精品解析：辽宁省大连市西岗区第三十七中学2025—2026学年 八年级上学期期中测试 数学试卷

大连市第三十七中学阶段质量检测卷 初三数学 （本试卷共23小题满分120分，考试时长120分钟） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下面图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】按照轴对称图形和中心对称图形的定义去判断即可. 【详解】∵平行四边形是中心对称图形,不是轴对称图形, ∴圆与平行四边形组合图形是中心对称图形， ∴选项A错误； ∵正方形，圆是中心对称图形,也是轴对称图形, ∴圆与正方形的组合图形是中心对称图形，也是轴对称图形， ∴选项B正确； ∵等边三角形不是中心对称图形,是轴对称图形, ∴圆与等边三角形的组合图形是轴对称图形， ∴选项C错误； 两个三角形组成的图形是中心对称图形， ∴选项D错误. 故选B. 【点睛】本题考查了中心对称图形，轴对称图形，熟练掌握两种对称的基本概念，并能灵活运用是解题的关键. 2. 已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosB的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的定义即可求得结果. 【详解】. 【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键. 3. 如图，在河两岸分别有A，B两村，现测得A，B，D在一条直线上，A，C，E在一条直线上，∥，米，米，米，则A，B两村间的距离为(　　) A. 50米 B. 60米 C. 70米 D. 80米 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理得到，根据相似三角形的性质得到比例式，代入计算即可． 【详解】解：∵∥， ∴， ∴，即， 解得，， 故选C． 4. 如图，，是的半径，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆周角定理进行求解即可． 详解】解：∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，熟知同圆中同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键． 5. 已知圆锥的底面圆半径为，母线长为，则圆锥的侧面积是（ ） A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了求圆锥侧面积， 圆锥的侧面积公式为，其中是底面圆半径，是母线长. 【详解】解：根据题意，得底面圆半径，母线长， ∴. 故选：A. 6. 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，若点A恰好在ED的延长线上，∠BAC＝40°，则∠BAE的度数为（　　） A. 80° B. 60° C. 65° D. 70° 【答案】A 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得：AC=EC，∠E=∠BAC＝40°，从而得到∠E=∠CAE=40°，即可求解． 【详解】解：根据题意得：AC=EC，∠E=∠BAC＝40°， ∴∠E=∠CAE=40°， ∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=40°+40°=80°． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，根据旋转的性质得到AC=EC，∠E=∠BAC是解题的关键． 7. 如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若与的面积比为，则为的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换，熟记位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键． 根据位似图形的概念得到，，得到，得到根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案． 【详解】解：与是以点O为位似中心的位似图形， ，． ． ． 与的面积比为， 与的相似比为，即． ． 故选：D 8. 如图，在中，半径长为10，圆心O到弦的距离，则弦的长为（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】由圆心O到弦AB的距离，得于点E，则，，而，求得，所以，于是得到问题的答案． 此题重点考查点的直线的距离、垂径定理、勾股定理等知识，推导出，是解题的关键 【详解】解：在中，圆心O到弦的距离， 于点E， ，， 半径长10， ， ， ， 故选：C． 9. 如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAC的值为（ ） A. 2＋ B. 2 C. 3＋ D. 3 【答案】A 【解析】 【详解】设AC=x，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，即可得AB=2x，BC=x， 所以BD=BA=2x，即可得CD=x+2x=（+2）x， 在Rt△ACD中，tan∠DAC=， 故选A. 10. 如图，点，点B在y轴的正半轴上，，将绕原点O顺时针旋转后得到，当点恰好落在上时，点的坐标为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质等知识，过作轴于C，先判定是等边三角形，从而利用“与都是含30度角的直角三角形求解即可”，正确作出辅助线是解题的关键. 【详解】解：过作轴于C， ∵将绕原点O顺时针旋转后得到，当点恰好落在上时， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵点，， ∴， ∴， ∴，， ∴点的坐标为． 故选：C． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 点关于原点对称的点的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了关于原点对称点的性质，掌握关于原点对称点坐标的性质是解题关键．根据平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即关于原点的对称点，横、纵坐标都变成相反数． 【详解】点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 12. 如图，燃烧的蜡烛经小孔O在屏幕上成像，设，小孔O到，的距离分别为，则像的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．利用已知得出，再由相似比等于对应高之比即可求解． 【详解】解：过点作的垂线，垂足为点，交于点， 由题意可得： ∴，， ∵ ∴， ∵，小孔O到，的距离分别为， ∴， 解得： 故答案为：． 13. 如图，、分别切于A、B两点，并与的另一条切线分别相交于C、D两点，已知，则的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键． 由切线长定理可得，，，进而可求得的周长． 【详解】解：如图，设与切于点， ，，分别切⊙于点，，， ，，， 的周长 ， 故答案为：． 14. 如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的底面圆半径是5，则圆锥的母线l为__________． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长；弧长公式为：． 先算圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长． 【详解】解：圆锥的底面周长， 则：， 解得． 故答案为：15． 15. 如图，中，，垂足为D，，若，，则的长为_____（用含m，n的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，如图，延长到E，使得．推出，证明，再证明，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，延长到E，使得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴，， 在和中，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据特殊角的三角函数值，零指数幂和负指数幂，化简绝对值求解即可，熟记特殊角的三角函数值，零指数幂和负指数幂运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 17. 如图，为四边形边上一点，连接并延长交延长线于点，已知．，，求的长度．     【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，根据，对顶角相等，即可证明；根据得出相似比，再根据相似比求出的长度，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴． 18. 如图，在中，，，于点，若，求的长． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握正切的定义是解题的关键． 先根据正切的定义得出的长，再利用的正切值得出的长，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 19. 如图，在中，点E在边上，，将线段绕A点旋转到的位置，使得，连接，与交于点G． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）利用等边对等角，结合三角形的内角和定理求出的度数，进而得到的度数，利用全等三角形的对应角相等，得到的度数，利用三角形的外角的性质求出的度数即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴． ∵将线段绕A点旋转到的位置， ∴． 在与中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角，三角形的内角和定理以及三角形的外角，熟练掌握相关知识点，证明三角形全等，是解题的关键． 20. 如图1是某工厂生产的某种多功能儿童车，根据需要可变形为滑板车或三轮车，图2、图3是其示意图，已知前后车轮半径相同，车杆的长为60cm，点D是的中点，前支撑板，后支撑板，车杆与所成的． （1）如图2，当支撑点E在水平线上时，支撑点E与前轮轴心B之间距离的长； （2）如图3，当座板与地面保持平行时，问变形前后两轴心的长度有没有发生变化？若不变，请通过计算说明；若变化，请求出变化量．（参考数据：，，） 【答案】（1）36cm； （2）变化了，长度增加了4cm． 【解析】 【分析】（1）如图1，过点D作于点F，由题意知，根据三角函数的定义即可得到结论； （2）如图2，过点D作于M，过点E作于点N，由题意知四边形是矩形，求得，解直角三角形即可得到结论． 【小问1详解】 解：如图1，过点D作于点F， 由题意知， ∴，， ∴． 【小问2详解】 如图2，过点D作于M，过点E作于点N， 由题意知四边形是矩形， ∴， 在中， ，， 在中，， ∴由勾股定理可得， 则， 原来， ， ∴变形前后两轴心的长度增加了． 【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是结合题意构建出合适的直角三角形，并熟练掌握三角函数的应用． 21. 如图，是的直径，C，D是上两点，平分，过点作，垂足为． （1）求证：是的切线； （2）已知，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（）由，则，由平分，则，再由圆周角定理和等边对等角可得，所以，从而证明，通过平行线的性质证明，最后根据“过半径的外端垂直于半径的直线是圆的切线”进行证明； （）根据圆周角定理得到 ，根据勾股定理求出，证明求出，，证明求出，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，圆周角定理等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 22. 如图1，中，，是中线，，垂足为E，点F在上，． （1）求证：； （2）探究线段，的数量关系，并证明你的结论； （3）如图2，延长交于点P，，求的值． 【答案】（1）见解析 （2），证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）设，得，由直角三角形中线得到，推出，再证，即可求证； （2）过点C作交的延长线于点M，可得，则，，再证，则，即可求解； （3）过点C作交延长线于点M，由（2）可知，，，设，则，设，则，，由勾股定理可得，则，证明 ，即可求解. 【小问1详解】 证明：设， ， ， ， 又，是中线， ， ， ， ， 又， ， ； 【小问2详解】 解：． 理由：过点C作交的延长线于点M， 是中线， ， ，， ， ，， 又，， ， ， ， ， 又， ； 【小问3详解】 解：过点C作交的延长线于点M， 由（2）可知，，， 设，则， ， ， 设， ，， 由（2）可知，， ， ， 解得，（舍去）， ， ，， ， ． 【点睛】本题考查了直角三角形的中线，全等三角形的判定性质，相似三角形，勾股定理等相关知识点，解题关键在于熟练掌握构造辅助线的方法和分式，主要是知识点的综合理解. 23. 【定义学习】 过平面内一定点作两条直线（不平行）的垂线，那么这个定点与两个垂足构成的三角形称为“点足三角形”，在“点足三角形”中，以这个定点为顶点的角称为“垂角”． 如图1，，，垂足分别为A、B，则为“点足三角形”，为“垂角”． 【性质探究】 （1）两条直线相交且所夹锐角为度，则过平面内一点所画出的“点足三角形”的“垂角”度数为______度（用表示）． （2）如图2，点O为平面内一点，，，垂足分别为A、B，将“垂角”绕着点O旋转一个角度，分别与，，相交于C、D，连接CD． 求证：． 【迁移运用】 （3）如图3，，点A在射线PM上，点B是射线PN上的点，且，．则的外部是否存在一点O使得“点足三角形OAB”的面积为，若存在，求出此时PB的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）或（2）见详解（3）的长为或． 【解析】 【分析】（1）当两条直线所夹锐角为度，根据对顶角相等和等角的余角相等可推得当定点O在两直线的同侧，且在直线的下方时，点足三角形垂角度数为度，根据对顶角相等和等角的余角相等可推得当定点O在两直线的同侧，且在直线的上方时，点足三角形垂角度数为α度，根据垂直的性质和四边形内角和可推得当定点O在直线的下方，直线的上方时，点足三角形垂角度数为度，即可作答．． （2）根据旋转的性质可得，根据余弦的定义可推，根据相似三角形的判定可得； （3）分类讨论：当定点O在两直线的同侧，且在PN的下方时，根据对顶角相等和等角的余角相等可推得，根据正切的定义可推得，根据勾股定理可得，根据正切的定义可推得，设则，根据勾股定理可求得，推得，根据正切的定义可推得，设，根据三角形的面积公式和割补法计算面积的方法求得，推得，即可求得； 当定点O在两直线的同侧，根据正切的定义可推得，，设，则，根据三角形的面积公式和割补法计算面积的方法求得，即可求得，根据正切的定义推得，设，则，根据勾股定理可求得； 当定点O在直线的下方，直线的上方时，根据正切的定义推得，根据勾股定理可求得，根据正切的定义推得，设，根据正切的定义推，根据勾股定理求得，根据三角形的面积公式和割补法计算面积的方法得到方程式，进行求解即可． 【详解】解：（1）当两条直线所夹锐角为度，即， 当定点O在两直线的同侧，且在直线的下方时，令两直线交点为点与交于点D，如图： ∵，垂足分别为，且 ∴ 即点足三角形垂角度数度； 当定点O在两直线的同侧，且在直线的上方时，如图： ∵垂足分别为，且 ∴ 即点足三角形垂角度数为度； 当定点O在直线的下方，直线的上方时，如图： ∵在四边形中， ∴， ∴度， 即点足三角形垂角度数为度度； 综上：点足三角形垂角度数为或度 （2）∵将“垂角”绕着点O旋转一个角度，分别与相交于 ∴ ∵， ∴在中，， 在中，， ∴ 即， 又∵， ∴ （3）当定点O在两直线的同侧，且在PN的下方时，令与交于点D，过点A作于点E，如图： ∵ ∴， 又∵ ∴ 在中，，， ∴， ∴ 在中，， 即，即， 设则，且， 在中，， 即， 解得：， 故， 在中，， 即， 设，则， ∵ 即 解得：（舍去），， 故， ∴； 当定点O在两直线的同侧，且在的上方时，令与交于点D，过点B作于点E，如图： ∵，且， ∴ 又∵ ∴ 在中， ， 即 在中，， 即， 在中，， 即，， 且， 整理得：， 设，则， ∵ 即 解得：（舍去），， 故， ∴； 在中， 故设，则， 在中 即 解得：（舍去）， ∴； 当定点O在直线的下方，直线的上方时，过点B作于点E，延长交于点D，如图： ∵在四边形中，， ∴， ∴， 在中，，且， ∴， 在中， 在中， 即， 设，则，， 在中， 即， 在中，， 即， 整理得： 故 ∵， 即： 整理得：， ， 故无解； 综上，的长为或． 【点睛】本题考查了垂直的性质，四边形内角和，对顶角相等，等角的余角相等，旋转的性质，余弦的定义，相似三角形的判定，正切的定义，勾股定理，三角形的面积公式，割补法计算不规则图形的面积，等角的补角相等，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式等，熟练掌握以上性质和运用分类讨论的方法求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大连市第三十七中学阶段质量检测卷 初三数学 （本试卷共23小题满分120分，考试时长120分钟） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下面图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosB的值为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在河两岸分别有A，B两村，现测得A，B，D在一条直线上，A，C，E在一条直线上，∥，米，米，米，则A，B两村间的距离为(　　) A. 50米 B. 60米 C. 70米 D. 80米 4. 如图，，是的半径，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆锥的底面圆半径为，母线长为，则圆锥的侧面积是（ ） A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 6. 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，若点A恰好在ED的延长线上，∠BAC＝40°，则∠BAE的度数为（　　） A. 80° B. 60° C. 65° D. 70° 7. 如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若与的面积比为，则为的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，半径长为10，圆心O到弦的距离，则弦的长为（ ） A 8 B. 12 C. 16 D. 20 9. 如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAC的值为（ ） A. 2＋ B. 2 C. 3＋ D. 3 10. 如图，点，点B在y轴正半轴上，，将绕原点O顺时针旋转后得到，当点恰好落在上时，点的坐标为(　　) A. B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 点关于原点对称的点的坐标是__________． 12. 如图，燃烧的蜡烛经小孔O在屏幕上成像，设，小孔O到，的距离分别为，则像的长是______． 13. 如图，、分别切于A、B两点，并与另一条切线分别相交于C、D两点，已知，则的周长为______． 14. 如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的底面圆半径是5，则圆锥的母线l为__________． 15. 如图，中，，垂足为D，，若，，则的长为_____（用含m，n的代数式表示） 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： 17. 如图，为四边形边上一点，连接并延长交延长线于点，已知．，，求的长度．     18. 如图，在中，，，于点，若，求长． 19. 如图，在中，点E在边上，，将线段绕A点旋转到的位置，使得，连接，与交于点G． （1）求证：； （2）若，求的度数． 20. 如图1是某工厂生产的某种多功能儿童车，根据需要可变形为滑板车或三轮车，图2、图3是其示意图，已知前后车轮半径相同，车杆的长为60cm，点D是的中点，前支撑板，后支撑板，车杆与所成的． （1）如图2，当支撑点E在水平线上时，支撑点E与前轮轴心B之间的距离的长； （2）如图3，当座板与地面保持平行时，问变形前后两轴心的长度有没有发生变化？若不变，请通过计算说明；若变化，请求出变化量．（参考数据：，，） 21. 如图，是的直径，C，D是上两点，平分，过点作，垂足为． （1）求证：是的切线； （2）已知，求的长． 22. 如图1，中，，是中线，，垂足为E，点F在上，． （1）求证：； （2）探究线段，的数量关系，并证明你的结论； （3）如图2，延长交于点P，，求的值． 23. 【定义学习】 过平面内一定点作两条直线（不平行）的垂线，那么这个定点与两个垂足构成的三角形称为“点足三角形”，在“点足三角形”中，以这个定点为顶点的角称为“垂角”． 如图1，，，垂足分别为A、B，则为“点足三角形”，为“垂角”． 性质探究】 （1）两条直线相交且所夹锐角为度，则过平面内一点所画出的“点足三角形”的“垂角”度数为______度（用表示）． （2）如图2，点O为平面内一点，，，垂足分别为A、B，将“垂角”绕着点O旋转一个角度，分别与，，相交于C、D，连接CD． 求证：． 【迁移运用】 （3）如图3，，点A在射线PM上，点B是射线PN上的点，且，．则的外部是否存在一点O使得“点足三角形OAB”的面积为，若存在，求出此时PB的长；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $