四川省乐山市东辰外国语学校2026-2027学年高二上学期期中考试数学试题

乐山东辰高二2026年秋期中检测数学试卷 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 1.直线x-√3y+2026=0的倾斜角为( A.30° B.60° C.120° D.150° 【答案】A 【解析】设该直线的倾斜角为au,且0°≤α<180°， 由直线x-V3y+2025=0,可得直线的斜率为k= ,即tana= 所以a=30 3 3 2.已知复数z=（-1+2i)i,则z的共轭复数z=( ) A.-2+i B.-2-i C.-1+2i D.-1-2i 【答案】A 【解析】 【详解】z=（-1+2i1)i=-2-i,所以其共轭复数为：z=-2+i. 3.在空间直角坐标系中，已知点A(1,1,1),点P(3,1,-5)关于坐标平面Oxy对称的点为B,则 AB=() A.6 B.25 c.5 D.2√6 【答案】B 【解析】P(3,1-5)关于坐标平面Oy对称的点为B(3,1,5) 由A(1,11)可得4B=V3-12+(1-12+5-}=V4+0+16=25. 4.若点(1,2)在圆x2+y2+x-y+a=0的外部，则实数a的取值范围是() A.（-4,+∞） c.(47) D.（-4,2) 【答案】C 【解折】指国+少-y+a=0化成标准方程，可得(x++-习-名a。 由r-a>0,解得a<兮因为点(2)在圆r+y户+-y4a=0的外富， 所以1P+2+1-2+a>0,解得a>4.综上可得4<a<2 1 5.如图，空间四边形OABC中，OA=a,OB=b,OC=c,点M在OA上，OM=2MA,点N 为BC中点，则MN等于() M 12,,1- 2-1,1→ A. -a--b+-C B.- -a+-b+-c 232 322 1-,1z1- 22,1- C.2a+26-2 C 3a+56-29 D. 【答案】B 【解析】OM=2MM,点N为BC中点，故MN=M0+ON=-2OA+OB+oC, 3 2 又oi=a0i-6:00-6,故amw=-号a++ 故选：B 6.在直三棱柱ABC-AB,C中，D,F分别是棱A,B,AC的中点，且BC=AC=CC.若 ∠BCA=90°，则BD与FA所成角的余弦值是() A.- √30 B.、5 C. V30 D.5 10 5 10 5 【答案】C 【解析】在直三棱柱ABC-AB,C中，CC,⊥平面ABC,BC,CAC平面ABC, 所以CC⊥BC,CC⊥AC且∠BCA=90°， 所以如图，以C为项点建立空间直角坐标系C-z, 设BC=AC=CC=2, 所以A2,0,0),B(0,-2,0),A(2,0,2),B(0,-2,2),C(0,0,2), 17 所以D(1,-1,2),E(1,0,2) 所以BD=(11,2),AF=(-1,0,2), 设BD,与FA所成角为a,则cosa=cos BD,AE BD·AF V30 BD AF 6xV5=10 B D 7.已知，分别为椭圆1@b0的左、右焦点，B叶2，过椭图左焦点且斜率为的直 线交椭圆于A,B两点，若S△AF24,则AB等于() A.8 B.6 C.5 D86 3 答案A 解析 S△ABF2-4,C=1, iX2cXbAY8-4, ∴.y4-y=4 “直线过椭圆左焦点且斜率为 .'.B= 1 VA-VB-8. 8.如图，⊙O的半径等于2，弦BC平行于x轴，将劣弧BC沿弦BC对称，恰好经过原点 O,此时直线y=-一x+m与这两段弧有4个交点，则m的取值可能是() y个 B.V5-1 C. 5 D.2W2-2 2 答案A 【详解】因为圆O的劣弧BC关于弦BC对称的图形恰好经过坐标原点O, 所以B-V3,-1,C(V5,-1: 如图所示，当直线过CV3,-1时，将CV3,-1代入y=-x+m中， 故-1=-5+m,解得m=-1+3, 由对称性可知，圆弧BOC对应的圆的圆心在y轴上，设为T(O,), 则0T=TC,即v02+?-0-3++1,解得1=-2，且劣弧BC对应的圆的半径为2， 故劣弧BC对应的圆方程为x2+(y+2)2=4,当直线1与劣弧BC相切时，由 -2-m=2, 2 解得m=2W2-2（m=-22-2舍)，结合图形可知，当-1+V3<m<2W2-2时， 直线)=X+m与两段弧有4个交点，可排除B、D。由、5-1，可排除C, 由-1+5<<25-2，故m的取值可佳是 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.已知直线l:m+4y-3=0,2:x+(a-3)y+2=0,则下列说法正确的是() A.I可能垂直于x轴 B.I,可能垂直于x轴 C.若a=-1,则4l12D.若4l12,则a=-1 【答案】BC 【解析】对于A,因为直线l:x+4y-3=0,y的系数不为0，所以1不垂直于x轴，A错误： 对于B,当a=3时，x=-2,与x轴垂直，B正确； 17 对于C,当a=-1时，1：-x+4y-3=0,/2:x-4y+2=0 因为直线！，的斜率均为，且不重合，所以两直线平行，C正确： 4 对于D,因为l/1L2,所以a(a-3)=4,解得a=4或a=-1 当a=-1时，由C选项知两直线是平行的； 当a=4时，1：4x+4y-3=0,2:x+y+2=0,斜率均为-1，且两直线不重合，所以两直线平行. 故l/1l时a=-1或a=4,D错误；故选：BC 10.已知椭圆士+上=1的左、右焦点分别为R,人，点P在椭圆上，且不与椭圆的左、右顶 42 点重合，则下列关于△PFE的说法正确的有() A.当∠FPR=60时，△PF5的面积为25 B.△PFF的周长为4+2√2 C.当∠PFF=90°时，△PFE中PE=2 D.椭圆上有且仅有6个点P,使得△PFF,为直角三角形 【答案】ABD 【解析】根据椭圆方程可得a=2,b=√2，c=√2.对于A,当∠FPE=60时，设PF=m, PF,=n, 4c=8=m+-2 m60所以(m+m-3n=8,m=了，则aPF5的面积 m+n=2a=4 8 则有 s=msin60°=25 故A正确；对于B,△PFE的周长为 3 x=-V2 P℉+PE+F,E=2a+2c=4+2W2,故B正确；对于C,当∠PFE=90°时，由 =1 4 解得y=±1， △PFF的边PFy=1,故C错误；对于D,设PF=m,PF,=n, m+n=2a=4 当∠PF=90时，则有 m2+=(2c=g解得m=n=2,此时点P为上下顶点， 当∠PFE=90时，有两个点，当∠PFF=90时，有两个点， 所以一共有6个点P,使得△PFF为直角三角形，故D正确 11.如图，正方体ABCD-ABCD的棱长为1，E是DD的中点，则() A.BC⊥BD B.三棱锥C-B,CE的体积为 6 C.若P在底面ABCD内（包含边界）运动，且满足DP=1,则动点P的轨迹的长度为T D.由B、C、E三点确定的平面与正方体相交形成的截面周长为35+5 2 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A选项，连接BC,可证得B,C⊥平面CD,B,从而B,C⊥BD,A选项正确：对 于B选项，根据几何体特征，三棱锥C-B,CE的体积和三棱锥B,-CCE的体积相等，根据三 棱锥体积公式即可求解；对于C选项，根据题意，可得动点P的轨迹为以D为圆心，以DP=1 为半径的四分之一圆，进而可求得其轨迹长度；对于D选项，作图可得，过B、C、E三点确定 的平面与正方体相交形成的截面为平面BCEF,根据几何体特征，分别求得BC,EF, BF,CE,相加即可得其周长 【详解】对于A选项，连接BC,在正方体ABCD-AB,CD,中，CD⊥平面BCCB, 又B,CC平面BCCB,所以CD⊥B,C, 又B,C、BC为正方形BCCB,对角线，所以B,C⊥BC, 又C,DBC,为平面CDB内的两条相交直线，所以BC⊥平面CDB, 3/7 又BDC平面CD,B,所以BC⊥BD,故A正确： 对于B选项，在正方体ABCD-AB,CD中，CB,⊥平面DCCD, 1 即CB⊥平面CC,E,所以三棱锥C-B,CE的体积VG-ACs=VA-GCs S.CCE'BC 3 又BG=l,scm号ccD-x1- 2 所以%=久a写aBG写1名改3正瑞： 对于C选项，点P在底面ABCD内（包含边界）运动，且满足DP=1,所以动点P的轨迹为 以D为圆心，以DP=1为半径的四分之-圆，所以其轨迹的长度为好2：DP-,故C错 2 误： 对于D,取AD的中点F,连接EF,BF,并延长BF与CE的延长线交于点G, 则过B、C、E三点确定的平面与正方体相交形成的截面为平面B,CEF, 因为正方体ABCD-AB,CD,的棱长为1，E,F分别为DDAD,的中点， 所以可得BC=5,F=,AF=CE=5 所以四边形BCEF的周长为5+3V巨，故D正确 G 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.两直线l:3x-y+4=0与l,:6x-2y+3=0之间的距离为 【答案】0 【解析】两直线1：3x-y+4=0与l2:6x-2y+3=0之间的距离， 即两条直线4：6x-2y+8=0与：6x-2y+3=0之间的距离，为8-3-10 √36+44 13.某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5，现用分层抽样 方法，抽出一个容量为n的样本，样本中A型号的产品有16件，那么此样本的容量n 【解折1由思点，得m×7子气=16，解得n=80, 2+3+5 4已知椭圆℃名+发1(a>b>0)的左、石焦点分别为，B,长轴长为30，过点F且斜翔 MF2 7 为3的直线与椭圆C交于点M(位于x轴上方)，且 则离心率e= 4 【答案】或 3 5 【解行1由随画C号+茶-a>60长转长为0得2a0,a=15,锅亮心速 e=-; a 过R的直线斜率为5，且M位于x辅上方，放∠Mrg=子，因此cos∠MFK= 设焦距|FF=2c,由 根据椭圆定义MHM=2a=30,得ME=30-7c 在aMB中由余弦定理知：M=M+F-2MHF2 即[？cj-（30-49+2e-230-92e3整理得-2c+120=0· 4/7 解得c=10或c=12,均满足题意，当c=10时，e=10-2 当c=12时，e= ·124 153: 155 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知d=(3,2,1),b=(2,-1,2) (1)求(a-b)(a+2b): (2)若(ka+b)16,求实数k的值. 【解析】 【小问1详解】 因为=(3,2,1)，b=(2,-1,2): 则ld=V32+22+1P=4,l=22+(-12+22=3,a.6=6-2+2=6 所以（后-6列(a+2万）=a+a.6-26-14+6-2x9=2 【小问2详解】 若(ka+6)1b,则(a+6)6=kā.6+62=0， 即6k+9=0,解得k=-3 16.(15分) △ABC中，己知A(-2,1),B(4,3),点M(3,1)为边AC的中点. (I)求BC边上的高AD所在直线的一般式方程： (2)求过点C且在两坐标轴上截距相等的直线方程. 3=-2+ 【解析】(1)因为A(-2,1),点M(3,1)为边AC的中点，所以有 2 1+yc 可得C(8,), 1= 2 又因为B43小，片以：日名- 因为AD是BC边上的高， 所以有ac=-小，即-Xn=-1,解得kn=2,5分) 所以高AD所在直线的方程为y-1=2(x+2),即2x-y+5=0.(6分) (2)由(1)知C(8,1), ①当所求直线过坐标原点时，设其方程为y=:, 因为该直线过点C,所以有1=8，解得k-令则所求直线方程为y-日：(9分) 1 ②当所求直线不过坐标原点时，设其方程为+'=1(a≠0)， aa 因为该直线过点C,所以有8+1=1，解得a=9,则所求直线方程为x+y-9=0.(12分) aa 1 综上，过点C且在两坐标轴上截距相等的直线方程为y=。x或x+y-9=0.(13分) 8 17.(15分) 已知圆C:(x-1)2+y-2)2=4. (1)若直线y=x+4被圆C截得的弦长为2√3，求a的值： (2)求过点M(3,)的圆C的切线方程. 【解析】(1)设圆心C到直线y=x+4即ax-y+4=0的距离为d。,那么 弦长=24-d=23,解得，d=1,(4分) 根据点到直线的距离公式可知4。=一=，解得，α=-马 Va2+1 .(7分) （2)当直线斜率不存在时，方程为x=3,圆心到直线的距离d=3-1=2=r,与圆相切；(9 分) 当直线斜率存在时，设方程为y-1=k(x-3)即x-y-3k+1=0,那么 圆心到直线距离d==2,解得，k,(12分) Vk2+1 此时切线方程为3x-4y-5=0; 综上，过点M(3,1)的圆C的切线方程为x=3或3x-4y-5=0.(15分) 18.(17分)如图，在四棱锥P-ABCD中，△ADC与△BAC均为等腰直角三角形， ∠ADC=90°，∠BAC=90°，E为BC的中点.PA⊥平面ABCD,PA=AC,AD=CD=2. 5/7 G (1)若F,G分别为PD,PE的中点，求证：FG/1平面PAB: (2)求点E到平面PCD的距离： (③)棱PB上是否存在一点Q使得直线DQ与面PCD所成角的正弦值为？，若存在，求出Q点的 3 位置；若不存在，请说明理由. (1)证明：取PA的中点N,PB的中点M,连接FN、MN,GM, :△ACD与△ABC为等腰直角三角形且∠ADC=90°，∠BAC=90°， AD=CD=2,.AC=AB=22...BC=4. 东、P分别为BC、PD的中点：FN-=AD=lGM=BE=l,且N1AD,GM1BC :∠DAC=45°，∠ACB=45°，.AD∥BC .FN∥GM,∴.四边形FGMN为平行四边形， .∴FG∥MN ,FGI平面PAB,MNC平面PAB .FG∥平面PAB; (2).PA⊥平面ABCD,以A为原点，AC、AB、AP所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示 的空间直角坐标系， 因为AD=CD=2,则B0,22,0,C(22,0,0,D(V2,-2,0,P0,0,22),E2,N2,0, ∴.DE=(0,22,0,Dc=(2,2,0,CP=(-22,0,22) 设平面PCD的一个法向量为n=(x,y,z), [DC.i=0,「N2x+V2y=0 CPi=0’-22x+22z=0 取x=1,∴.y=-1,z=1,.n=(1,-1,1) 点E到平面PCD的距离为： 25x-)上26 VP+(-1)2+12 3 (3)存在：Q点为棱PB的中点.理由如下： 由(2)知PB=(0,2√2，-2W2), 平面PCD的一个法向量为i=(1,-1,1) 设P四=元PB(2∈[0，D,则9点坐标为：(0,2√2元，2√2-2W22), 故D0=(-V2,221+V2,2√2-2√2)， 设直线DQ与面PCD所成角为O, 则sin0=eos(Dg, Do.n 4V2入 -2 Dg同 V3.V1622-81+12 3 解得元=2放PQ=P店 故棱PB上存在一点O使得直线DQ与面PCD所成角的正弦值为Y 此时2点为棱PB的中点. 3 19.已知椭圆C:二+1（α>b>0,连接椭圆上任意两点的线段叫作椭圆的弦，过椭圆中心 的弦叫做椭圆的直径.若椭圆的两直径的斜率之积为- ?,则称这两直径为椭圆的共轭直径特别 地，若一条直径所在的斜率为0，另一条直径的斜率不存在时，也称这两直径为共轭直径.现己 知椭圆E: -=1 43 10已知点4引81-到 为椭圆E上两定点，求AB的共轭直径的端点坐标。 (2)过点（V3,0)作直线1与椭圆E交于A、B,两点，直线40与椭圆E的另一个交点为4，直 /7 线B,O与椭圆E的另一个交点为B,.当△AOB,的面积最大时，直径AA,与直径BB2是否共轭，请 说明理由。 (3)设CD和N为椭圆E的一对共轭直径，且线段CM的中点为T.己知点P满足： OP=2OT，若点P在椭圆E的外部，求1的取值范围. )解：()由题设知细：设所求直线方程为：y=:,则kk如三 2 1 故共轭直径所在直线方程为：y=- IE- -x 联立椭圆与y=- x,即 x2,2 可得：x2=3,x=V3 =1 43 3 故端点坐标为 和 2 3,3 2 (2)由题设知，1不与x轴重合，故设1：x=-√3，A(5,乃)、B(5,) x=m-3 联立方程： 2+y2-1→(3n+4)y2-65mv-3=0, =1 、43 6√3m 则%+y=3r+4 -3 12-12m2 ，y2= 3m2+4’5= 3m2+4 s-小546rvm 6 6 ≤ =5 3m2+4V3m2+1+ 3 2W3 2 3m+4 √3m2+1 当且仪当m2+1-3,即m-专时取等号， 3b2 此时k44k8,=2=12-124·故直径44与直径BB共轭 (3)设点C(,),M(5,), 当CD不与坐标轴重合时，设1m:y=x,则a:y= x. 4k 7 [y= 联立 12 212k2 →-3+4较f3计4 16k2 同理可得： 3+4k2,=、9 3+4k2 由椭圆的对称性，不妨设C在第一象限，则M必在第二象限或第四象限， 则 12 12k2 3+4k’片= V3+4k2 若M在第二象限，则x2=- 16k2 9 3+4报’为-V3+4收· 12 16 12k2 从而T V3+42 V3+4k2 3+4+3+4 2 2 12 16k2 122 9 则P V3+42-V3+4 -元， 3+4+3+4报. 3 2 2 2 12 16k2 12k2 9 又P在椭圆外，则3 V3+4 V3+4 +4 V3+4报+V3+4k元 >12, 2 化简可得：2>2，即1>√2，或1<-√2 若M在第四象限，同理可得12>2，即1>√2，或1<-√2 当c0与描直或里合时，由椭3对悠作，不就版c2,0M@间，则P2受 又P在椭圆外，则32+43>12→>2，即2>√2，或1<-V2, 4 17乐山东辰高二2026年秋期中检测数学试卷 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的， 1.直线x-√3y+2026=0的倾斜角为( ) A.30 B.60° C.120° D.150° 2.已知复数z=（-1+2i)i,则z的共轭复数z=() A-2+i B.-2-i C.-1+2i D.-1-2i 3.在空间直角坐标系中，已知点A(1,1,1),点P(3,1,-5)关于坐标平面Oy对称的点为B,则AB= ( ) A.6 B.25 c.5 D.2√6 4.若点(1,2)在圆x2+y2+x-y+a=0的外部，则实数a的取值范围是( A.（-4,too) D.（-4,2) 5.如图，空间四边形OABC中，OA=a,OB=b,OC=c,点M在OA上，OM=2MA,点N为 BC中点，则MN等于( ) A 1a-26+1c 2-,1,1 B.- -a+-b+-C 232 322 C.6- 2-,21 D.-3a+b-29 32 6.在直三棱柱ABC-ABC中，D,F分别是棱AB,AC的中点，且BC=AC=CC.若 ∠BCA=90°，则BD与FA所成角的余弦值是( ) A.-30 B.-5 C.30 D.15 10 5 10 5 又、已知乃，B分别为椭圆乙二1（®b0)的左、右焦点，=2，过椭圆左焦点且斜率为 3的 直线交椭圆于A,B两点，若S△ABF,=4,则|AB等于() A8 B.6 C.5 D 3 8.如图，⊙O的半径等于2，弦BC平行于x轴，将劣弧BC沿弦BC对称，恰好经过原点O, 此时直线y=一x+m与这两段弧有4个交点，则m的取值可能是( ) 5 1 B.3-1 C.5 D.2N2-2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.己知直线4：ac+4y-3=0,4:x+(a-3)y+2=0,则下列说法正确的是( A.I可能垂直于x轴 B.可能垂直于x轴 C.若a=-1,则4l2 D.若1112，则a=-1 10.已知椭圆女+上-1的左、右焦点分别为乃，万，点P在椭圆上，且不与椭圆的左、右顶点 42 重合，则下列关于△PFF的说法正确的有( A.当∠FP5=60时，△PF5的面积为2 3 B.△PFF的周长为4+2√2 C.当∠PFF=90°时，△PFE中|P℉=2 D.椭圆上有且仅有6个点P,使得△PFF为直角三角形 11.如图，正方体ABCD-ABCD的棱长为1，E是DD的中点，则() AB,C⊥BD B三棱锥C-BCE的体积为G C.若P在底面ABCD内（包含边界）运动，且满足DP=1,则动点P的轨迹的长度为元 D由R、C、E三点确定的平面与正方体相交形成的截面周长为35+5 2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.两直线1：3x-y+4=0与l2:6x-2y+3=0之间的距离为 13.某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5，现用分层抽样 方法，抽出一个容量为n的样本，样本中A型号的产品有16件，那么此样本的容量n_一一 y 14.己知椭圆C,+(Q>b>0)的左、右焦点分别为，乃，长轴长为30，过点F且斜塑 为√3的直线与椭圆C交于点M(位于x轴上方)，且 MF 7 EE8 则离心率e= 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)己知à=(3,2,1)，b=(2,-1,2) (1)求(a-b(a+2b): (2)若(ka+b)16,求实数k的值. 16.(15分)△ABC中，已知A(-2,1),B(4,3),点M(3,1)为边AC的中点. (1)求BC边上的高AD所在直线的一般式方程； (2)求过点C且在两坐标轴上截距相等的直线方程. 17.（15分)已知圆C:(x-1)2+0y-2)2=4. (1)若直线y=x+4被圆C截得的弦长为2√3，求a的值： (2)求过点M(3,I)的圆C的切线方程 18.(17分)如图，在四棱锥P-ABCD中，△ADC与△BAC均为等腰直角三角形， ∠ADC=90°，∠BAC=90°，E为BC的中点.PA⊥平面ABCD,PA=AC,AD=CD=2. (1)若F,G分别为PD,PE的中点，求证：FG//平面PAB: (2)求点E到平面PCD的距离； (③)棱PB上是否存在一点Q使得直线Dg与面PCD所成角的正弦值为V 若存在，求出2点 3 的位置；若不存在，请说明理由。 2立分)已知椭圆C:等+Q>6>0,连接椭圆上任意两点的线段叫作椭圆的弦， b2 椭圆中心的弦叫做椭圆的直径.若椭圆的两直径的斜率之积为一 ,则称这两直径为椭圆的共轭 直径.特别地，若一条直径所在的斜率为0，另一条直径的斜率不存在时，也称这两直径为共轭直 径.现已知椭圆E: (已知点4〔》81 为椭圆E上两定点，求AB的共轭直径的端点坐标。 (2)过点(-√3,0)作直线1与椭圆E交于4、B,两点，直线40与椭圆E的另一个交点为4，直 线B,O与椭圆E的另一个交点为B2.当△AOB的面积最大时，直径AA,与直径BB2是否共轭，请 说明理由， (3)设CD和MW为椭圆E的一对共轭直径，且线段CM的中点为T.己知点P满足：OP=1OT, 若点P在椭圆E的外部，求入的取值范围。