四川省南充高级中学2026-2027学年高二上学期11月期中考试数学试题

南充高中高2025级高二上学期期中考试 数学试题参考答案 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 题号 1 2 3 4 5 6 8 答案 D ⊙ B C B A D C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 题号 9 10 11 答案 BC ACD ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12号 18号 4-号 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(1)证明：连接AB,如图因为E,F分别为AA1,AB的中点，所以EF∥AB…2分 又ABCD-ABC1D为正方体，所以AB1∥CD,所以EF∥C.4分 因为F∥CD,EF寸平面BCD,CDc平面BCD, 所以EF∥平面BC,D: .6分 (2)正方体ABCD一ABCD1中，可以以D为原点，建立空间直角坐标系如图： 得D(0,0,0),A(1,0,0),A1(1.0,1),B(1,1,0),C1(0,1,1),AA1=(0,0,1), D=(1,1,0),DC=(0,1,1),设平面BCD的法向量为元=(c,y,z),则由 :P50海士8令a=,符平阿5CD的一个法向量为元=1.-1，画 …… 10分 AA1元 设直线AA1与平面BCD所成角为6，可得sin=cos(AA1,) AA元 1×√ 3 所以AA1与平面BCD所成角的正弦值是 3 ….13分 16(1)由频率直方图可知，每组的组距为10，所有组的频率之和为1， 由(0.016+a+0.040+0.008+0.004)×10=1,解得a=0.032, 3分 因为[70，S0)这一组矩形面积最大，频率最大，所以估计样本数据众数为70S0-=75…5分 2 (2)由频率直方图知，分层抽样在[60,70)，[70,80)，[80,90)频率之比为0.32：0.4：0.08=4：5：1， 所以抽10人时，[60,70)组抽取4人，[70,80)组抽取5人，[80,90)组抽取1人，.8分 由于同一组中的数据用该组区间的中点值作代表 所以这10名学生的平均成债为65×青+7石×品+5×-72 .11分 、10 (3)由题意即求样本数据第60百分位数，前二组的频率和为0.016×10+0.032×10=0.48，前三组的频 率和为0.48+0.04×10=0.88，所以第60百分位数在第三组， 第60百分位数为70+0.60.48×10=73，所以估计晋级分数线是73… 0.4 ...15分 参考答案第1页，共4页 171)由 2x-y+3=0 3111=0,解得y=1,所以A(-1,1), 2分 又直线2026x十3y-21=0在y轴上的截距为7，即所求直线l过(0,7)，.4分 所以直线1的斜率为k=。7一1=6所以直线1的方程为g=60+7即6x-y+7=0: 0-（-1) 7分 (2)圆x2++2x+4y+3=0的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=2,所以圆心B(-1,-2).9分 =子用+ 设M(,y:由MB 1 √(x+1)2+(y+29 Γ2 化简得x2+y2+2x-4y十1=0，. .13分 即(x+1)2+(y-2)2=4,故曲线C是圆心为(-1,2)，半径为2的圆. .15分 18.(1)箱子里红球编号为1,2，白球编号为3,4,5， 则样本空间为2={(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)}…2分 记A={(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5)},所以n(2)=10,n(A)=6, 质入第二关的概率PA二。=多C样本空间液有序列出20不，结界正确同样将分》5汤 ②设事件D-“某同学在游戏第=关取到红球”，则PD)一了 设事件C=“某同学参加游戏计3分”，则C=AB,且事件A与B为独立事件，7分 所以PC-P(AD-PAPD)-号×专-吉，所以套狂游成的同学计3分的概李 5 ….10分 (3)记“甲同学计i分”为事件A(1=1、2、3),“乙同学计j分”为事件B(j=1、2、3), “甲、乙两人合计得4分”为事件M,则M=A1B+AB2十AB1, .12分 易知PAù-PB-1-PA-1-号-号，PA-PB)-PC-号 55 PA=PB=PAW1-Pa=号×1-吉)=子， .14分 根据题意可得，P(M)=P(A1B3十AB2十AB)=P(A1B)+P(AB)+P(AB1 -PAP(B)+PAPB)+P(APB)-号×5+号×号+号×行- 55-25 故甲、乙独立参加游戏和计得4分的概率为云 ….17分 19.(1)因为PA⊥平面ABC,且AB,AC,BCc平面ABC,则PA⊥AB,PA⊥AC,PA⊥BC, 所以△PAB,△PAC是直角三角形， .2分 又∠ACB=90',所以△ABC是直角三角形， .3分 因为∠ACB=90°，所以BC⊥AC,又PA⊥BC,PA∩AC=A, PA、ACC平面PAC,所以BC⊥平面PAC,又BCC平面PAC,所以BC⊥PC, 所以△PBC是直角三角形，所以三棱锥P-ABC的四个面都是直角三角形， 是“鳖臑”；… 5分 (2)取AC的中点为G,过点G作GH⊥AB于点H,连接MG、MH. .6分 :M是PC中点，.MG∥PA,:PA⊥平面ABC,∴.MG⊥平面ABC,.MG⊥AB 又：GH⊥AB,MG∩GH=G,MG、GHC平面MGH .AB⊥平面MGH,.∠MHG为平面ABM与平面ABC所成夹角 ..8分 在AMGH中，AMG=号PA-号，GH=}AB=9 4 参考答案第2页，共4页 G+G肝-√39=oG-盟-是- MH 3 所以平面ABM与平面ABC所成夹角的余弦为 .10分 3 (3):在RtAPAC中，PA=AC=1,M为PC的中点，·AM⊥PC,AM= 2 由(1)知BC⊥平面PAC,.BC⊥AM,又：PC∩BC=C, PC、BCC平面PBC,∴.AM⊥平面PBC,∴.AM⊥MN,AM⊥PB Sum=方AAX M/IN=是a. 4 ∴.当MN⊥PB时，MN长度最小，△AMN面积最小，12分 由AM⊥PB,MIN⊥PB,AM∩MN=M,得PB⊥平面AMN, ∴.点B到平面AN的距离为BN, ..14分 易知RtAPMN∽RtAPBC,PB=√PCP+BC=√5， 2 所以PN=PM x PC= PB 有x2=9w器×C=等 √5 X1=6 6’ =gas=分anaw台8uPB-Pw=方×平×香×5-号)=古 6 .16分 又6c=青S2A=号×号×AC×s0xPA=合所以6e=(品)：（信）=日 故当AAMN面积最小，三棱锥M-ABN体积与三棱锥P-ABC体积之比为行 17分 法二：(2)由(1)知PA、AC、BC两两垂直，以点A为坐标原点，过点A在平面ABC内作x轴∥BC, AC、AP所在直线为y轴和z轴建立如图空间直角坐标系A一xy2 则A(0,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),P(0,0,1),.6分 所以M0,3,),所以A店=(1,1,0)，Ad=(02),A=0,0,1 设分=(，，2为平面ABM的一个法向量，则正.元=0，即 x+y=0 AM:元=0' {2y+2z=0 令z=1,得c=1,y=-1,所以平面ABM的一个法向量元=(1，-1,1)..8分 显然AP=(0,0,1)为平面ABC的一个法向量，设平面ABM与平面ABC所成夹角 AP. 为0，则cos0= 1 A×时1×3 3 所以平面ABM与平面ABC所成夹角的余弦为 3 .10分 (3)若棱PB上存在一点N使Sw取最小，设PN=PB(0≤A≤1)， 则AN=AP+PN=AP+PB=(0,0,1)+A(1,1,-1)=(A,,1-), 又：AM方向的单位向量d= AM (03,2) AM V0+(合+() =兽 所以点N到直线AM的距离： d=-（(可=VR++1--[2+要1-=3x-2+3 :.当入= 2=上时，d取得最小值，此时Saw也取得最小值 2×3-3 ..14分 :M为PC的中点g-p=g-c=号-Ae,又：Sar取最小值时，P示=}P厉， 参考答案第3页，共4页 aw-号Be=号-e5aw-号收c 3 所以当△AMN面积最小，三棱锥M-ABN体积与三棱锥P-ABC体积之比为 1 3.17分 附：选填压轴题详细解析（第8、11、14题） 8.C解析：易知动直线l1:1-y-1-2=0恒过定点A(1,-2), 动直线l2:x+1y-21+3=0恒过点B(-3,2),于是AB=√(1+3)P+(-2-2)=4W2,故A选项正确 又A×1-1×1=0,所以l1⊥3，即对任意∈R都有∠APB=90恒成立， 所以|PA2+|PBP=|ABP=32,32=|PAP+PBP≥2 PAPB,.PAPB≤16， 当且仅当PA=PB=4时取等.故|PA·PB最大值为16.故B选项正确， 对于C,法1：用柯西不等式得(4PA+3PB)2≤(4+3)(IPAP+|PB)=800, 所以4PA+3PB的最大值为20√2.当且仅当PA:PB=4:3时取等，C选项错误 法2：设∠PBA=6,则|PB|=4W2cos0,lPA=4W2sin6,所以4PA+3PB=16W2sin6+12W2cos0= 20W2sim(g+tamp=星)所以PA+3P8的最大值为202.当且仅当PA到=9反，PA=号反时 5 5 取等，故C选项错误. 对于D,法1：PA+PB到2=32，V PA+PBI2 2 7 PA十P 1 PA十PB 法2：令|PA PB|=t,由B知0<t≤16，·|PA2+PB=32 -高t六-tA四-2 (IPAUPBI t2 f)=22艺=32户+2在∈0,161上单调递减， 2 0m6=2格16=子“☆+店≥分故D选喷正确.故不L确的为C 162 11.ABD 解析：事件A=L,3,5,7},事件B=5,6,7,8},事件C=2,3,5,7,P(A=(B)=PC)=号 选项A正确，PAnB)=}=PAP(B):P(AnB)=}=P(AP(B):选项B正确，PBnC=}= P(B)P(C):BnC={5,7}≠，不互斥：选项C错误，P(AUC)=5正确，但A∩C={2}≠，不互 8 斥：选项D正确，三者积等式成立：但PAnC)=S≠PAP(C,不两两独立， 14.解析：以O为原点，OB,OC分别为c,y轴正方向，竖直向上为z轴建系，由AC=2 得A(0,-1,0),C0,1,0),B(1,0,0),设二面角D-AC-B的大小为0，即∠BOD=6, 则Deo0,0.sim0,E为AD中点：-号四：F为nC中点： D 号31=0丽-9，且0i0证=o1 4 故COsLEOF= 0a.02=cog1=cos120=-7得c0则=0.÷0=90 OE OF 2 B 所以平面ABC⊥平面ADC。此时B(1,0,0),D(0,0,1),BD=√2 而AB=AD=CB=CD=√2，故△ABD与△CBD都是边长为√2的正三角形，取BD中点G, 连接AG、CG,则AG⊥BD、CG⊥BD,故∠AGC是二面角A-BD-C的平面角， AC=CC=,又A、C都在折痕AC上，AC=2不变，由余弦定理得cO∠ACC=号 3 参考答案第4页，共4页南充高中高2025级高二上学期期中考试 数学试题 (考试时间：120分钟总分：150分命审题人：陈昀陈勇唐树民) 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的， 1.从数据的产生方式看，下列数据一般是通过试验获得的是() A某自然保护区内野生大熊猫的数量 B.2024年南充市的降雨量 C.2025年全国交通事故发生数量 D.某种特种轮胎的配方 2.若直线1经过两点A(0,2),B(-1,2-V3),则直线1的倾斜角为() A.30 B.60 C.1209 D.150 3.下列随机试验中，属于古典概型的是() A测量一根绳子的长度 B.抛掷一枚质地均匀的骰子，观察朝上的点数 C.射击一次，观察是否命中目标D.在区间0,2]任取一个数，判断是否大于0.5 4如图，在空间平移△ABC到△4B,C,连接对应顶点.设AA=a，AB=b,AC=C,点G 为△4B,C,的重心，用基底{a,b,c}表示向量AG,则AG=() A1a+151: 一a+一b+一C B.a+b+C 333 22 →11÷ C.a+二b+二c D. 2÷,1,1÷ a+-b+-C 一月 一一·雷糕销量（快） 33 3 33 十二月 二月 咖啡销量（怀） 5.某连锁咖啡馆为分析经营状况，绘制了一年中各月日均咖啡 销售量与日均蛋糕销售量的雷达图.图中实线表示日均咖啡 销售量（单位：杯），虚线表示日均蛋糕销售量（单位：块）. 根据该雷达图，下面叙述不正确的是() A各月的日均蛋糕销售量都在50块以上 B.日均咖啡销售量不低于300杯的月份有6个 C.三月和十一月的日均咖啡销售量基本相同 八月 六月 D.八月的咖啡与蛋糕日均销售量之差比一月大 七月 6.如图，正方体ABCD-EFGH的棱长为1.若点P在正方体的内部，且满足 AP=2AB+1AD+A正，则点P到平面BED的距离为() H &⑤ C.v6 2 D. 6 3 D 6 A B 高2025级数学试题第1页，共4页 7.袋中有编号为1,2,3,4,5,6的六个大小、质地完全相同的小球.从中有放回地依次摸出2 个球，记录编号.甲表示事件“第一次摸出的球编号为2”，乙表示事件“第一次摸出的球编号为偶 数”，丙表示事件“两次摸出的球编号之和为偶数”，丁表示事件“两次摸出的球编号均为奇数”则 下列结论正确的是() A.甲与乙互斥 B.丙与丁相互独立C.乙包含于丙 D.甲与丙相互独立 8.设1∈R,过定点A的动直线l,:2x-y-几-2=0，与过定点B的动直线1，：x+2y-22+3=0 交于点P(P和A,B不重合)，则下列说法不正确的是() A.AB=4v2 B.APB的最大值为16 C.4PA+3PB吲的最大值为18√2 D.11、1 PA PB2 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知样本数据：1,3,7,8,10,11,11,13，下列说法正确的有( A.该样本的众数大于极差 B.该样本的第70百分位数是11 C.该样本的平均数小于中位数D.将样本中每个数据扩大为原来的2倍，则样本标准差不变 10.己知直线1：x+2cy-1=0和直线2：(3a-1)x-y-1=0,下列说法正确的是() A.若a=2,则m=(4,-1)是乙的一个方向向量 B.若l/1儿2，则a的取值唯一 c.若11h,则a=1或a= 1 D.当a<0时，1，始终不过第四象限 11.如图，一个正八面体的八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地 面接触的面上的数字，得到样本空间为2=1,2,3,4,5,6,7,8，记事件A=“得到的点数为奇 数”，记事件B=“得到的点数不小于5”，记事件C=“得到的点数为质数”，则下列结论 正确的是() A事件A与事件B相互独立，事件A与事件B也相互独立 B.事件B与事件C相互独立，且B,C不互斥 CP(4Uc)-8,且事件A与事件C互斥 D.PA∩B∩C)=P(AP(B)P(C),事件A,B,C不两两相互独立 高2025级数学试题第2页，共4页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.小明同学抛掷一枚质地均匀的硬币200次，结果102次正面朝上.如果再抛掷一次，则正面朝 上的概率为 13.己知直线/：3x-4y+6=0和直线：6x+y-3=0相互平行，M,N为动点，M∈1，N∈， 则MW的最小值为 14.如图，将边长为√2的正方形纸片ABCD沿对角线AC翻折得到空 间四边形ABCD,E,F分别为AD,BC的中点，O是原正方形 ABCD的中心。若折纸后∠EOF=120°，则二面角A-BD-C的 余弦值为」 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)如图，正方体ABCD-AB,C,D的棱长为1，E,F分别为AA,AB,的中点. (1)求证：EF/1平面BCD; D (2)求AA,与平面BCD所成角的正弦值. 16.(15分)某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，高二年级学生参加了这次竞赛.为了了 解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计，将成绩整理后，分为五组 [50,60)[60,70)[70,80),80,90),[90,100] (1)求图中a的值，并估计样本数据的众数： (2)从样本成绩在[60,70)[70,80)[80,90)三个小组内的学生中，采用比例分配的分层随机抽样方法 抽取10名学生，求这10名学生成绩的平均值（同一组内的数据用该组区间中点值代表）； (3)若用样本估计总体，将学生成绩由高到低排序，位次排在后60%的学生淘汰，位次排在前40% 的学生晋级下一轮竞赛，试估计晋级分数线： ◆频率/组距 0.040 0.016 0.008 0.004-十-十-+-+- 05060708090100成绩/分 高2025级数学试题第3页，共4页 17.(15分)已知两条直线2x-y+3=0与3x+2y+1=0的交点为A,圆x2+y2+2x+4y+3=0 的圆心为B (1)求过点A,且与直线2026x+3y-21=0在y轴上的截距相等的直线1的方程： (②)已知平面内的动点M与两个定点AB的距离的比为2，记动点M的轨迹为曲线C,求曲 线C的方程，并说明其形状. 18.(17分)某班级联欢活动举行摸球闯关计分游戏：箱子里装有大小和质地完全相同的2个红 球，3个白球.游戏分两关，第一关：参与同学从箱子里不放回地随机摸出两个球，如果摸出 的两个球颜色相同，则计1分，游戏结束；如果摸出的两个球颜色不同，不计分，进入第二 关：从剩余3个球中随机摸出一球，如果摸出的为白球，则计2分：如果摸出的为红球，则计 3分.己知每次摸出各个球可能性完全相等. (1)列出游戏第一关的样本空间2，并计算进入第二关的概率： (2)求参加游戏的同学计3分的概率； (3)甲、乙两位同学独立参加游戏，求甲、乙两人合计得4分的概率 19.(17分)如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,∠ACB=90° (1)若三棱锥的四个表面都是直角三角形，则此三棱锥称为“鳖臑”，判断三棱锥P一ABC是 否为“鳖臑”？ (2)若PA=AC=BC=1,M为PC的中点，求平面ABM与平面ABC所成夹角余弦值： (3)在(2)的条件下，棱PB上是否存在点N,使得△AMN面积最小，若存在，求此时三棱锥 M-ABN体积与三棱锥P-ABC体积之比；若不存在，说明理由. 高2025级数学试题第4页，共4页