四川省自贡市第一中学校2026-2027学年高二上学期11月期中数学试题

自贡一中20262027学年度上学期高2028届期中考试 数学试题 卷！（选择题共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一 个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上， 1.直线x-√3y+1=0的倾斜角是（) A.30° B.60° C.120° D.150° 2.已知à=（2，-1,3)，b=（-4,2,-x),且a/b,则x=（) A.-6 B.5 C.4 D.6 已知点(2)在圆C:X+y-ax-2y+a=0外，则实数a的取值范围为( A.aa>4 B.{ala>-4} C.{a-4<a<1或a>4} D.{a-4<a<-1或a>4 4.已知直线11：(a+2)x-2y-1=0,12:4x-ay+a-3=0,则11/l2”的充要条件是 () A.a=2 B.a=4 C.a=2或-4 D.a=-2或4 5.如图，在直三棱柱ABC-ABC中，D为棱AB的中点，AC=2,CC=BC=1, C AC⊥BC,则异面直线CD与BC所成角的余弦值为() D A.V B.V3 6 3 cv D 4 3 6.一个袋子中有大小和质地相同的4个球，分别标有数字1,2,3,4，从中不放回地依次随 机取出两个球事件A=“第一次取出的球的数字是1”，事件B=“第二次取出的球的数字是 2',事件C=“两次取出的球的数字之和是4，则（)】 A.A与B相互独立 B.A与C相互独立 C.P(C)= D.B与C互斥 高2028届第3学期数学期中考试第1页共4页 7.已知圆O:x2+y2=4,直线2x-y+a=0上存在点P,过点P作圆O的两条切线，切 点分别为A,B,使得zAPB=60,则a的取值范围为（) A.[-4,4] B.(-o,4] c.[-4v5,45] D.[-4y5,+o) 8.设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点 P(x,y),则PA+PB的取值范围是（) A.[5,25] B.【V10,2V5] c.[10,45] D.[2V5,4V5] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知向量ā=(1,1,1)，b=（-1,0,2),则下列说法正确的是（) A.a+b=(0,l,3) B日=3 C.a.b=2 D.cos(a,b)= 15 15 10.下列四个命题中正确的是（) A.向量m=(3,-2)是直线2x+3y+1=0的一个方向向量 B.直线2x-y+1=0与直线4x-2y-1=0之间的距离为35 10 C.若直线x-（a+1)y-1=0与直线x-ay+2=0相互垂直，则实数a的值为-2 D.直线y=√3xsin0-1(0∈R)的倾斜角的取值范围是 [ 11.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4cm,BC=CC1=2cm,E,F分别为AB, CD的中点，P是线段A1B1(不含端点)上的任意一点，下述说法正确的是() D A.存在点P,使直线PE与平面PDF所成角取得最大值 B.存在点P,使直线PD与平面PEB所成角取得最大值 C.存在点P,使平面PDE与平面PFB的夹角取得最大值 D.存在点P,使平面PDF与平面PEB的夹角取得最大值 高2028届第3学期数学期中考试第2页共4页 卷川（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分： 12.若过点4-L,0,B(2,m的直线的斜率为；，则m=_ 13.我市男子乒乓球队为备战下届市运会，在某训练基地进行封闭时训练，甲、乙两队队员 进行对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢两个球者获胜.通过分析甲、乙过去对抗赛的数据 知，甲发球甲赢的概率为了，乙发球甲察的概率为4，不同球的结果互不影响.已知某局甲 先发球，该局打四个球，甲赢的概率是 √4-x2,x≤2 14.已知函数f(x) 若关于x的方程f(x)-kx-2k-1=0有三个不相 等的实数根，则k的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.(13分)已知三角形的三个J顶点A(-2,1),B(-3,3),C(0,4). (①)求BC边所在直线的方程； (2)求BC边上的高所在直线方程； (3)求BC边的中垂线所在直线方程 16.(15分)一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有1个数字，数字分别是1,2,3,4 现从盒子中随机抽取卡片， (1)若一次抽取2张卡片，求2张卡片上的数字之和大于5的概率； (2)若第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片，求至少有一次抽到数字3的概率， 17.(15分)如图，在四棱锥P一ABCD中，平面PDC⊥平面ABCD,AD⊥DC,AB/DC, AB=CD=AD=l,M为棱PC的中点 (I)证明：BM∥平面PAD; (2)若PC=√5，PD=1,求平面PDM与平面BDM所角的余弦值； D 高2028届第3学期数学期中考试第3页共4页 18.17分)已知圆C:x2+y2-2x+6y+6=0. (1)若A(3,1),求当Q在圆C上运动时线段AQ的中点E轨迹方程并说明轨迹图形： (2)点P为直线l,:x-y+2=0上的动点，点M为圆C上的动点， ①若直线PM与圆C相切，求PM的最小值； ②若O为坐标原点，求PM+PO的最小值， 19.(I7分)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD,AB⊥AD, AB+AD=4,CD=N2,∠PAD=120°，∠ADC=45°. D A B (1)求证：平面PAB⊥平面PAD; (2)设AB=AP ①若直线PB与平面PCD所成角的正弦值为V330 求线段AB的长 55 ②在线段AD上是否存在点G,使得点P,C,D在以G为球心的球上？若存在，求线 段AB的长；若不存在，说明理由. 高2028届第3学期数学期中考试第4页共4页 自贡一中2026-2027学年度上学期高2028届期中考试 数学试题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】A 2. 已知，，且，则（ ） A. -6 B. 5 C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量共线的坐标公式计算即得. 【详解】由可得，解得. 故选：D. 3. 已知点在圆C：外，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据一般方程的定义，以及点与圆的位置关系，即可判断选项. 【详解】由题意得，解得或. 故选：C 4.已知直线，，则“”的充要条件是（ ） A. B. C.或 D.或 【答案】B 【解析】由得，整理得，解得或. 当时，，，两直线重合，故舍去. 当时，，，满足. 由此可得”“的充要条件是. 故选：B. 5. 如图，在直三棱柱中，D为棱的中点，，，，则异面直线CD与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以C为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.运用异面直线的空间向量求解方法，可求得答案. 【详解】解：以C为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 由已知可得，，，，则，， 所以. 又因为异面直线所成的角的范围为，所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：A. 6.一个袋子中有大小和质地相同的个球，分别标有数字，，，，从中不放回地依次随机取出两个球.事件“第一次取出的球的数字是”，事件“第二次取出的球的数字是”，事件“两次取出的球的数字之和是”，则（ ） A.与相互独立 B.与相互独立 C. D.与互斥 【答案】D 【解析】样本空间，共包含个等可能的基本事件. 事件包含个样本点， 故，事件包含个样本点，故，事件仅含样本点，故. 由，得与不相互独立，A错误，事件包含个样本点， 故，C错误. 事件仅含样本点，故， 由，得与不相互独立，B错误. ，故事件与没有公共样本点，故与互斥，D正确. 故选：D 7.已知圆，直线上存在点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，使得，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由切线性质得，，，故. 圆的半径，可得，即点的轨迹是以为圆心，为半径的圆. 直线上存在满足条件的点，故直线与点的轨迹圆有公共点，圆心到直线的距离，化简得，即. 故选：C. 8. 设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：易得.设，则消去得：，所以点P在以AB为直径的圆上，，所以，令，则 .因为，所以.所以，.选B. 法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以，点P的轨迹是以AB为直径的圆.以下同法一. 【考点定位】1、直线与圆；2、三角代换. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量的坐标运算逐项计算并判断. 【详解】对于A，向量，，则，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，由数量积的定义得，C错误； 对于D，，所以，D正确. 故选：AD. 10. 下列四个命题中正确的是（ ） A. 向量是直线的一个方向向量 B. 直线与直线之间的距离为 C.若直线与直线相互垂直，则实数的值为 D. 直线的倾斜角的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出直线斜率判断A；利用垂直关系列式求解判断B；求出平行线间距离判断C；求出斜率范围，进而求出倾斜角范围判断D. 【详解】对于A，直线的斜率为，它的一个方向向量为，即，A正确； 对于，直线B，即，所求距离为，B正确； 对于C，由直线与直线相互垂直， 得，解得或，C错误； 对于D，直线的斜率， 设直线的倾斜角为，则，解得或，D正确. 11.在长方体中，，，，分别为，的中点，是线段（不含端点）上的任意一点，下述说法正确的是（） A.存在点，使直线与平面所成角取得最大值 B.存在点，使直线与平面所成角取得最大值 C.存在点，使平面与平面的夹角取得最大值 D.存在点，使平面与平面的夹角取得最大值 【答案】ACD 【解析】以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系. ，，，，，. 设，. ，，，. ，. 取平面的一个法向量为.设平面的法向量为. 由得.取. 设平面的法向量为.由.取. 设平面的法向量为. 由.取. 对于选项A，设直线与平面所成角为. . 当时，函数单调递增.当时，函数单调递减. 故当，即为中点时，取得最大值. 故A正确. 对于选项B，设直线与平面所成角为. . 因为时，函数单调递减，不存在最大值. 故B错误. 对于选项C，设平面与平面的夹角为. . 令，. . . . . 由此可得. ，得. 在单调递减，在单调递增. 在单调递增. 由复合函数单调性得，在单调递减，在单调递增. 故在时取最小值，此时取得最大值. 故C正确. 对于选项D，设平面与平面的夹角为. .即，为定值. 故平面与平面的夹角恒为，存在点取得最大值. 故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．若过点，的直线的斜率为，则 . 【答案】1 13. 我市男子乒乓球队为备战下届市运会，在某训练基地进行封闭时训练，甲、乙两队队员进行对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢两个球者获胜．通过分析甲、乙过去对抗赛的数据知，甲发球甲赢的概率为，乙发球甲赢的概率为，不同球的结果互不影响．已知某局甲先发球，该局打四个球，甲赢的概率是 . 【答案】 【解析】 【分析】由于连胜两局者赢，则可写出四局的结果，计算即可. 【详解】由于连胜两局者赢，甲先发球可分为： 该局：第一个球甲赢、第二个球乙赢、第三个球甲赢、第四个球甲赢， 则概率为； 故答案为： 14. 已知函数，若关于的方程有三个不相等的实数根，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】将问题转化为的图象与直线有三个不同交点，作出图象，结合直线过定点，求解即可. 【详解】解：因为， 作出函数的图象，如图所示： 因为有三个不相等的实数根， 即有三个不相等的实数根， 所以的图象与直线有三个不同交点， 又因为直线过定点， 当直线与半圆相切时， 则有，解得， 此时的图象与直线只有两个不同交点， 当直线平行于直线时，， 此时直线与的图象有三个交点，满足题意； 所以当时， 的图象与直线有三个不同交点，满足题意； 当时，如图所示： 此时的图象与直线有三个不同交点，满足题意； 当直线过点时，， 此时的图象与直线只有两个不同交点， 由图可知当时， 的图象与直线有三个不同交点，满足题意； 综上，. 故答案为： 【点睛】方法点睛：根据函数零点个数求参数的范围时，常转化为函数与直线的交点个数，作出图象，结合图象求解即可. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．已知三角形的三个顶点. (1)求BC边所在直线的方程； (2)求BC边上的高所在直线方程； (3)求BC边的中垂线所在直线方程. 【答案】(1)； (2)； (3). 【详解】（1）利用点斜式可得直线方程为， 整理可得； （2）由， 所以BC边上的高所在直线的斜率， 所以BC边上的高所在直线方程为， 整理可得； （3）由中点为， 由（2）知BC边的垂直平分线的斜率， 所以BC边的垂直平分线为， 整理可得. 16．一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有1个数字，数字分别是1,2,3,4.现从盒子中随机抽取卡片． (1)若一次抽取2张卡片，求2张卡片上的数字之和大于5的概率； (2)若第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片，求至少有一次抽到数字3的概率． 解：(1)设A表示事件“抽取的2张卡片上的数字之和大于5”，任取2张卡片，2张卡片上的数字的全部可能结果是(1,2,)，(1,3,)，(1,4)，（2,3），（2，4），（3,4）共6个．其中数字之和大于5的是(2,4)，(3,4)，共2个，故. (2)设B表示事件“至少有一次抽到数字3”，第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片的全部可能结果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．至少有一次抽到数字3的结果有(1,3)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，共7个．故所求事件的概率为P(B)＝. 17．如图，在四棱锥P—ABCD中，平面平面ABCD，，，M为棱PC的中点． (1)证明：平面PAD； (2)若，求所成夹角的余弦值； 【答案】(1)取的中点，连接，，如图所示： 为棱的中点， ，，，， ，， 四边形是平行四边形，， 又平面，平面， 平面； (2) 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，取的中点，连接，，证明四边形是平行四边形，可得，即可证明结论； （2）根据，，，证明，，由，建立空间直角坐标系，写出点的坐标及向量的坐标，求出平面的法向量，即可求出结果； 【详解】（1）略 （2），，， ，， 平面平面，平面平面，平面， 平面， 又，平面，，，由， 以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图： 则，，，，，， 所以，，， 设平面BDM的法向量为，所以即 令，则，．所以平面BDM的一个法向量为， 易知为平面PDM的一个法向量，设两平面的夹角为 所以， 所以求所成夹角的余弦值为. 18. 已知圆． （1）若,求当在圆上运动时线段的中点轨迹方程并说明轨迹图形； （2）点为直线上的动点，点为圆上的动点， ①若直线与圆相切，求的最小值； ②若为坐标原点，求的最小值． 【答案】 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据给定条件确定圆心到直线的距离范围，再按直线斜率是否存在分类，结合点到直线距离公式求解. （2）①利用切线长定理及点到直线距离公式求出最小值；②利用对称思想，结合线段和的最小值问题求解. 【小问1详解】 设 圆，又在圆C上， 所以 ，所以 所以 【小问2详解】 ①由直线与圆C相切，得，则当最小时，最小， 当且仅当与直线垂直时，最小值等于点C到直线的距离， 即，所以． ②记关于直线的对称点为，由，解得，即， 因此， 当且仅当点共线时，最小， 所以. 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，. （1）求证：平面平面； （2）设. ①若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长. ②在线段上是否存在点，使得点，，在以为球心的球上？若存在，求线段的长；若不存在，说明理由. 【答案】（1） 在四棱锥中，平面平面，， 平面，平面平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面； （2）①； ② 如图，假设在线段上存在点，使得点，，在以为球心的球上， 由，得，所以， 所以， 又得，，所以，， 由得，即， 亦即（*）， 因为，所以方程（*）无实数解， 所以线段上不存在点，使得点，，在以为球心的球上. 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质定理得平面，然后根据面面垂直的判定定理证明即可； （2）①建立空间直角坐标系，设，求得，求出平面的法向量，利用线面角的向量公式列式，即可求得线段的长. ②由题意，从而得，由得（*），因为方程（*）无实数解，故不存在点. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴， 建立如图所示直角空间坐标系， 设，则，由，，，， 则，， 因，则，，且 所以，， ①设平面的法向量为，由，， 得：，可取， 设直线与平面所成角为，， 则有：， 即，化简得：， 解得或， 又因为，即，所以，即； 高2028届第3学期数学期中考试 第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $