精品解析：四川省成都市第七中学2026-2027学年高一上学期11月期中考试数学试卷

2026-2027学年度上期高2029届半期考试数学试卷 时间：120分钟 总分：150分 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集全集是小于9的正整数，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】全集是小于9的正整数. 又集合， 所以. 2. 已知，则下列说法正确的是（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】对于A选项，因为，所以且，从而，故A正确； 对于B选项，当时，，不等式不成立，故B错误； 对于C选项，因为指数函数在上单调递增，且，所以，故C错误； 对于D选项，因为，所以，即，故D错误. 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数非负列出不等式，配方后由平方的非负性确定只能取使平方为零的值，由此求得定义域. 【详解】由二次根式有意义的条件得， 即，也即， 由实数的平方非负得，故， 所以函数的定义域为. 4. 一种产品原来的年产量是1000件，今后年内，计划使产量平均每年比上一年增加，则年产量（单位：件）关于经过的年数的函数解析式为（ ） A. （，且） B. （，且） C. （，且） D. （，且） 【答案】D 【解析】 【详解】原来年产量为件,每年比上一年增加,即每经过一年,年产量变为上一年的倍. 经过年,年产量为;经过年,年产量为. 依此类推,经过年,年产量,其中,也即且. 5. 已知集合，，且，记此时实数的取值范围为，集合，则“”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】B 【解析】 【详解】由及可知，的右端点不能小于2，且时仍有，所以，即． 又，若，则，从而，即． 而当时，但，因此“”是“”的必要不充分条件． 6. 已知函数为上的奇函数，且在单调递增，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为为上的奇函数，所以，且，故． 当时，由在上单调递增，得等价于，即； 当时，，由奇偶性得，所以等价于， 再由在上单调递增，得，结合，得． 综上，结合，不等式的解集为． 7. 若函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性及其在非负实数范围内的单调性，将函数值不等式转化为自变量绝对值的不等式，再平方求解． 【详解】由题意得，其定义域为，且，所以为偶函数． 当时，，由可知，在上单调递增． 由偶函数的性质，，结合上述单调性，原不等式等价于． 由于两边均非负，平方得，即，解得或， 所以原不等式的解集为． 8. 若函数，则下列说法错误的是（ ） A. 当时，函数图象的对称中心为 B. 当时，函数在区间上的最大值为1 C. 当时，函数在区间的最小值为3 D. 若函数在区间上不单调递减，则 【答案】D 【解析】 【分析】分离参数，通过反比例函数图象平移可判断A，通过反比例类型函数单调性可判断B、D，通过对勾函数单调性可判断C. 【详解】， 当时，， 函数图象由向左平移2个单位，再向上或向下平移个单位， 所以函数图象的对称中心为，故A正确； 当时，，在区间单调递减， 所以的最大值为，故B正确； 当时，， 则， 由对勾函数性质可得在区间的最小值为，故C正确； 因为， 当，即时，在区间上单调递增，符合题意； 当，即时，在区间上不单调，符合题意， 当，即时，在区间上单调递减，不合题意，故D错误. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，且，若，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【详解】选项A，因为，可知，，正确. 选项B，，可知，又，则，错误. 选项C，因为，则，，正确. 选项D，，，则，错误. 10. 我们规定：当时，，例如：，．设函数，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 方程有三个不同实根 C. 在上单调递减 D. ，，都有 【答案】ACD 【解析】 【分析】先解出三个式子两两相等的点，用这些点把写成分段函数；再逐项判断，A代值，B在每段上解方程，C看该段解析式，D作差配方比较． 【详解】先理解定义：是三个数中中间大小的值. 比较，，三个数的大小，两两相等的临界点为 ，得或； ，，得，； ，得. 以这些点为界，得当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 选项A：当时，，，.三个数的中间值为，所以，A正确. 选项B，当时，由，得； 当时，由，得； 当时，由，得； 其余分段区间内方程无符合区间范围的解； 所以方程只有，两个不同实根，B错误． 对于C，在区间内，，单调递减，因此在上单调递减，C正确． 对于D，当时，． 因为， 所以，D正确． 故选ACD． 11. 已知，，且，记，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则既有最大值，又有最小值 B. 若，则有最小值，无最大值 C. 若，则既有最大值，又有最小值 D. 若，则有最小值，无最大值 【答案】BC 【解析】 【分析】设，根据基本不等式得，进而将转化为，再结合对勾函数的性质求解判断B；令，将转化为，再结合选项，根据对勾函数的性质依次讨论ACD选项即可得答案. 【详解】先讨论的情况， 设，由 ，，且，结合基本不等式得 对于 又， 所以，令， 由对勾函数性质得在单调递减，在单调递增， 所以，当时，在单调递减，在单调递增， 故函数在处取最小值，无最大值； 当时，在单调递减，故在处取得最小值，无最大值. 综上，，则有最小值，无最大值，B选项正确； 下面讨论的情况： 因为，即， 所以 令，由 得，，即， 所以 记对勾函数， 对于A选项，当时，，此时， 由于，故根据对勾函数性质，函数在单调递增， 所以，函数有最小值，无最大值， 所以，有最大值，无最小值，故A选项错误； 对于C选项，当时，，此时， 由于，故根据对勾函数性质，函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 所以有最小值，有最大值， 所以既有最大值，又有最小值，故C选项正确； 对于D选项，当时，，此时， 由于，故根据对勾函数性质， 可得函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 所以有最小值，有最大值， 所以既有最大值，又有最小值，故D选项错误； 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 命题“，方程无实根”的否定是_______． 【答案】，方程有实根 【解析】 【分析】由存在量词命题的否定为全称量词命题即可求解. 【详解】命题“，方程无实根”的否定是 “，方程有实根”. 13. 如图，函数的图象过点，，则此段图象的解析式为________． 【答案】（） 【解析】 【详解】把，代入得：， 解得：， ，结合图像可知区间为， 即. 14. 函数的函数值表示不超过的最大整数，例如，，．已知函数，若函数在区间上的值域为，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，因为函数在区间上的值域为则需要满足两个条件，再对，，以及分情况讨论即可求解. 【详解】因为函数，所以， 因为，且当时，，所以可以取到， 因为函数在区间上的值域为， 则要满足①，；②，， 当时，在上单调递增，但，矛盾； 当时，在，上单调递增，在上单调递减，， 由于，则有，即，解得； 当时，根据二次函数对称轴与区间端点的关系，分情况讨论： ③当时，，此时在上单调递增，在上单调递减， 只需满足,解得； ④当时，在上单调递增，故，此时无解， 综上所述，实数的取值范围是. 四、解答题：本大题共5小题，共计77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设实数集为全集，，． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）​ （2）​ 【解析】 【分析】（1）由二次根式有意义的条件确定集合，代入求出集合，再求并集． （2）按集合是否为空集分类讨论，将交集为空转化为区间端点的大小关系． 【小问1详解】 由得． 当时，， 所以． 【小问2详解】 当时，由知不等式无实数解，故，此时成立； 当时，，因为且不含右端点， 所以等价于，结合，解得． 综上，，所以实数的取值范围是． 16. 一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，该天平左臂长为，右臂长为．一位顾客到店里想购买10 g黄金．售货员先将5 g的砝码放在天平左盘，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5 g的砝码放在天平右盘，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金一起交给顾客．（注：当天平平衡时，两侧的物体质量与对应力臂长的乘积相等） （1）用含，的式子表示两次称得的黄金克数之和； （2）试判断顾客拿到的黄金质量与10 g的大小关系，并说明理由； （3）假设顾客得知自己拿到的黄金质量不超过12.5 g，求该商店天平左臂与右臂长度之比的最大值． 【答案】（1）​ （2）顾客拿到的黄金质量大于． （3）2 【解析】 【分析】（1）根据两次天平平衡时质量与对应力臂长的乘积相等，分别求出两次称得的黄金质量，再相加． （2）利用基本不等式比较两次黄金总质量与的大小，并结合两臂不等长排除等号． （3）令，将总质量不超过转化为关于的一元二次不等式，求出取值范围并检查最大值能否取得． 【小问1详解】 设第一次、第二次称得的黄金质量分别为、． 第一次砝码在左盘、黄金在右盘，由天平平衡得，解得； 第二次黄金在左盘、砝码在右盘，由天平平衡得，解得． 所以两次称得的黄金克数之和． 【小问2详解】 因为、且，由基本不等式得，当且仅当，即时等号成立，与题设矛盾． 所以，即顾客拿到的黄金质量大于． 【小问3详解】 由题意知，化简得． 令，因为、且，所以且，原不等式化为． 因为，两边同乘，得，即，解得，再结合，得． 当，即时，两臂不等长，且，满足题意，所以的最大值为2． 17. 给定函数，（）．，用表示，中的最小者，记为． （1）求函数的解析式； （2）已知函数的图象无限接近直线但又不与该直线相交 （i）请写出的值； （ii）解不等式：． 【答案】（1）（亦可写为） （2）（i），（ii） 【解析】 【分析】（1）利用时指数函数的单调性，比较与的大小，从而写出的分段解析式． （2）（i）由的图象特征及竖直平移确定；（ii）利用指数函数单调性把原不等式化为绝对值不等式，再平方求解． 【小问1详解】 因为，函数在上单调递减，且， 当，即时，由单调性得，解得； 当时，同理由单调性得，解得， 故，亦可写为． 【小问2详解】 （i）由（1）可知，因为，当不断增大时，无限接近且始终大于，所以的图象无限接近直线且不与该直线相交，由题意得． （ii）由（i）可知，原不等式即，即． 因为，函数单调递减，故，又两边均为非负数，两边平方得，解得，故原不等式的解集为． 18. 已知函数． （1）判断并用定义证明函数在上的单调性； （2）函数是奇函数，求的值； （3）若（），对，，使得，求实数的取值范围． 【答案】（1）函数在上单调递增． 证明：任取，且，则． 因为，所以，，故，即． 所以函数在上单调递增． （2）​ （3）​ 【解析】 【分析】（1）任取区间内两个自变量，作差并因式分解，利用差的符号按定义证明单调性． （2）先利用奇函数的定义域关于原点对称确定，再由奇函数的定义求并检验． （3）将题设的量词关系转化为两个值域的包含关系，利用单调性分别求出值域，再确定的范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 令，其定义域为． 因为是奇函数，其定义域关于原点对称，且定义域仅缺少这一点，所以，即． 此时，其中． 由，得，解得． 当时，的定义域关于原点对称，且，故确为奇函数． 因此． 【小问3详解】 因为，所以在上单调递增，其值域为． 由（1）知在上单调递增，其值域为． 题设表示在上取得的每个值，都能由在上取得，因此等价于． 由于，有，且，所以上述包含关系等价于，即． 结合，得． 19. 已知幂函数的图象关于轴对称，函数． （1）求的解析式； （2）若函数在区间上的最小值为，求； （3）若，函数，若对，，使得，求实数的取值范围． 【答案】（1）​ （2）0或2 （3）​ 【解析】 【分析】（1）由幂函数的定义确定系数，再把图象关于轴对称的条件转化为函数的偶性，筛选参数并求出解析式． （2）根据二次函数的对称轴与区间的位置关系，分类确定最小值，再求参数并检验所属范围． （3）将因式分解，按零点的大小关系求不等式的解集，再判断该解集是否与每个区间都有公共点． 【小问1详解】 因为是幂函数，所以，即，解得或． 当时，，其定义域为，且，图象不关于轴对称，舍去； 当时，，定义域为，且，符合题意． 故． 【小问2详解】 由（1）知，其图象开口向上，对称轴为． ①当，即时，在上单调递增，最小值为，由得，不满足，舍去； ②当，即时，在处取得最小值，故，解得或，其中仅满足； ③当，即时，在上单调递减，最小值为，由得，满足． 综上，或． 【小问3详解】 由题意及（1）知，定义域为． 令，则，其中， ，所以． 记不等式的解集为，对任意，记，则题设条件等价于对每个都有． ①当时，，由各因式的符号得，取，则，，不符合题意； ②当时，不等式为，无解，即，不符合题意； ③当时，，由各因式的符号得． 当时，与有公共点； 当时，且，故与有公共点，因此该情形符合题意； ④当时，不等式为，得． 当时，非空区间包含于； 当时，，因此该情形符合题意； ⑤当时，，由各因式的符号得． 当时，非空区间包含于； 当时，由知，非空区间包含于，因此该情形符合题意； ⑥当时，仍有，取，则，由于且两段区间的端点均不属于，所以，不符合题意． 综上，实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度上期高2029届半期考试数学试卷 时间：120分钟 总分：150分 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集全集是小于9的正整数，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则下列说法正确的是（     ） A. B. C. D. 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 一种产品原来的年产量是1000件，今后年内，计划使产量平均每年比上一年增加，则年产量（单位：件）关于经过的年数的函数解析式为（ ） A. （，且） B. （，且） C. （，且） D. （，且） 5. 已知集合，，且，记此时实数的取值范围为，集合，则“”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 6. 已知函数为上的奇函数，且在单调递增，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数，则下列说法错误的是（ ） A. 当时，函数图象的对称中心为 B. 当时，函数在区间上的最大值为1 C. 当时，函数在区间的最小值为3 D. 若函数在区间上不单调递减，则 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，且，若，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 我们规定：当时，，例如：，．设函数，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 方程有三个不同实根 C. 在上单调递减 D. ，，都有 11. 已知，，且，记，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则既有最大值，又有最小值 B. 若，则有最小值，无最大值 C. 若，则既有最大值，又有最小值 D. 若，则有最小值，无最大值 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 命题“，方程无实根”的否定是_______． 13. 如图，函数的图象过点，，则此段图象的解析式为________． 14. 函数的函数值表示不超过的最大整数，例如，，．已知函数，若函数在区间上的值域为，则实数的取值范围是________． 四、解答题：本大题共5小题，共计77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设实数集为全集，，． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 16. 一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，该天平左臂长为，右臂长为．一位顾客到店里想购买10 g黄金．售货员先将5 g的砝码放在天平左盘，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5 g的砝码放在天平右盘，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金一起交给顾客．（注：当天平平衡时，两侧的物体质量与对应力臂长的乘积相等） （1）用含，的式子表示两次称得的黄金克数之和； （2）试判断顾客拿到的黄金质量与10 g的大小关系，并说明理由； （3）假设顾客得知自己拿到的黄金质量不超过12.5 g，求该商店天平左臂与右臂长度之比的最大值． 17. 给定函数，（）．，用表示，中的最小者，记为． （1）求函数的解析式； （2）已知函数的图象无限接近直线但又不与该直线相交 （i）请写出的值； （ii）解不等式：． 18. 已知函数． （1）判断并用定义证明函数在上的单调性； （2）函数是奇函数，求的值； （3）若（），对，，使得，求实数的取值范围． 19. 已知幂函数的图象关于轴对称，函数． （1）求的解析式； （2）若函数在区间上的最小值为，求； （3）若，函数，若对，，使得，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $