精品解析：四川省成都市郫都区2026-2027学年高一上学期期中定时练习数学试卷

高一定时练习 数　学 说明：1．本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分 150 分，时间 120 分钟． 2．所有试题均在答题卡相应的区域内作答． 第Ⅰ卷（选择题　共 58 分） 一、单选题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的） 1. 下列描述正确的是（ ） A. Q B. N C. D. R 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，因为Q表示有理数集，但是是无理数，所以Q，A错； 对于B，因为N表示自然数集，是自然数，所以N，B错； 对于C，因为2是素数，所以C对； 对于D，不是R中的元素，故D错. 2. 用描述法表示下图所示阴影部分的点包括边界上的点的坐标的集合是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 或 【答案】B 【解析】 【详解】由图可知，的取值范围是；的取值范围是. 所以图上所示阴影部分的点包括边界上的点的坐标的集合是且. 3. 已知集合，若，则（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，对集合中两个元素进行分类讨论，分别求出的值，再检验集合中元素的互异性即可得出的值. 【详解】由题可知，，则当时，集合中两个元素均为，不合题意； 当时，则或，又知不合题意，所以. 4. 已知集合，，若，则的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由知，根据子集关系列出不等式求解即可. 【详解】由可知，则，解得，即. 5. 集合，，则集合 的元素个数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简集合，即可求交集得解. 【详解】由于，故是12的正因数，因此, 故，考虑到，故，， 因此，， 故. 6. 已知函数，，用表示，中的最大者，记为，则的最小值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，，得，即，解得或. 当时，，得，则；由二次函数在上单调递减，则； 当时，，得，则；由一次函数在上单调递减，则； 当时，，得，则；由二次函数在上单调递增，则； 综上所述，，得的最小值为. 7. 若一个集合是另一个集合的子集，则称这两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”．对于集合 ，，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 以上都不正确 【答案】D 【解析】 【分析】分“鲸吞”或“蚕食”两种情况分类讨论求出值，即可求解. 【详解】当时，方程无实数解，则，因此，满足“鲸吞”的定义； 当时，方程可得，解得或，因此； 由于中的两个元素互为相反数，且，所以不会是的子集，也不会是的子集； 因此，两集合不存在“鲸吞”关系； 若两集合满足“蚕食”关系：需同时满足，且与互不为对方子集， 若，则，解得，此时，满足与构成“蚕食”关系； 若，则，解得，此时，满足与构成“蚕食”关系； 因为，所以； 综上，符合条件的的取值范围是. 8. 设定义在上的函数的图像如图所示，则关于函数的单调区间表述正确的是（　　） A. 在上单调递减 B. 在上单调递增 C. 在上单调递减 D. 在上单调递减，在上单调递增 【答案】D 【解析】 【详解】由的图像可知：当，时，此时，无意义，故ABC错误， 由于在上单调递增，在上单调递减，且恒大于0，故在上单调递减，在上单调递增. 二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对得部分分） 9. 狄利克雷函数是数学中非常有名且很重要的一个函数．它的定义如下：，则关于狄利克雷函数的说法正确的是（　　） A. 定义域为 B. 值域为 C. 是偶函数 D. 对定义域内任意都有 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据狄利克雷函数的概念、偶函数的定义判断即可. 【详解】对于A，由有理数和无理数统称为实数，则狄利克雷函数的定义域为，A正确； 对于B，由题可得函数值为0和1，所以值域为，B错误； 对于C，由有理数相反数仍是有理数，无理数相反数仍是无理数，， 所以为偶函数，C正确； 对于D，若为有理数，则仍是有理数；若为无理数，则仍是无理数， 所以，D正确. 10. 下列叙述正确的是（　　） A. 函数和表示同一个函数 B. 函数的最小值为 C. 若，则 D. 若一次函数满足，则的解析式为 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，判断函数定义域、对应法则是否完全一致即可判断，对于B，换元后结合对勾函数单调性即可求解，对于C，利用作差比较法即可判断，对于D，利用待定系数法求解析式. 【详解】对于A：两个函数的定义域均为，且对任意，恒有， 二者对应法则完全一致，因此表示同一个函数，故A正确； 对于B：， 令，，则，， 根据对勾函数性质，在上单调递增， 所以，所以函数的最小值为，故B正确； 对于C：因为，所以，即，故C错误； 对于D：设，则， 所以，解得或， 所以或，故D错误. 11. 下列说法正确的是（　　） A. 命题“，”的否定是“，” B. 若函数在单调递增，则的取值范围为 C. 命题“，”成立的一个必要不充分条件是 D. 奇函数，则恒成立 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定可判断A选项；利用函数单调性的定义可判断B选项；利用二次不等式恒成立求出实数的取值范围，结合充分条件和必要条件的定义可判断C选项；利用函数奇偶性的定义、函数单调性以及作差法可判断D选项. 【详解】对于A选项，由全称量词命题的否定可知，命题“，”的否定是“，”，故A错误； 对于B选项，任取、且， 则， 因为，则，， 要使得函数在单调递增，则，可得，故，故B正确； 对于C选项，，， 当时，则有，符合题意， 当时，则有，解得， 综上所述，， 故命题“，”成立的一个必要不充分条件是，故C正确； 对于D选项，因为为奇函数，则， 当时，，则， 所以，， 故，作出函数的图象如下图所示： 由图可知，函数在上为减函数， 因为， 即，故恒成立，故D正确. 第Ⅱ卷（非选择题　共 92 分） 注意事项：必须使用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指定的答题区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效． 三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12. 已知函数，则________． 【答案】 【解析】 【分析】直接计算即可. 【详解】由， 则， 所以. 13. 满足的集合共有________个． 【答案】 【解析】 【详解】方法一：满足的集合有，，，，，，，， ，，，，，，，共个； 方法二：因为，结合有个元素， 所以满足的集合共有个. 14. 已知函数在上的值域为，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】作出的图象，结合图象求得答案. 【详解】因为，作出其图象如图， 由在上的值域为，结合图象得. 故答案为：. 四、解答题（本大题共 5 小题共 77 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知函数 . （1）画出函数 的图象，并根据函数图象求函数 的最大值； （2）写出函数 在 上的单调递增区间，并用定义证明它； （3）解关于 的不等式 ． 【答案】（1）图象见解析，取得最大值. （2）由图像可得，函数在上的单调递增区间为. 证明：任取，且， 则， 因为，且，所以，即， 所以函数在区间上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）直接画出分段函数的图像即可，结合图像可得函数的最大值； （2）由函数单调性的定义，代入计算，即可证明； （3）分讨论，分别求解不等式，即可得到结果. 【小问1详解】 由图像可得，当时，取得最大值. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，由可得，解得，又， 此时不等式解集为空集； 当时，由可得，解得， 满足，此时不等式解集为； 当时，由可得，解得，又， 此时不等式的解集为； 综上所述，不等式的解集为. 16. 设 为全集，已知集合 ，． （1）若 ，求 ，； （2）若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围． 【答案】（1） ，； （2） 【解析】 【小问1详解】 当时，，又，，又或， . 【小问2详解】 若是的充分不必要条件，则， 当时，满足，所以，解得； 当时，要满足，则，且与等号不同时成立， 解得； 综上，实数的取值范围为. 17. 如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园．设菜园的长为米，宽为米． （1）若菜园面积为72平方米，则，为何值时，求篱笆总长最小值； （2）若使用的篱笆总长为30米，求的最小值； （3）若，满足，求菜园面积的最小值． 【答案】（1）当，时，篱笆总长最小，最小值为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据矩形面积公式得到，利用基本不等式求解； （2）先把化成，再利用“1”的妙用求和的最小值； （3）将已知等式变形为，利用基本不等式构建关于的不等式求解. 【小问1详解】 由题意可知，菜园的面积，且，， 所用篱笆总长， 由基本不等式，可得， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以，当，时，所用篱笆总长最小，最小值为. 【小问2详解】 由题意得，， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是． 【小问3详解】 由题意可知，，，且满足，即， 根据基本不等式，有，当且仅当时等号成立， 所以．令，则， 上述不等式可化为，即，解得， 所以，即，当且仅当时，等号成立，此时满足， 所以菜园面积最小值为. 18. 设集合，． （1）求集合； （2）若集合有且仅有两个子集，求实数的值； （3）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或． 【解析】 【分析】（1）解方程，确定的元素即可. （2）由集合有且仅有两个子集，所以集合只有一个元素，结合，求得的值，即可得到答案； （3）先求得，根据，所以集合可能是，，，，分情况讨论，结合二次函数的性质，列出方程组，即可求解. 【小问1详解】 由，解得或， 所以． 【小问2详解】 因为集合有且仅有两个子集，所以集合只有一个元素， 故，所以． 【小问3详解】 由（1）知，， 因为，所以集合可以是，，，． 当时，即方程无实数根， 则，解得； 当时，即方程有且只有一个根， ，解得； 当时，即方程有且只有一个根， 则，方程组无解； 当时，方程有和两根， 则，解得， 综上所述，实数的取值范围是或． 19. 已知函数，（其中、为常数）． （1）若不等式的解集为 ，求、的值； （2）若，求在区间上的最大值； （3）若函数的图象关于直线对称，求的最小值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由不等式的解集可得方程的两根，再由韦达定理即可得到结果； （2）对实数的取值进行分类讨论，分析二次函数在区间上的单调性，可求出函数在区间上的最大值； （3）根据题意，由条件可得函数的全部零点为、、、，然后结合换元法以及二次函数的最值，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 由题意，方程的两根为、，由韦达定理可得， 解得，. 【小问2详解】 由可得，该函数的图象开口向上，对称轴为， 当时，即当时，函数在上单调递增，此时； 当时，即当时，函数在上单调递减，此时. 当时，即当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又，， 作差可得， 当时，，最大值为， 当时，，最大值为， 综上所述，在区间 上的最大值为. 【小问3详解】 已知的零点为和， 又因为的图象关于直线对称， 所以零点的对称点为，零点的对称点为， 所以函数的全部零点为、、、， 则函数可化为， 令，则， 则， 令，则， 所以时，有最小值为，即的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一定时练习 数　学 说明：1．本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分 150 分，时间 120 分钟． 2．所有试题均在答题卡相应的区域内作答． 第Ⅰ卷（选择题　共 58 分） 一、单选题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的） 1. 下列描述正确的是（ ） A. Q B. N C. D. R 2. 用描述法表示下图所示阴影部分的点包括边界上的点的坐标的集合是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 或 3. 已知集合，若，则（ ） A. 或 B. C. D. 4. 已知集合，，若，则的取值范围为（　　） A. B. C. D. 5. 集合，，则集合 的元素个数为（　　） A. B. C. D. 6. 已知函数，，用表示，中的最大者，记为，则的最小值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 7. 若一个集合是另一个集合的子集，则称这两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”．对于集合 ，，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 以上都不正确 8. 设定义在上的函数的图像如图所示，则关于函数的单调区间表述正确的是（　　） A. 在上单调递减 B. 在上单调递增 C. 在上单调递减 D. 在上单调递减，在上单调递增 二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对得部分分） 9. 狄利克雷函数是数学中非常有名且很重要的一个函数．它的定义如下：，则关于狄利克雷函数的说法正确的是（　　） A. 定义域为 B. 值域为 C. 是偶函数 D. 对定义域内任意都有 10. 下列叙述正确的是（　　） A. 函数和表示同一个函数 B. 函数的最小值为 C. 若，则 D. 若一次函数满足，则的解析式为 11. 下列说法正确的是（　　） A. 命题“，”的否定是“，” B. 若函数在单调递增，则的取值范围为 C. 命题“，”成立的一个必要不充分条件是 D. 奇函数，则恒成立 第Ⅱ卷（非选择题　共 92 分） 注意事项：必须使用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指定的答题区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效． 三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12. 已知函数，则________． 13. 满足的集合共有________个． 14. 已知函数在上的值域为，则实数的取值范围是_______． 四、解答题（本大题共 5 小题共 77 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知函数 . （1）画出函数 的图象，并根据函数图象求函数 的最大值； （2）写出函数 在 上的单调递增区间，并用定义证明它； （3）解关于 的不等式 ． 16. 设 为全集，已知集合 ，． （1）若 ，求 ，； （2）若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围． 17. 如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园．设菜园的长为米，宽为米． （1）若菜园面积为72平方米，则，为何值时，求篱笆总长最小值； （2）若使用的篱笆总长为30米，求的最小值； （3）若，满足，求菜园面积的最小值． 18. 设集合，． （1）求集合； （2）若集合有且仅有两个子集，求实数的值； （3）若，求实数的取值范围． 19. 已知函数，（其中、为常数）． （1）若不等式的解集为 ，求、的值； （2）若，求在区间上的最大值； （3）若函数的图象关于直线对称，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $