河南郑州市新郑市崇文中学2026-2027学年 上学期九年级数学第一次限时训练

2026-2027学年崇文中学九年级数学第一次限时训练 一、选择题(每小题3分，共30分) 1.下列说法中不正确的是( ) A.对角线垂直的平行四边形是菱形 B.对角线相等的平行四边形是矩形 C.菱形的面积等于对角线乘积的一半 D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形 2.关于x的方程 是一元二次方程，则m的值是( ) A.1 B.-1 C.1或-1 D.0 3.已知关于 x的一元二次方程 可配方成 的形式，则m+n的值为 ( ) A.-1 B.1 C.-5 D.5 4.顺次连接对角线相等的四边形的各边中点所形成的四边形是( ) A.平行四边形 B.菱形 C.矩形D.正方形 5.已知关于x的一元二次方程. 有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是( ) 6.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD 相交于点 O,过点A 作AE⊥BC于点 E,连接OE.若OB=8,菱形 ABCD 的面积为48,则OE 的长为( ) A.3 B.2 C.3.5 D.2.5 7. 如图,在△ABC中,点E、D、F分别在边 AB、BC,CA上,且 DE∥CA,DF∥BA.下列四个判断中，不正确的是( ) A.四边形 AEDF 是平行四边形 B.如果 ∠BAC = 90°,, 那么四边形AEDF 是矩形 C.如果AD平分 ∠BAC,, 那么四边形AEDF 是菱形 D.如果 AD⊥BC 且BD=CD,那么四边形AEDF 是正方形 8. 如图, 在▱ ABCD中, 用直尺和圆规作∠BAD 的平分线AG交BC于点E. 若BF=6,AB=5, 则AE的长为 ( ) A.4 B.6 C.8 D.10 9.如图,点E为正方形ABCD外一点,连接ED,且ED=CD,连接AE,交对角线 BD 于点 F,连接CF.若∠CDE=38°,则∠BFC的度数为 ( ) A.70° B.71° C.81° D.82° 10.菱形 OABC的顶点O与原点重合, 点C在x轴上, 点 A 的坐标为(3,4),将菱形OABC绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第2026次旋转结束时，点B的坐标为 ( ) A.(-8, - 4) B.(-9, - 4) C.(-9,-3) D.(-8, - 3) 二、填空题(每小题3分，共15分) 11.一个口袋中装有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同。将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中。不断重复这一过程，共摸了100 次球，发现有69次摸到红球，则可估计这个口袋中红球的数量是 12.菱形的周长为20cm，两个相邻的内角的度数之比为1；2，则较长的对角线长 13.如图, 在矩形ABCD中, AB=8, BC=6, 点P 为边AB上任意一点, 过点P作PE⊥AC, 垂足分别为E、F, 则PE+PF= 14.如图, 正方形ABCD的边长为4, E为BC边上的一点, BE=1, F为AB上的一点,AF=2, P为AC上的一个动点, 则PE+PF 的最小值为 15.如图，已知正方形 ABCD 的边长为4，P为线段AD 上的动点(不与点 A 重合)，点 A 关于直线BP 的对称点为点E,连接PE,BE,CE,DE,当△CDE 是以 CE 为腰的等腰三角形时,AP 的值为 . 三、解答题(共8个小题，满分75分) 16. (10分) 解下列方程: (2) 3x (x-1) =2-2x. 17.(9分)已知四边形ABCD的对角线为AC, BD,有下列四个条件: ①AD∥BC,AB∥CD; ②AD∥BC, AD=BC; ③AC=BD; ④AC⊥BD. (1)从中任选一个作为条件，能判定四边形ABCD是平行四边形的概率是 ； (2)从中任选两个作为条件，请用画树状图或列表的方法计算能判定四边形ABCD是矩形的概率(每个条件在列表或画图时用前边对应的序号表示). 18. (9分)如图,在四边形ABCD中, AD∥BC, BD是对角线。 (1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作线段BD的垂直平分线，垂足为点O，与边AD，BC分别交于点E，F(要求：不写作法，保留作图痕迹)； (2)在(1)的条件下,连接BE, DF,求证:四边形 BFDE 为菱形。 19.(9分)已知关于x的一元二次方程 (1)求证：无论m取何值，原方程总有两个实数根； (2)若方程的一个根为-2，求m的值及方程的另一个根. 20. (9分)矩形ABCD中,点P, Q分别从点A, C同时出发,沿AB, CD以每秒1个单位长度的速度向点B，D运动，两点分别到达B，D两点时停止运动，已知AD=12,AB=18.设运动时间为t秒. (1)(3分)求证：四边形DPBQ为平行四边形； (2) (4分) ①当四边形DAPQ为矩形时,求 t的值; ②当四边形 DPBQ 为菱形时，求 t 的值； (3)(2分)当以PQ为对角线的正方形面积是矩形ABCD的面积的一半时，直接写出此时t的值. 21. (9分)如图,在菱形ABCD中, 对角线AC、BD交于点O, 过点A作AE⊥BC于点E,延长BC至点 F, 使CF=BE, 连接DF。 (1) 求证: 四边形AEFD 是矩形。 (2) 若BF=16, DF=8, 则CD的长为 , 菱形ABCD 的面积为 。 (3)四边形AEFD 可能是正方形吗?说明理由。 22.(10分)社区利用一块矩形空地建了一个小型的惠民停车场，其布局如图所示.已知停车场的长为52米，宽为28米，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分是等宽的通道.已知铺花砖的面积为640平方米. (1)求通道的宽是多少米? (2)该停车场共有车位64个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为14400元? 23. (10分)(1)(3分)【操作发现】 如图①,在矩形ABCD 中,E是BC的中点,将△ABE沿AE折叠后得到△AFE,点 F 在矩形 ABCD 内部，延长AF 交CD于点 G.猜想线段GF与GC的数量关系是 。 (2)(4分)【类比探究】 如图②，将(1)中的矩形ABCD 改为平行四边形，其他条件不变，(1)中的结论是否仍然成立?请说明理由. (3)(3分)【拓展应用】如图③，将(1)中的矩形ABCD改为正方形，边长AB=8，其他条件不变，求线段GC的长. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年崇文中学九年级数学第一次限时训练 一、选择题(每小题3分，共30分) 1.D 2.A 3.D 4.B 5.C 6.A 7.D 8.C 9.B 10.A 二、填空题(每小题3分，共15分) 11.7 12.5 13.4.8 14. 15.8-4或 三、解答题(共8个小题，满分75分) 16.∵ ， ， ， ∴ ， ∴ ∴ ， ． (2) , , . 17.(1)根据平行四边形的判定只有①和②可以判定四边形 为平行四边形， 满足题意的概率为 ． (2) 画树状图如下： 由树状图可知，从中任选两个作为条件共有 12 种等可能的结果，能判定四边形 是矩形的有 4 种， 能判定四边形 是矩形的概率为 ． 18.解:(1)如图,直线 EF 即为所求. (2)证明:连接 BE,DF,如图. ∵EF 垂直平分BD, 又 ∴四边形 BFDE 是菱形. 19.(1) 证明： ， 无论 取何值，原方程总有两个不相等的实数根； (2) 解：设方程的另外一根为 ， 根据题意，得： ， 解得： ， 所以方程的另一根为 0， 的值为 ． 20.（1）证明：因为矩形 ，所以 ， 。 由题意，知 。所以 。所以四边形 为平行四边形。 （2）① 根据题意，得 。 因为矩形 ， ， ， 所以 ， 。所以 。 当 时，四边形 为矩形，所以 。解得 。 ② 因为四边形 为菱形，所以 。 因为 ，所以 。解得 。 (3) 解: 过点Q作 如图所示： ∴四边形CBQM为矩形， ∵以PQ为对角线的正方形面积是矩形ABCD的面积的一半， 即 解得： 或 21.(1)证明:在菱形 ABCD 中,. 即EF=BC. ∴四边形 AEFD 是平行四边形. , ∴四边形 AEFD 是矩形. (2) 解：∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴ BC = CD， ∵ BF = 16， ∴ CF = BF - BC = 16 - CD， ∵ 四边形 AEFD 是矩形， ∴ AE = DF = 8，∠F = 90°， 在 Rt △ CFD 中，由勾股定理得： ， ∴ ，解得：CD = 10， ∴ BC = CD = 10， ∵ AE ⊥ BC， ∴ S 菱形 ABCD = BC · AE = 10 × 8 = 80。 所以答案为10； 80 (3)解：不可能，理由如下：若四边形 AEFD 是正方形，则有AD=AE.在Rt△ABE 中,AE<AB=AD,这与AD=AE矛盾， ∴四边形AEFD 不可能是正方形. 22.（1）设通道的宽为 米， 根据题意得： ， 解得： （舍去）或 ，所以通道的宽为 6 米； （2）设月租金上涨 元，停车场的月租金收入为 14400 元， 根据题意得： ，整理，得 ， 解得： ， 故每个车位的月租金，上涨 400 元或 40 元时，停车场的月租金收入为 14400 元。 23(1)GF=GC.证明如下:连接FC,如图①, ∵四边形ABCD 是矩形, ∴∠B=∠BCD=90°. ∵ E 是 BC 的中点, ∴BE=CE. ∵ 将△ABE沿AE 折叠后得到△AFE, ∴ BE=EF,∠B =∠EFG=90°, ∴EF=EC,∴∠EFC=∠ECF, ∴∠EFG-∠EFC=∠ECG-∠ECF, ∴∠CFG=∠GCF,∴GF=GC. (2)(1)中的结论仍然成立.理由如下： 如图②,连接FC,∵E是BC的中点, ∴BE=CE.∵将△ABE沿AE 折叠后得到△AFE, ∴ BE=EF,∠B=∠AFE, ∴ EF=EC, ∴∠EFC=∠ECF. ∵ 四边形 ABCD 为平行四边形, ∴∠B+∠ECD=180°, ∴ ∠ECD=180°-∠B,∠EFG=180°-∠AFE=180°-∠B, ∴ ∠ECD =∠EFG,∴∠EFG-∠EFC=∠ECG-∠ECF, ∴ ∠GFC=∠GCF,∴GF=GC. 即(1)中的结论仍然成立. (3)如图③，∵正方形是特殊的平行四边形， ∴ (2)中的 FG=GC仍然成立.设GF=GC=x,则AG=8+x,DG=8-x,在Rt△ADG中， 解得x=2,即CG=2. 学科网（北京）股份有限公司 $