精品解析：河南信阳市浉河中学2026-2027学年上学期11月阶段检测试卷九年级数学

九年级数学 一、选择题（共10小题） 1. 随着Ai技术的普及，出现了很多“现象级”应用，以下是一些常见应用的图案，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 方程的根是（ ） A. B. C. ， D. ， 3. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 4. 北京市2021年人均可支配收入为7.5万元，2023年达到8.18万元，若2021年至2023年间每年人均可支配收入的增长率都为x，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知抛物线上的三个点的坐标分别为，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，将绕着点逆时针旋转后得到．若，则的度数为（ ）． A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 7. 对于反比例函数，下列说法中错误的是（ ）． A. 图象分布在第一、三象限 B. 随的增大而减小 C. 图象与坐标轴无交点 D. 若点在它的图象上，则点也在它的图象上 8. 如图，是内接四边形的一个外角，若，那么的度数为（　 　） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为平行四边形，其中点，，，以点为圆心，的长为半径作弧，交于点，再把线段绕点逆时针旋转得到线段，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度（厘米/天）和光照强度（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（）内，与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围内，与近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（ ） A. 当时，随的增大而减小 B. 当时，有最大值 C. 当时， D. 当时， 二、填空题（共5小题） 11. 已知点与点关于原点对称，则___________． 12. 一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得，，则圆形镜面的直径为_____． 13. 教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为，由此可知铅球推出的距离是______m． 14. 如图，反比例函数的图象经过矩形的边的中点D，若矩形的面积为6，则k的值为______． 15. 在中，，点是边上一动点，连接，将沿直线折叠，得到，连接，若，当是以为直角边的等腰直角三角形时，则长为______． 三、解答题（共8小题） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 如图，在平面直角坐标系中，每个小方格的边长均为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于点成中心对称的； （2）画出绕原点顺时针旋转得到； （3）若存在点使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请写出点的坐标：______． 18. 某种玻璃原材料需在环境保存，取出后匀速加热至高温之后停止加热，玻璃温度会逐渐降低至室温（），加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，如图是玻璃温度与时间的函数图象，其中降温阶段y与x成反比例函数关系，根据图象信息，回答下列问题： （1）求降温阶段y与x的函数表达式； （2）求温度从降到室温所需要的时间． 19. 如图，是的外接圆，是的直径． （1）尺规作图（保留作图痕迹）：过点作的垂线交于点，交弧于点，连接． （2）求证：平分； （3）若的半径为5，，求线段的长． 20. 如图，已知点是函数图象上一点，连接延长至点，使，过点作轴交函数图象于点，连接，点的横坐标为4． （1）请写出：点坐标为______，点坐标为______，点的坐标为______； （2）观察函数图象，请直接写出当时，的取值范围； （3）连接，求面积． 21. 项目式学习 我校综合与实践活动小组针对货物的销售单价与日销售量开展项目式学习活动，请你参与活动，并与他们共同完成该项目任务． 项目主题：商品销售策略的制定 驱动问题：某玩具店老板欲购进一批进价为30元/个的益智玩具，请你运用所学数学知识根据市场情况和该玩具店老板的要求，帮助他制定这种益智玩具的销售策略． 任务一：市场调查 调查附近A，B，C，D，E五家玩具店近期销售这种益智玩具的销售单价（元）和日销售量（个）的情况，记录如表： 玩具店 A B C D E 销售单价/元 35 45 55 65 75 日销售量/个 65 55 45 35 25 任务二：模型建立 （1）观察发现，该益智玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式为______； 设日销售利润为（元），则该益智玩具的日销售利润与销售单价之间的函数关系式为______； 任务三：问题解决 （2）如果该玩具店的房租、水电费、人工费等每天的支出为100元，该玩具店老板想要每天获得900元的利润，同时为了尽快减少库存，那么该益智玩具的销售单价应定为多少元？ 22. 定义：我们把横、纵坐标相等的点叫做“等值点”． （1）求二次函数的“等值点”的坐标； （2）已知二次函数， ①若该函数只有一个“等值点”，求的值； ②若该函数在的范围内有两个不同的“等值点”，求的取值范围． 23. 菱形中，，，于点，为边上一动点． （1）如图1，将绕点顺时针旋转至线段，连接． ①探究发现：与的数量关系为______，位置关系为______，请给出证明； ②如图2，当点恰好落在边上时，求的长度； （2）将绕点顺时针旋转至，当、、三点共线时，恰为等腰三角形，请直接写出此时的长度______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 一、选择题（共10小题） 1. 随着Ai技术的普及，出现了很多“现象级”应用，以下是一些常见应用的图案，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故A不符合题意； B．不是中心对称图形，故B不符合题意； C．不是中心对称图形，故C不符合题意； D．是中心对称图形，故D符合题意． 故选：D． 2. 方程的根是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程．利用因式分解法解方程即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴或， 解得，． 故选：C 3. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式即可解答． 【详解】解：∵为一元二次方程， ∴， ∵该一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得， ∴且， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，解题的关键是熟知当判别式的值大于0时，方程有两个不相等的实数根，同时要满足二次项的系数不能是0． 4. 北京市2021年人均可支配收入为7.5万元，2023年达到8.18万元，若2021年至2023年间每年人均可支配收入的增长率都为x，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据数量关系可知2021年人均收入7.5万元增长两年达到8.18万元，且增长率都是x，直接写成形如的形式即可． 【详解】根据题意，得． 故选：B． 5. 已知抛物线上的三个点的坐标分别为，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，先求出抛物线的对称轴，再根据抛物线开口向下时，点到对称轴的距离越近函数值越大的性质，比较三个点到对称轴的距离，进而得出函数值的大小关系． 【详解】解抛物线解析式为， 配方得， 抛物线的对称轴为直线， ， 抛物线开口向下，点到对称轴的距离越近，对应的函数值越大， 计算各点到对称轴的距离： 到的距离为， 到的距离为， 到的距离为， ， ． 故选：C． 6. 如图，在中，，将绕着点逆时针旋转后得到．若，则的度数为（ ）． A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 【答案】A 【解析】 【分析】利用旋转的性质及平行线的性质求角度即可． 【详解】由旋转的性质可知：，， ∵， ， ， 故选：A． 7. 对于反比例函数，下列说法中错误的是（ ）． A. 图象分布在第一、三象限 B. 随的增大而减小 C. 图象与坐标轴无交点 D. 若点在它的图象上，则点也在它的图象上 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的图象和性质，逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴函数的图象分布在第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小， ∴A选项正确，不符合题意；B选项缺乏前提条件，错误，符合题意； ∵，， ∴图象与坐标轴无交点， ∴C选项正确，不符合题意； ∵若点在图象上， ∴，即， ∴点也在图象上， ∴D选项正确，不符合题意． 8. 如图，是内接四边形的一个外角，若，那么的度数为（　 　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆内接四边形的性质证得，再根据圆周角定理求出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质以及圆周角定理，圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 9. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为平行四边形，其中点，，，以点为圆心，的长为半径作弧，交于点，再把线段绕点逆时针旋转得到线段，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、坐标与图形、平行四边形的性质、旋转的性质，延长交轴于点，过点作轴于点，证明，得出，，即可得解． 【详解】解：如图，延长交轴于点，过点作轴于点， 由题意可得，轴，，， 由旋转的性质可得，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴点的坐标为， 故选：A． 10. 在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度（厘米/天）和光照强度（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（）内，与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围内，与近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（ ） A. 当时，随的增大而减小 B. 当时，有最大值 C. 当时， D. 当时， 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质、二次函数与不等式等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 根据抛物线可直接判断A选项；根据抛物线以及相关数据可得抛物线的对称轴为，进而判定B选项；根据函数图象可判定C选项；根据二次函数的对称性可判定D选项． 【详解】解：A．当时，随的增大先增大、后减小，即A选项错误，不符合题意； B．由函数图象可知：抛物线的对称轴为，即当时，有最大值，则B选项正确，符合题意； C．由函数图象可知：当时，，即C选项错误，不符合题意； D．当时，由图象知，对应的值有两个，即D选项错误，不符合题意． 故选B． 二、填空题（共5小题） 11. 已知点与点关于原点对称，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点坐标的特征．熟练掌握：关于原点对称的点坐标，横纵坐标均互为相反数是解题的关键． 根据关于原点对称的点坐标的特征求解即可． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴． 故答案为：． 12. 一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得，，则圆形镜面的直径为_____． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理和勾股定理等知识点．连接，根据，得出是圆形镜面的直径，再根据勾股定理求出即可． 【详解】解：连接， ∵，且是圆周角， ∴是圆形镜面的直径， 由勾股定理得：， 所以圆形镜面的直径为， 故答案为：13． 13. 教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为，由此可知铅球推出的距离是______m． 【答案】10 【解析】 【分析】要求铅球推出的距离，实际上是求铅球的落脚点与坐标原点的距离，故可直接令，求出x的值，x的正值即为所求． 【详解】在函数式中，令，得 ，解得，（舍去）， ∴铅球推出的距离是10m． 故答案为10． 【点睛】本题是二次函数的实际应用题，需要注意的是中3代表的含义是铅球在起始位置距离地面的高度；当时，x的正值代表的是铅球最终离原点的距离． 14. 如图，反比例函数的图象经过矩形的边的中点D，若矩形的面积为6，则k的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据反比例函数比例系数k的几何意义进行解答即可． 【详解】解：连接， ∵矩形的面积为6， ∴， ∵D为边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵的图象在第一象限， ∴， ∴． 15. 在中，，点是边上一动点，连接，将沿直线折叠，得到，连接，若，当是以为直角边的等腰直角三角形时，则长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】先利用折叠性质得到、、，再对“以为直角边”分两种直角顶点讨论；当直角为时，结合等腰直角条件得，推出四边形为正方形，求出，得到；另一种情况设等腰直角三角形直角边长，表示出、，延长、交于点，构造等腰直角，得到；利用线段和列方程求出；代入计算，求出． 【详解】解：由折叠性质： ∵沿折叠得到， ∴，， 以为直角边的等腰直角三角形，直角顶点只有两种：或． 情况①：． ∵是等腰直角三角形，为直角边， ∴． 又∵． ∴，即是中点，． ． ∵，四边形中，． ∴四边形是矩形． 又，矩形是正方形． ∴． ∴． 情况②：直角顶点为点，即 ， 设 ， ∵ 是以为直角顶点的等腰直角三角形， ∴ ，， ∴ ． 由折叠的性质得， ∴， ∴， 延长 、 交于点 ， ，即 ，， ， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 解得，即， ∴， 综上，长为或． 三、解答题（共8小题） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） ， （2） ， 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ， ， 或， 解得，； 【小问2详解】 解：， 方程两边同除以2得， 移项得， 配方得， ， 解得，. 17. 如图，在平面直角坐标系中，每个小方格的边长均为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于点成中心对称的； （2）画出绕原点顺时针旋转得到； （3）若存在点使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请写出点的坐标：______． 【答案】（1）如图，即为所求作的三角形； （2）如图，即为所求作的三角形； （3）或或 【解析】 【分析】（1）先作出点A、B、C关于点O的对称点、、，然后顺次连接即可； （2）先作出点A、B、C绕原点顺时针旋转后的对应点、、，然后顺次连接即可； （3）分三种情况：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，分别按照中点坐标公式进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设点D的坐标为 当为对角线时，如图所示： 根据中点坐标公式可得： ， 解得：， 此时点D的坐标为； 当为对角线时，如图所示： 根据中点坐标公式可得： ， 解得：， 此时点D的坐标为； 当为对角线时，如图所示： 根据中点坐标公式可得： ， 解得：， 此时点D的坐标为； 综上，点D的坐标为或或． 18. 某种玻璃原材料需在环境保存，取出后匀速加热至高温之后停止加热，玻璃温度会逐渐降低至室温（），加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，如图是玻璃温度与时间的函数图象，其中降温阶段y与x成反比例函数关系，根据图象信息，回答下列问题： （1）求降温阶段y与x的函数表达式； （2）求温度从降到室温所需要的时间． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，理解题意，结合图象求解是解题关键． （1）由题可得，在反比例函数图象上，设反比例函数解析式为，代入点得到与的函数关系式是； （2）将代入得到，根据，于是得到结论． 【小问1详解】 解：设反比例函数表达式为， 把代入得，， 解得， 所以所求函数表达式为； 【小问2详解】 把代入得，， ， 答：所需要的时间为． 19. 如图，是的外接圆，是的直径． （1）尺规作图（保留作图痕迹）：过点作的垂线交于点，交弧于点，连接． （2）求证：平分； （3）若的半径为5，，求线段的长． 【答案】（1） （2）证明：∵是的直径， ∴， ∵的垂线交于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （3） 【解析】 【分析】（1）以点A和点C为圆心，大于长为半径作弧，在AC的上方和下方，两弧分别相交于一点，作直线，交于点，交弧于点即可 （2）先得出，，进而证明，根据平行线的性质得出，再根据等边对等角得出，进而得出，即可得出答案； （3）连接，得出，证明，得出，根据勾股定理得出，再根据垂径定理得出，根据勾股定理得出，进而可得出答案 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接， ∴， ∵的半径为5，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的垂线交于点， ∴， ∴， ∴. 20. 如图，已知点是函数图象上一点，连接延长至点，使，过点作轴交函数图象于点，连接，点的横坐标为4． （1）请写出：点坐标为______，点坐标为______，点的坐标为______； （2）观察函数图象，请直接写出当时，的取值范围； （3）连接，求面积． 【答案】（1）；； （2） （3）面积为3 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，关键是利用函数解析式求点的坐标，结合坐标特征分析图形面积． （1）先代入点的横坐标求出其纵坐标；再由，用中点坐标公式求点的坐标；最后根据轴，结合反比例函数解析式求点的坐标； （2）根据反比例函数的单调性，当时，函数值随增大而减小，结合时的函数值，确定的取值范围； （3）取的中点，确定是的中位线，从而得到轴；将拆分为与，分别计算两个三角形的面积后求和． 【小问1详解】 解：∵点在函数的图象上，且横坐标为，代入得， ∴点的坐标为． ∵， ∴点是线段的中点， 设点的坐标为，由中点坐标公式得，， 解得，， ∴点的坐标为． ∵轴， ∴点的纵坐标与点的纵坐标相同，为，代入得，解得， ∴点的坐标为； 故答案为：；；． 【小问2详解】 解：对于函数，当时，随的增大而减小，且时，且， ∴； 【小问3详解】 解：如图，取中点，连接D． ∴是的中位线， ∴．， ∵轴， ∴轴. 对于，到的垂直距离为，对于，到的垂直距离为， ∴，， ∴． 21. 项目式学习 我校综合与实践活动小组针对货物的销售单价与日销售量开展项目式学习活动，请你参与活动，并与他们共同完成该项目任务． 项目主题：商品销售策略的制定 驱动问题：某玩具店老板欲购进一批进价为30元/个的益智玩具，请你运用所学数学知识根据市场情况和该玩具店老板的要求，帮助他制定这种益智玩具的销售策略． 任务一：市场调查 调查附近A，B，C，D，E五家玩具店近期销售这种益智玩具的销售单价（元）和日销售量（个）的情况，记录如表： 玩具店 A B C D E 销售单价/元 35 45 55 65 75 日销售量/个 65 55 45 35 25 任务二：模型建立 （1）观察发现，该益智玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式为______； 设日销售利润为（元），则该益智玩具的日销售利润与销售单价之间的函数关系式为______； 任务三：问题解决 （2）如果该玩具店的房租、水电费、人工费等每天的支出为100元，该玩具店老板想要每天获得900元的利润，同时为了尽快减少库存，那么该益智玩具的销售单价应定为多少元？ 【答案】（1）；； （2）该益智玩具的销售单价应定为50元． 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，一元二次方程的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）通过分析表中数据可以看出，日销售量与销售单价之间成一次函数关系，从而求出该益智玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式为，然后通过即可求解； （）设该益智玩具的销售单价应定为元，由题意得，然后解方程并检验即可． 【详解】解：（）通过分析表中数据可以看出，日销售量与销售单价之间成一次函数关系，故可益智玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式为， ∴，解得， ∴益智玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式为， ∴， 故答案为：；； （）设该益智玩具的销售单价应定为元， 由题意得，， 整理得， 解得，， ∵尽快减少库存， ∴， 答：该益智玩具的销售单价应定为元． 22. 定义：我们把横、纵坐标相等的点叫做“等值点”． （1）求二次函数的“等值点”的坐标； （2）已知二次函数， ①若该函数只有一个“等值点”，求的值； ②若该函数在的范围内有两个不同的“等值点”，求的取值范围． 【答案】（1）“等值点”坐标为，． （2）①；②且． 【解析】 【分析】（1）根据“等值点”定义，联立与二次函数解析式，解方程得到等值点横坐标，进而得到坐标． （2）①联立与二次函数解析式，由只有一个等值点可知对应一元二次方程有两个相等实数根，利用判别式为0求解． ②求出等值点对应方程的两个根，结合区间范围与两不同点的条件，确定的取值范围． 【小问1详解】 解：由“等值点”定义，令． 代入得． 解得，． 对应值分别为，． ∴二次函数的“等值点”坐标为，． 【小问2详解】 解：①令，代入， 得． 整理得． ∵函数只有一个“等值点”， ∴方程有两个相等的实数根． ∴． 化简得． 解得． ②同①得． 解得，． ∵函数在范围内有两个不同的“等值点”， ∴两个根均在内，且不相等． ∴且． 23. 菱形中，，，于点，为边上一动点． （1）如图1，将绕点顺时针旋转至线段，连接． ①探究发现：与的数量关系为______，位置关系为______，请给出证明； ②如图2，当点恰好落在边上时，求的长度； （2）将绕点顺时针旋转至，当、、三点共线时，恰为等腰三角形，请直接写出此时的长度______． 【答案】（1）①；； ∵四边形为菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，， 根据旋转可得：，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； ② （2）2或 【解析】 【分析】（1）①根据菱形的性质得出，证明，得出，，求出，即可得出答案； ②先证明为等腰直角三角形，得出，求出，即可得出答案； （2）分三种情况：当时，当时，当时，分别画出图形，进行求解即可． 【小问1详解】 解：①略 ②根据①得：，，，， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：当时，如图所示： 根据旋转可得，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，过点F作于点G， ∴， ∴，为等腰直角三角形， ∴，， 设，则，， ∵， ∴， 解得：， ∴； 当时，如图所示： 根据旋转可得，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴； 当时，∵， ∴， ∴、、三个点都在以B为圆心，为半径的圆上， ∴、、不可能在同一直线上，不符合题意； 综上，的长为2或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $