精品解析：河南省信阳市浉河中学2025-2026学年九年级上学期12月检测数学试卷

九年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 2025年10月31日23时44分，搭载神舟“十一号载人飞船的长征二号遥二十一运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，下列航天图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 只有一个实数根 D. 有两个相等实数根 3. 如图，点A，B，C均在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将绕顶点A逆时针旋转，得到，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 一个不透明的袋子中装有2个黑球和N个红球，这些球除颜色外其他都相同．摸球试验：每次摸出一个球，记录下颜色后再放回，不断重复这一过程，共摸了2000次球，发现有1600次摸到红球，则N的值是（ ） A. 8 B. 6 C. 5 D. 2 6. 新能源汽车销量的快速增长，促进了汽车企业持续的研发投入和技术创新．某上市公司今年1月份一品牌的新能源车单台的生产成本是13万元，由于技术改进和产能增长，生产成本逐月下降，3月份的生产成本为12.8万元．假设该公司今年一季度每个月生产成本的下降率都相同，设每个月生产成本的下降率为x，则根据题意所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 顶点坐标是 C. 对称轴是直线 D. 时，y随x增大而减小 8. 如图，在中，，若，，则的半径是（ ） A. 3 B. C. D. 4 9. 按如下步骤操作：如图，在中，平分．第一步：分别以点，为圆心，大于的长为半径在两侧作弧，交于，两点．第二步：连接，分别交，于点，．第三步：连接，．若，，，则（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 7 10. 如图1，某科技小组进行野外考察时，利用压力一定时压强与接触面积成反比例关系，通过铺垫木板增大接触面积来达到减小压强的效果，顺利通过了一片烂泥湿地.已知人对木板的压力与人的质量的关系如图2所示，若小明和小亮的质量分别为和，且小明和小亮对木板的压强与木板面积的关系如图3所示，点为反比例函数图象上的一个动点，过点分别作轴和轴的垂线，交轴于点，交轴于点，交另一反比例函数图象于点，过点作轴的垂线，垂足为点，请你结合以上信息，判断下列说法中不正确的是（ ） A. 由图2可知，人对木板压力与人的质量成正比 B. 图3中图象表示的是小明对木板的压强与木板面积之间的函数关系 C. 当木板面积为时，小亮对木板的压强比小明对木板的压强大 D. 四边形的面积为定值，表示小明、小亮两人对木板的压力相差20N 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 函数中，自变量x的取值范围是_______． 12. 把抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为_______． 13. 在平面直角坐标系中，已知，，以原点O为位似中心，按位似比把缩小，则点A对应点的坐标为_______________ 14. 如图，用6个小正方形构造如图所示的网格图（每个小正方形的边长均为4），设经过图中、、三点的圆弧与交于，则图中阴影部分面积______． 15. 如图1，为等边三角形，，于点D，E是线段的中点，以为边在直线右侧构造等边，连接，取的中点N，连接，将绕点A逆时针旋转，如图2所示，在旋转的过程中，当线段最大时，的面积为_________． 三、解答题（共75分） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 17. 年中国科技发展进入创新爆发期，创新指数首次跻身全球前十，在航空航天、清洁能源、高端制造等多领域斩获多项世界级突破．为激发青少年崇尚科学，探索未知热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的活动．该校某调查小组对活动中模具设计水平进行调查，随机抽取全校部分学生的模具设计成绩（成绩为百分制，用表示），并整理，将其分成如下四组：：，：，：，：． 下面给出了部分信息： 其中组的成绩为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 根据以上信息解决下列问题： （1）本次抽取的学生中成绩在组的有____________人，抽取学生成绩的中位数是____________分； （2）请估计全校名学生的模具设计成绩不低于80分的人数； （3）学校决定从模具设计优秀甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率． 18. 如图，在直角坐标系中，为原点，直线分别与轴､轴交于点､点，四边形是矩形，且点在轴正半轴上，连接于点，反比例函数（）经过点， （1）求点的坐标及的值； （2）若将绕点逆时针旋转，点､点分别对应点､点，再将向右平移个单位，若平移后点在反比例函数图像上，求的值． 19. 如图是小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，请用无刻度直尺在给定网格中按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）． （1）如图1，将绕点O逆时针旋转得，画出； （2）如图2，请画出的角平分线，交于点D． （3）在图2中，若，则弧的长为________． 20. 手工编织挂件作为一种传统工艺产品，因其独特的艺术价值和情感价值，在市场中备受欢迎．张阿姨在摊位上售卖手工编织挂件．每个手工编织挂件的成本为10元．她调查发现，当每个手工编织挂件售价为16元时，每天可以售出40个，如果每个手工编织挂件每降价1元，那么平均每天可以多售出4件． （1）当每个手工编织挂件降价多少元时，张阿姨每天可获得192元利润？ （2）张阿姨每天的销售利润能达到260元吗？请说明你的理由． 21. 如图，是的直径，，E是的中点，连接并延长到点F，使．连接交于点D，连接，． （1）求证：直线是的切线； （2）若，求长． 22. 根据背景素材，探索解决实际问题 素材一 乒乓球发球机的运动路线 如图1所示，乒乓球台规格约是长为，宽为的矩形，球网高度约为．某品牌乒乓球发球机的出球口在桌面中轴线端点O正上方的点P处． 素材二 如图2所示，假设每次发出的乒乓球都落在中轴线上的点M处，且球的运动路线是一条形状不变的抛物线，以O为原点，桌面中轴线所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，设发球机发球后到落在桌面前的抛物线解析式为． 素材三 如图3所示，若乒乓球落在中轴线点M处后反弹，其运动路线仍是抛物线．当球与O点的水平距离为时，球的高度为；当球与O点的水平距离为时，达到最高点，此时球与桌面的距离是． 问题解决 任务一：研究乒乓球着落点问题 （1）点M的坐标为__________； 任务二：研究乒乓球反弹后的最大高度 （2）求h的值； 任务三：研究乒乓球是否出界问题 （3）某运动员想在乒乓球反弹到最高点时挥拍击球，使得球沿直线擦网而过，此时球能落到对方台面上吗？若能，请求出球落点的坐标；若不能实现，请说明理由． 23. 在中，，中，（），，，，点B，C，E不共线，点P为直线上一点，且． （1）如图1，点D在线段延长线上，则________，________，（用含的代数式表示）； （2）如图2，点A，E在直线同侧，求证：平分； （3）若，，将图3中的绕点C按顺时针方向旋转，当时，直线交于点G，点M是中点，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 2025年10月31日23时44分，搭载神舟“十一号载人飞船的长征二号遥二十一运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，下列航天图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键． 根据中心对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心，旋转前后图形上能够重合的点叫做对称点． 【详解】解：选项B、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以不是中心对称图形， 选项A能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以是中心对称图形． 故选A． 2. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 只有一个实数根 D. 有两个相等的实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 通过计算一元二次方程根的判别式，判断根的情况即可． 【详解】解：∵ 中，，， ∴ ， ∴ 方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 3. 如图，点A，B，C均在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，同圆中同弧所对的圆周角的度数是圆心角度数的一半，据此求解即可． 【详解】解：∵点A，B，C均在上，， ∴， 故选：C． 4. 如图，将绕顶点A逆时针旋转，得到，若，则的度数为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，根据将绕顶点A逆时针旋转，得到，得出，结合，再把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵将绕顶点A逆时针旋转，得到， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 5. 一个不透明的袋子中装有2个黑球和N个红球，这些球除颜色外其他都相同．摸球试验：每次摸出一个球，记录下颜色后再放回，不断重复这一过程，共摸了2000次球，发现有1600次摸到红球，则N的值是（ ） A. 8 B. 6 C. 5 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了频率估计概率及分式方程的求解，通过频率估计概率，摸到红球的频率为，因此概率约为0.8，据此列方程求解． 【详解】解：∵共摸了2000次球，有1600次摸到红球， ∴摸到红球的频率为， ∵袋子中有2个黑球和N个红球， ∴摸到红球的概率为， ∴， 解得， 经检验，是方程的解， 故选：A． 6. 新能源汽车销量的快速增长，促进了汽车企业持续的研发投入和技术创新．某上市公司今年1月份一品牌的新能源车单台的生产成本是13万元，由于技术改进和产能增长，生产成本逐月下降，3月份的生产成本为12.8万元．假设该公司今年一季度每个月生产成本的下降率都相同，设每个月生产成本的下降率为x，则根据题意所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查一元二次方程的应用，根据生产成本逐月以相同下降率下降，从1月到3月经历两次下降，列出方程． 【详解】解：设每个月生产成本的下降率为x， ∵ 1月份成本为13万元， ∴ 2月份成本为万元， 3月份成本为万元， 又∵ 3月份成本为12.8万元， ∴， 故选：A． 7. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 顶点坐标是 C. 对称轴是直线 D. 时，y随x增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，包括开口方向、顶点坐标、对称轴和单调性．通过直接计算顶点坐标和对称轴来判断选项． 【详解】解：∵ 二次函数 中，， ∴ 抛物线开口向下，选项A错误． 对称轴， ∴ 对称轴是直线 ，选项C错误． 顶点横坐标为，代入得纵坐标， ∴ 顶点坐标为，选项B错误． ∵ 开口向下，对称轴， ∴ 当 时，随x增大而减小． ∵ 时，满足， ∴ 选项D正确． 故选：D． 8. 如图，在中，，若，，则的半径是（ ） A. 3 B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆的基本性质，垂径定理，勾股定理；能熟练利用垂径定理，勾股定理进行求解是解题的关键．过圆心作交于点，交于点，连接、，由垂径定理得，由圆的基本性质得，由勾股定理得，即可求解． 【详解】解：过圆心作交于点，交于点，连接、， ， ， ， ， ， ， ， 设半径为，则， ， ， ， 解得， 故的半径是， 故选：B． 9. 按如下步骤操作：如图，在中，平分．第一步：分别以点，为圆心，大于的长为半径在两侧作弧，交于，两点．第二步：连接，分别交，于点，．第三步：连接，．若，，，则（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图、菱形的性质与判定、平行线分线段成比例定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．先证明四边形为菱形，得到，再利用平行线分线段成比例定理即可得出答案． 【详解】解：如图， 由作图可得，垂直平分， ∴，，， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， ∴， ∴，即， 解得． 故选：C． 10. 如图1，某科技小组进行野外考察时，利用压力一定时压强与接触面积成反比例关系，通过铺垫木板增大接触面积来达到减小压强的效果，顺利通过了一片烂泥湿地.已知人对木板的压力与人的质量的关系如图2所示，若小明和小亮的质量分别为和，且小明和小亮对木板的压强与木板面积的关系如图3所示，点为反比例函数图象上的一个动点，过点分别作轴和轴的垂线，交轴于点，交轴于点，交另一反比例函数图象于点，过点作轴的垂线，垂足为点，请你结合以上信息，判断下列说法中不正确的是（ ） A. 由图2可知，人对木板的压力与人的质量成正比 B. 图3中图象表示的是小明对木板的压强与木板面积之间的函数关系 C. 当木板面积为时，小亮对木板的压强比小明对木板的压强大 D. 四边形的面积为定值，表示小明、小亮两人对木板的压力相差20N 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，由于压力一定时，压强和受力面积成反比，压力于质量成正比例，根据解析式逐一判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由图可得：人对木板的压力与人的质量的比值一定，所以人对木板的压力与人的质量成正比，故正确，不符合题意； 小明和小亮的质量分别为和，那么小明对木板的压力小于小亮对木板的压力，由物理知识可得：压强结合图可得：在受力面积相同的情况下，小明对木板的压强小于小亮对木板的压强，所以图中图象表示的是小明对木板的压强与木板面积之间的函数关系，正确，不符合题意； 设 ∵经过点, ， 解得：， ， 当时，， 当时，， ∵木板面积为， ∴小明对木板的压强， 小亮对木板的压强， ， ∴当木板面积为时，小亮对木板的压强比小明对木板的压强大， ∴正确，不符合题意； 由题意得：小明对木板的压强，小亮对木板的压强，则四边形的面积，也说明小明对木板的压力为，小亮对木板的压力，那么小明、小亮两人对木板的压力相差，故错误，符合题意； 故选: D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 函数中，自变量x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求自变量的取值范围、分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是分母不为0是解题的关键．根据分式有意义的条件即可求解． 【详解】解：由题意得，， 解得， 故答案为：． 12. 把抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为_______． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据“上加下减，左加右减”进行计算即可． 【详解】解：抛物线， 向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度， 得到 即 故答案为：． 【点睛】本题主要考查函数图像的平移；熟记函数图像的平移方式“上加下减，左加右减”是解题的关键． 13. 在平面直角坐标系中，已知，，以原点O为位似中心，按位似比把缩小，则点A对应点的坐标为_______________ 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，位似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或，结合题意即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵，，以原点O为位似中心，按位似比把缩小， ∴位似系数为或， 当位似系数为时，点的对应点的坐标为，即； 当位似系数为时，点的对应点的坐标为，， 综上，点A对应点的坐标分别为或， 故答案为：或． 14. 如图，用6个小正方形构造如图所示的网格图（每个小正方形的边长均为4），设经过图中、、三点的圆弧与交于，则图中阴影部分面积______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查的是扇形面积的计算、等腰直角三角形的判定，锐角三角函数的性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．连接，，，首先证明是等腰直角三角形，利用扇形公式计算即可解决问题． 【详解】解：如图所示，连接，，， ∵每个小正方形的边长均为4 ∵由勾股定理得，，， ∵ ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴是圆的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴弧所对的圆心角为，半径， ∴图中阴影部分的面积 ， 故答案为：． 15. 如图1，为等边三角形，，于点D，E是线段的中点，以为边在直线右侧构造等边，连接，取的中点N，连接，将绕点A逆时针旋转，如图2所示，在旋转的过程中，当线段最大时，的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，点到圆的距离，三角形的中位线定理，勾股定理，得出动点N的运动轨迹是圆是解题的关键．根据等腰三角形的性质及勾股定理先求出，取的中点M，连接，得出点在以点为圆心，为半径的圆周上运动，当点B，M，N在一条直线上时，取最大值，求出，最后根据三角形的面积公式求得的面积． 【详解】解：在等边中，，于点D，， ， 在中， ， 是中点， ， 取的中点M，连接， 为的中点， ， ，， ， 绕点A逆时针进行旋转变换， 点在以点为圆心，为半径的圆周上运动， 当点B，M，N在一条直线上时，取最大值， ， 过点N作于G，设交于H， ， 在中，， ， ， ， 在中，， ， ． 故答案为：． 三、解答题（共75分） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（）把右式移到左边，再利用因式分解法解答即可； （）先把方程转换成一般式，再利用公式法解答即可； 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 即， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴，． 17. 年中国科技发展进入创新爆发期，创新指数首次跻身全球前十，在航空航天、清洁能源、高端制造等多领域斩获多项世界级突破．为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的活动．该校某调查小组对活动中模具设计水平进行调查，随机抽取全校部分学生的模具设计成绩（成绩为百分制，用表示），并整理，将其分成如下四组：：，：，：，：． 下面给出了部分信息： 其中组的成绩为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 根据以上信息解决下列问题： （1）本次抽取的学生中成绩在组的有____________人，抽取学生成绩的中位数是____________分； （2）请估计全校名学生的模具设计成绩不低于80分的人数； （3）学校决定从模具设计优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率． 【答案】（1）； （2）估计全校名学生的模具设计成绩不低于分的人数约人 （3） 【解析】 【分析】本题考查了频数直方图，扇形统计图，中位数，样本估计总体，用树状图或列表法求概率，看懂统计图是解题的关键； （1）由直方图及中位数定义即可求得； （2）根据样本中不低于分的占比来估计总体； （3）画树状图求解即可. 【详解】解：（1）由直方图可知在组人数：人； ∵， ∴中位数为：； （2）（人）； ∴估计全校名学生的模具设计成绩不低于分的人数约人． （3）列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） 共有种等可能的结果，其中所选的两位同学恰为甲和丙的结果有：（甲，丙），（丙，甲），共种， ∴所选的两位同学恰为甲和丙的概率为． 18. 如图，在直角坐标系中，为原点，直线分别与轴､轴交于点､点，四边形是矩形，且点在轴正半轴上，连接于点，反比例函数（）经过点， （1）求点的坐标及的值； （2）若将绕点逆时针旋转，点､点分别对应点､点，再将向右平移个单位，若平移后点在反比例函数图像上，求的值． 【答案】（1）B(1，0)，k=10；（2） 【解析】 【分析】（1）令y=0，代入，可得B的坐标，设D(a，2)，则AD=OC=a，根据勾股定理列出关于a的方程，求出a的值，进而即可求解； （2）过点作M⊥AD，由旋转的性质得BO=M=1，设再将向右平移个单位，(2+n，3)，进而即可求解． 【详解】解：（1）∵直线与轴交于点， ∴令y=0，代入，得，解得：x=1，令x=0，y=2， ∴B(1，0)，A(0，2)， ∴OA=2， ∵四边形是矩形， ∴CD=AO=2， 设D(a，2)，则AD=OC=a， ∵， ∴， 又∵，， ∴，解得：a=5，即：D(5，2)， ∴把D(5，2)，代入，得k=10； （2）过点作M⊥AD， ∵将绕点A逆时针旋转，点､点分别对应点､点， ∴也是由绕点A逆时针转90°得到， ∴BO=M=1， ∴(2，3)， 设再将向右平移个单位，(2+n，3)，在的图像上，则，解得：n=． 【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数综合，熟练掌握矩形的性质，勾股定理，旋转的性质以及函数图像上点的坐标特征，是解题的关键． 19. 如图是小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，请用无刻度直尺在给定网格中按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）． （1）如图1，将绕点O逆时针旋转得，画出； （2）如图2，请画出的角平分线，交于点D． （3）在图2中，若，则弧的长为________． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3） 【解析】 【分析】本题考查旋转作图，限制工具作图，勾股定理和求弧长，正确掌握作图的方法和弧长公式是解题的关键． （1）连接，，，绕点O逆时针旋转，得到点，，，顺次连接即可求解； （2）在图中格点处取点（点下方两格，右方三格处），连接交于点D，连接，则，根据垂径定理可得，再根据等弧对等角，即，射线即为所作； （3）连接，，利用圆周角定理求出，利用勾股定理求出半径，再根据弧长公式计算即可求解． 【小问1详解】 解：如图1，即所作； 【小问2详解】 如图2，射线即为所作； 【小问3详解】 如图3，连接，， 根据勾股定理，， ， ， 则弧的长为， 故答案为． 20. 手工编织挂件作为一种传统工艺产品，因其独特的艺术价值和情感价值，在市场中备受欢迎．张阿姨在摊位上售卖手工编织挂件．每个手工编织挂件的成本为10元．她调查发现，当每个手工编织挂件售价为16元时，每天可以售出40个，如果每个手工编织挂件每降价1元，那么平均每天可以多售出4件． （1）当每个手工编织挂件降价多少元时，张阿姨每天可获得192元利润？ （2）张阿姨每天的销售利润能达到260元吗？请说明你的理由． 【答案】（1）降价2元 （2）销售利润不能达到260元，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设降价金额，根据利润公式列出方程求解； （2）同样设降价金额，列出方程，通过判别式判断方程是否有解，从而确定利润能否达到指定值． 【小问1详解】 解：设当每个手工编织挂件降价x元时， 由题意，得， 解得，（不符合题意，舍去）． 即当每个手工编织挂件降价2元时，张阿姨每天可获得192元利润． 【小问2详解】 解：张阿姨每天的销售利润不能达到260元， 理由：设当每个手工编织挂件降价y元时，张阿姨每天可获得260元利润， 由题意，得， 整理，得， ∵， ∴该方程没有实数根， ∴张阿姨每天的销售利润不能达到260元． 21. 如图，是的直径，，E是的中点，连接并延长到点F，使．连接交于点D，连接，． （1）求证：直线是的切线； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相关的性质与定理是解题的关键． （1）连接，由已知可得，根据证明，根据全等三角形的对应角相等可得，继而可证明直线是的切线； （2）由（1）的全等可知，利用勾股定理求出的长，然后由，即可求出． 【小问1详解】 解：连接， ∵是的直径，， ∴， ∵是中点， ， 在和中， ， ， ， ∴直线是的切线； 【小问2详解】 解：∵，由（1）得：， ， ， ， 即， ∴． 22. 根据背景素材，探索解决实际问题 素材一 乒乓球发球机的运动路线 如图1所示，乒乓球台规格约是长为，宽为的矩形，球网高度约为．某品牌乒乓球发球机的出球口在桌面中轴线端点O正上方的点P处． 素材二 如图2所示，假设每次发出的乒乓球都落在中轴线上的点M处，且球的运动路线是一条形状不变的抛物线，以O为原点，桌面中轴线所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，设发球机发球后到落在桌面前的抛物线解析式为． 素材三 如图3所示，若乒乓球落在中轴线点M处后反弹，其运动路线仍是抛物线．当球与O点的水平距离为时，球的高度为；当球与O点的水平距离为时，达到最高点，此时球与桌面的距离是． 问题解决 任务一：研究乒乓球着落点问题 （1）点M坐标为__________； 任务二：研究乒乓球反弹后的最大高度 （2）求h的值； 任务三：研究乒乓球是否出界问题 （3）某运动员想在乒乓球反弹到最高点时挥拍击球，使得球沿直线擦网而过，此时球能落到对方台面上吗？若能，请求出球落点的坐标；若不能实现，请说明理由． 【答案】 （1） （2）的值为 （3）球能落到对方台面上，落球点为 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用与一次函数的解析式，理解题意把函数问题转化为方程问题是解题关键． （1）将代入解析式进行计算即可； （2）利用待定系数法求出反弹后的抛物线解析式，求出顶点坐标，h就是顶点的纵坐标； （3）根据（2）中求得的顶点坐标和擦网点的坐标计算出直线的解析式，进而算出球着落点的坐标，并判断是否出界． 【详解】解：（1）将代入，得， ， 解得，（负值舍去）， ∴； （2）设反弹后抛物线解析式为， 由题意可知，反弹后的抛物线过点，， 将，代入解析式，得， ， 解得，， ∴，顶点坐标为， ∴； （3）能．理由如下： 由题意可知，反弹后最高点为，球擦网点为， 设过这两点的直线解析式为，依题意得， ， 解得，， ∴ ， 令，得 ， 解得，， ∴球能落到对方台面上，落球点为． 23. 在中，，中，（），，，，点B，C，E不共线，点P为直线上一点，且． （1）如图1，点D在线段延长线上，则________，________，（用含的代数式表示）； （2）如图2，点A，E在直线同侧，求证：平分； （3）若，，将图3中的绕点C按顺时针方向旋转，当时，直线交于点G，点M是中点，请直接写出的长． 【答案】（1），；（2）见解析；（3）的长为或． 【解析】 【分析】（1）利用三角形内角和定理以及等腰三角形的性质求解即可． （2）如图2中，连接．证明，可得结论． （3）分两种情形：如图中，设交于．图中，设交于，当时，利用三角形的中位线定理，可得，求出，可得结论． 【详解】（1）解：如图1中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， （2）证明：如图2中，连接． ，， ，， ， ， ， 平分． （3）解：如图中，设交于． ，， 是等腰直角三角形， ，， 垂直平分线段， ， ， ， ， ，是等边三角形， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． 如图中，设交于，当时，同法可证． ，， ， ， ，， ， ， ， ， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是利用特殊三角形的性质解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $