精品解析：广东省广州市第十六中学2026-2027学年第一学期高中中段教学质量反馈高一年级数学试卷

2026学年第一学期高中中段教学质量反馈 高一年级数学试卷 本卷满分150分， 考试时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知命题：，，命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【详解】命题的否定为，. 2. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【详解】对于AB，取，满足，而，AB错误； 对于C，由，，得，C正确； 对于D，取，则，D错误. 3. 在机器学习中，常用来衡量两个集合，之间的相似度，其中表示集合的元素的个数．已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由条件求和，再结合定义求结论. 【详解】因为，， 所以，， 所以，， 所以. 4. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，可得， 所以． 5. 已知，则函数的解析式为（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由利用配方法和换元法求函数解析式. 【详解】，且， 所以， 故选：B 6. 函数的图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性及函数值的正负判断即可. 【详解】因为， 所以的定义域为，且， 所以是偶函数，其图象关于轴对称，所以排除CD； 当时，，即， 所以，排除B； 故选：A. 7. 若，则（ ） A. 1 B. 0 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，构造函数，可得，再结合的单调性和奇偶性即可求解. 【详解】构造函数， 由， 可得， ，且定义域为， 是奇函数， ， 又易得为上的单调递增函数，, ， . 故选：B 8. 下图为舞台的平面示意图，四边形与为两个共中心但不一定等大的正方形，位于中间的八边形区域（即两个正方形的公共部分）为舞台，阴影部分的五个等腰直角三角形为贵宾席，其余三个等腰直角三角形区域组成后台区域．试问：当贵宾席面积（即五个阴影等腰直角三角形面积总和）为定值时，舞台面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设两个正方形的公共中心为，用中心到其中一个正方形各边的距离和中心到另一个正方形各顶点的距离作参数，分别表示贵宾席面积与舞台面积；再通过换元把面积最值问题转化为二次式的最值问题，利用配方作差求解. 【详解】设公共中心为，正方形的边心距为. 正方形的顶点到的距离为，由公共部分是八边形得. 以为顶点的阴影三角形，斜边在的边上，长为； 等腰直角三角形面积等于斜边平方的四分之一，故其面积为. 由对称性，以为顶点的两个阴影三角形面积也为. 以为顶点的阴影三角形，两条直角边长为，面积为. 以为顶点的阴影三角形与它全等，面积同为. 于是贵宾席面积. 舞台面积等于正方形的面积减去四个角上的小三角形面积，即. 令，，则，. 由得，. 作差得，故. 等号当时成立，即. 解得，满足，故舞台面积的最大值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 下列命题中，正确的是（ ） A. 集合，表示同一集合 B. ，都有为真命题 C. 集合，集合，则 D. 设，则“”是“”的充要条件 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A，求函数的自变量与函数值的范围即可判断；对于B，配方得时表达式为0即可判断；对于C，根据集合相等定义判断即可；对于D，根据充要条件的定义判断即可. 【详解】选项A，因,有意义，则，又因,则,故， 两集合的元素构成不同，不是同一集合，故A错误； 选项B，，当且仅当时，等式成立，故B错误； 选项C：因为集合的元素完全相同，所以，故C正确； 选项D：因是上的增函数，则由可得，充分性成立； 由可得，必要性成立，故 “”是“”的充要条件，D正确. 10. 德国著名数学家狄利克雷（Dirichlet，1805~1859）定义了一个“奇怪的函数”其中为实数集，为有理数集．则关于函数有如下四个命题，正确的为（ ） A. 存在，有 B. 对任意，都存在， C. 若，，则有 D. 存在三个点，，，使为等腰直角三角形 【答案】AC 【解析】 【详解】由题意，当是有理数时，；当是无理数时，. 对于A ，当是无理数时，也是无理数，， ，故A正确； 对于B，当是无理数时，若为有理数，则是无理数，，，，故B错误； 对于C，由题意知函数的值域为，当且时，，， 所以，故 C正确； 对于D，由函数的值域为，可知△三个顶点的纵坐标要么有两个和一个，要么有两个和一个， 不妨设，，如图，在等腰直角△中，取斜边AC的中点D， ，所以， 故当即是有理数时，也是有理数，从而有，这与矛盾，故D错误. 11. 已知偶函数与奇函数的定义域均为，且满足，，则下列关系式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】运用代入法，结合奇函数和偶函数的性质逐一判断即可. 【详解】对于选项A：由，所以本选项关系式一定成立； 对于选项B：由， 由， ，得，本选项关系式一定成立； 对于选项C：因为是定义域为的奇函数，所以， 而，故本选项关系式不成立； 对于选项D：，则，即. ，， ，即， 为偶函数，， ，， 所以，所以本选项关系式一定成立. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共16分． 12. 已知幂函数在区间是减函数，则实数的值是_______. 【答案】 【解析】 【分析】由幂函数的定义可构造方程求得，代入解析式验证，满足在上为减函数的即为结果. 【详解】为幂函数 ，解得：或 当时，函数为，在区间上是增函数，不合题意 当时，函数为，在区间上是减函数，符合题意 综上所述： 故答案为： 【点睛】本题考查根据幂函数的定义与性质求解参数值的问题，关键是熟练掌握幂函数的定义，并能根据解析式特征确定函数的单调性. 13. 计算__________． 【答案】 【解析】 【详解】 14. 设奇函数的定义域为，对任意的，且，都有不等式，且，则不等式的解集是____________ 【答案】 【解析】 【分析】构造函数判断奇偶性及单调性，利用其单调性解不等式即可. 【详解】对任意的，且，都有不等式， 不妨设，则， 令，则，即函数在上为增函数， 因为函数为R上的奇函数，即， 则，所以函数为偶函数， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 因为，则， 当时，即当时， 由可得， 则，解得； 当时，即当时， 由可得， 则，解得. 综上所述，不等式的解集为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）解下列不等式：； （2）解下列不等式：； （3）已知集合，，若，求实数的取值范围（用集合或区间作答）． 【答案】 （1）不等式的解集为；（2）不等式的解集为；（3）实数的取值范围为. 【解析】 【分析】（1）将不等式变形为二次项系数为正，再予以求解. （2）将分式不等式化成不等式组求解. （3）由给定交集的结果，利用集合的包含关系，再按集合是否为空集求解. 【详解】（1）不等式， 解得或，所以原不等式的解集为. （2）不等式，解得或， 所以原不等式的解集为. （3）解不等式，得，则， 由，得，而， 当，即时，，符合题意，因此； 当时，，解得， 所以实数的取值范围为. 16. 函数为定义在上的奇函数， 已知当时，. （1）当时，求的解析式； （2）判断在上的单调性，并利用单调性的定义证明； （3）若，求a的取值范围． 【答案】（1）时， ； （2） 在上的单调递增， 证明如下： 任取，，且，则， 因为，，且，所以，，， 则，即， 所以在上的单调递增； （3）. 【解析】 【分析】（1）当时，，代入函数解析式根据奇函数性质得到答案. （2）确定在上的单调递增，任取，，且，计算得到证明. （3）确定为上的增函数，变换得到，根据函数的单调性解不等式得到答案. 【小问1详解】 当时，，则， 因为函数为奇函数，所以， 即时，的解析式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 在上的单调递增，且函数为上的奇函数，故为上的增函数. 由，， 于是 ，解得，即所求为. 17. 我国某企业计划在2025年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万元，且年产量（单位：千部）与另投入成本（单位：万元）的关系式为，由市场调研知，每千部手机售价为700万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完． （1）求2025年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：千部）的函数关系式（利润=销售额-成本）； （2）当2025年年产量为多少时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）； （2）当2025年年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8250万元. 【解析】 【分析】（1）利用收入减去另投入成本和固定成本即得利润函数. （2）由（1）的结论，求出每一段函数的最大值，再比较大小即可. 【小问1详解】 当时，， 当时，， 所以. 【小问2详解】 当时，， 当时，万元， 当时，， 当且仅当，即时取等号，而， 所以当2025年年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8250万元. 18. “函数的图像关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意，都有”．已知函数（且）在上的最大值与最小值之和为20，记． （1）求的值，并判断的单调性（不用证明）； （2）求证：的图象关于点对称，并求的值； （3）若对，且，恒有成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）；在上单调递增. （2）证明：要证关于点对称，即证对于定义域内的任意，都有. 因为， 所以， 所以，的图象关于点对称，得证. . （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意得，再结合的范围得，进而得，最后根据复合函数单调性判断即可； （2）结合题意，计算成立即可证明；再利用对称性，结合倒序求和法求和即可； （3）根据函数的对称性与单调性得，进而转化为解即可求解. 【小问1详解】 解：当时，函数单调递增，在上的最大值为，最小值为； 当时，函数单调递减，在上的最大值为，最小值为， 所以，无论哪种情况，最大值与最小值之和均为， 因为函数（且）在上的最大值与最小值之和为20， 所以，，即，解得或， 因为且，所以. 将代入得：，即 因为指数函数在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以在上单调递减， 所以在上单调递增， 所以，在上单调递增. 【小问2详解】 证明：略. 设， 将项的顺序反过来写得： 两式相加得： 因为，由对称性可知每一对的和均为，原式共项， 所以，解得， 所以. 【小问3详解】 解：已知对于任意且，恒有成立，即恒成立； 由，得， 由（1）知在上单调递增， 所以， 两边同时加上得： 由（2）知，所以 所以，要使对任意满足条件的恒成立，只需： 即得， 所以，实数的取值范围是. 19. 已知函数的定义域为，且当时，．对任意，定义集合 ． （1）若当时，，求； （2）若是奇函数，求； （3）若是奇函数，，且，证明：． 【答案】（1） （2） （3）因为,所以且. 若,则,而. 这与矛盾,所以异号时只能是. 当同为负数时,在上单调递增,由得. 当同为正数时,在上单调递增,同样得. （i）若,由（2）得,. 由得,所以,即. （ii）若,由（2）得,. 由得,又是两个集合的公共部分,所以. （iii）若,由（2）得,. 此时,所以. 【解析】 【分析】（1）把转化为解不等式,按与两段分别代入解析式求解,再把所得范围取并集. （2）先用奇偶性补出上的解析式,再按,,分类,每类中按与的大小关系解不等式,用区间表示结果. （3）先由结合分段解析式确定的位置关系,再代入（2）中的表达式,把包含关系转化为区间端点的大小比较,按同负、同正、异号三种情形分别验证. 【小问1详解】 由题意得,所以等价于. 当时,,此时. 由及指数函数单调递增,得,即,结合得. 当时,,此时. 由得,结合得. 所以. 【小问2详解】 因为是定义在上的奇函数,所以. 当时,,所以. 于是. （i）当时,. 若,则,由得,结合得. 若,则,不满足条件. 所以此时. （ii）当时,,条件即. 当时,;当时,;当时,. 所以. （iii）当时,. 若,则,恒成立,即. 若,则由得,即. 特别地，时有 ，应保留这一端点；时两边相等，不符合严格不等式． 所以此时. 所以. 【小问3详解】 因为,所以均不为零. 若,则,而,这与矛盾,所以异号时只能是. 当同为负数时,在上单调递增,由得. 当同为正数时,在上单调递增,同样得. （i）当时,由（2）得,.因为,所以,即. （ii）当时,由（2）得,.因为,所以,故. （iii）当时,由（2）得,.因为,所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期高中中段教学质量反馈 高一年级数学试卷 本卷满分150分， 考试时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知命题：，，命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 在机器学习中，常用来衡量两个集合，之间的相似度，其中表示集合的元素的个数．已知，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则函数的解析式为（ ）. A. B. C. D. 6. 函数的图象为（ ） A. B. C. D. 7. 若，则（ ） A. 1 B. 0 C. 2 D. 8. 下图为舞台的平面示意图，四边形与为两个共中心但不一定等大的正方形，位于中间的八边形区域（即两个正方形的公共部分）为舞台，阴影部分的五个等腰直角三角形为贵宾席，其余三个等腰直角三角形区域组成后台区域．试问：当贵宾席面积（即五个阴影等腰直角三角形面积总和）为定值时，舞台面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 下列命题中，正确的是（ ） A. 集合，表示同一集合 B. ，都有为真命题 C. 集合，集合，则 D. 设，则“”是“”的充要条件 10. 德国著名数学家狄利克雷（Dirichlet，1805~1859）定义了一个“奇怪的函数”其中为实数集，为有理数集．则关于函数有如下四个命题，正确的为（ ） A. 存在，有 B. 对任意，都存在， C. 若，，则有 D. 存在三个点，，，使为等腰直角三角形 11. 已知偶函数与奇函数的定义域均为，且满足，，则下列关系式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共16分． 12. 已知幂函数在区间是减函数，则实数的值是_______. 13. 计算__________． 14. 设奇函数的定义域为，对任意的，且，都有不等式，且，则不等式的解集是____________ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）解下列不等式：； （2）解下列不等式：； （3）已知集合，，若，求实数的取值范围（用集合或区间作答）． 16. 函数为定义在上的奇函数， 已知当时，. （1）当时，求的解析式； （2）判断在上的单调性，并利用单调性的定义证明； （3）若，求a的取值范围． 17. 我国某企业计划在2025年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万元，且年产量（单位：千部）与另投入成本（单位：万元）的关系式为，由市场调研知，每千部手机售价为700万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完． （1）求2025年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：千部）的函数关系式（利润=销售额-成本）； （2）当2025年年产量为多少时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 18. “函数的图像关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意，都有”．已知函数（且）在上的最大值与最小值之和为20，记． （1）求的值，并判断的单调性（不用证明）； （2）求证：的图象关于点对称，并求的值； （3）若对，且，恒有成立，求实数的取值范围． 19. 已知函数的定义域为，且当时，．对任意，定义集合 ． （1）若当时，，求； （2）若是奇函数，求； （3）若是奇函数，，且，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $