”； ②∵与互为“旋转相似图形”， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴； 连接，如图： ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵为等腰直角三角形，， ∴，，， ∵点G为的中点， ∴， ∵与互为“旋转相似图形”， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴于点 过点作，交于点，则， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，即垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 23. 如图1，二次函数的图象经过点．如图2，将二次函数的图象记为，将图象绕点A旋转得到的图象记为，将图象和组合成的图象记为H． （1）求n的值． （2）求图象对应的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． （3）点P，Q是图象H上两个不同的点，其横坐标分别为m，． ①当点P与点Q的纵坐标相等时，直接写出m的值． ②当图象H在点P与点Q之间部分（包括点P和点Q）的最高点与最低点的纵坐标的差大于6时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）①或；②或或 【解析】 【分析】（1）把代入进行求解即可； （2）求出的顶点坐标，进而求出函数解析式，写出自变量的取值范围即可； （3）①分和，两种情况，根据对称性进行求解即可；②分和两种情况，每种情况再分两种情况，求出临界点，即可． 【小问1详解】 解：把代入，得； 【小问2详解】 解：∵， ∴顶点坐标为， 将图象绕点A旋转得到的图象记为， 由（1）知： 则的顶点坐标为， ∴的解析式为； 【小问3详解】 解：①当时，则点的横坐标为， ∵两点的纵坐标相同， ∴两点关于的对称轴对称，即关于轴对称， ∴， ∴； 当时，则点的横坐标为， ∵，且两点的纵坐标相同， ∴点关于点对称，且的纵坐标与点的纵坐标相同， ∴和2关于轴对称， ∴， ∴； 综上：或； ②当时，则点的横坐标为， 当时，即，解得或（舍去）， ∴当，点P与点Q之间部分（包括点P和点Q）的最高点与最低点的纵坐标的差大于6； 当时，即，解得或， ∴当时，点P与点Q之间部分（包括点P和点Q）的最高点与最低点的纵坐标的差大于6； 当时，则点坐标为， 当时，则，解得或（舍去）； ∴当时，点P与点Q之间部分（包括点P和点Q）的最高点与最低点的纵坐标的差大于6； 当时，则：，解得或（舍去）， ∴当时，点P与点Q之间部分（包括点P和点Q）的最高点与最低点的纵坐标的差大于6； 综上：或或时，点P与点Q之间部分（包括点P和点Q）的最高点与最低点的纵坐标的差大于6． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大连市第三十七中学期中测试自命题 初三数学 （本试卷共23题满分120分考试时间120分钟） 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 点关于原点成中心对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 如果两个相似三角形的对应角平分线的比为，那么它们对应面积的比为（ ） A. B. C. D. 3. 把抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，是方程的两个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 二次函数化为的形式，下列正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，下列阴影部分的三角形与（顶点均在正方形网格格点上）相似的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，则不等式的解集是（　　） A. B. 或 C. 或 D. 8. 已知二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值如下表所示，方程的一个根的近似值可能是（ ） x 1.2 1.3 1.4 1.5 y 0.05 0.65 A. 1.12 B. 1.26 C. 1.38 D. 1.45 9. 如图，点和点分别在反比例函数（）和（）两个图象上，轴且交轴于，若，则的值为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 10. 如图，左侧是一把撑开的雨伞，右侧是其直截面示意图，伞面的轮廓可以看作是一条抛物线，在图示的坐标系中，其表达式为，点、在抛物线上，且关于轴对称．若顶点到的距离是分米，那么、两点之间的距离是（ ）分米． A. B. C. D. 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 关于x的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______． 12. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到，点恰好落在上，交于点，则_______ ． 13. 某公司从年开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的成本不断降低，具体数据如表： 该组数据变化规律，产品成本（万元/件）与技术改进资金（万元）符合反比例函数模型． 年度 技术改进资金（万元） 产品成本（万元/件） 9.75 7.8 若年预计投入技术改进资金万元，则预计年每件产品成本是__________________万元． 14. 如图是凸透镜成像的光路示意图，、、分别表示蜡烛、烛像、凸透镜，它们均与主光轴垂直．一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线经过焦点．一束经过光心的光线与折射光线相交于点，已知，，则的值为__________________． 15. 若二次函数在的范围内的最大值为，则实数的值为__________________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解一元二次方程： （1）； （2）． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出绕原点逆时针旋转得到； （2）以原点为位似中心，在第三象限内画一个，使它与的相似比为，并写出点的坐标． 18. 如图，，与交于点，且，，． （1）求的长； （2）求证：． 19. 已知二次函数 （1）在如图所示的平面直角坐标系中，请补全列表，并画出该二次函数的图象： … … … … （2）直接写出当时，的取值范围． 20. 小聪和小兰想测量学校实验楼的高度，他们制作了测量工具：将两根互相垂直的标杆固定在点，并在M处安装测角仪．测量时，调整工具位置，使（为地面），此时，从点M测得实验楼顶端A的仰角为，实验楼顶端A的影子恰好与标杆的影子顶端Q重合（A、P、Q三点共线），若为4.4米，为1.8米，为2米，请根据以上数据，求实验楼的高度． 21. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”，例如：一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”． （1）判断方程是否是“邻根方程”，并说明理由； （2）已知关于的方程（是常数）是“邻根方程”，求的值； （3）若关于的方程（、是常数，且）是“邻根方程”，试求出代数式的最大值． 22. 定义：如图，与有公共顶点，且，我们称这两个三角形互为“旋转相似图形”． （1）知识理解： ①如图，若，都是等边三角形，则_____的“旋转相似图形”（填“是”或“不是”）； ②如图，与互为“旋转相似图形”，若，，，则____．若连接，，则_____． （2）知识运用： 如图，在四边形中，，于，，求证：和互为“旋转相似图形”． （3）拓展提高： 如图，为等腰直角三角形，点为的中点，点为上一点，是延长线上的一点，点在线段上，且与互为“旋转相似图形”，若，，求和的长． 23. 如图1，二次函数的图象经过点．如图2，将二次函数的图象记为，将图象绕点A旋转得到的图象记为，将图象和组合成的图象记为H． （1）求n的值． （2）求图象对应的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． （3）点P，Q是图象H上两个不同的点，其横坐标分别为m，． ①当点P与点Q的纵坐标相等时，直接写出m的值． ②当图象H在点P与点Q之间部分（包括点P和点Q）的最高点与最低点的纵坐标的差大于6时，直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $