云南省三校2027届高三上学期11月高考适应性测试数学试题

数学评分细则 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C C B B D B B 【解析】 1．，故选A． 2．为函数的定义域：⟹ ⟹ ，即；B：⟹⟹或，即，故 ，故选C． 3．因为，，，所以，则，所以向量在向量上的投影向量坐标为，故选C． 4．把代入的方程：⟹⟹，即通径长，又，由题设⟹⟹⟹，解得（负根舍去，且满足 ），故选B． ( 图 1 )5．依题意将正四棱台补全为正四棱锥，如图1所示：因为，且，所以，所以，同理可得，因为四边形是边长为6的正方形，故，设，由正四棱锥的结构可知：平面，且，小正四棱锥的高，故正四棱台的高为，所以正四棱台的体积为，故选B． 6．总的分配方法有种，故选D． 7．因为，所以，所以 ，所以， ，即．又，所以，即，由得， ，故选B． 8．由为奇函数有：，即，又 ，所以，所以，即，所以，所以，故A错误；由 得，所以的图象关于对称，当时，，所以当时，，，故B正确；由，又，在单调递减，所以，故C错误；由于，， ，，所以，且是以4为周期的周期函数，所以 ，故D错误，故选B． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 题号 9 10 11 答案 ABC ABD ACD 【解析】 9．，圆心，；，圆心，，圆心距，而，故两圆相交于两点．A：两圆方程相减得，即，为公共弦所在直线，正确；B：到的距离，半弦长为，故，正确；C：到该直线的距离，四边形面积，正确；D：在圆上时，，而非，错误，故选ABC． 10．已知，所以，因为，因此，所以，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，正确；所以，即，正确；数列的前项和 ，错误；因为，所以 ，所以.等式两边同时乘：，所以 ，所以，正确，故选ABD． 11．抛物线中，焦点，准线．【统一设参】过且与交于两点的直线不能平行于轴（否则只交于顶点），故可设为即为 ，代入：恒成立．由韦达定理：，．进而 ：，．A：由抛物线定义，（焦半径＝到准线距离），于是，当 （弦 ）时取最小值 10，正确；B：若，则，而，对任意恒为负，说明 恒为钝角，不存在使的直线，错误；C：由上式及，得 ，函数满足，故单调递减：时取最大值；时，则，其中，．因在钝角区间上单调递增（由增至0），故 在左端点处取最小值：，正确；D：由，，．令，被开方式关于单调递增，故（弦）时，，正确，故选ACD． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 题号 12 13 14 答案 【解析】 12．因为，设的公差为d，则，则，则． ( 图 2 )13．根据题意作出图形如图2：设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．∵，∴，∴高，∵△ABC是边长为的正三角形，∴，． ( 图 3 )14．令，研究，当时，易知函数单调递增；当时，，当时，，则，当时，，当时，，此时在单调递增，在单调递减；当时，得到最大值，画出草图如图3：由图象可知，要使得有4个零点，则必有两个零点，一个零点在内，一个零点在内，由二次函数零点分布可得：，解得：，所以实数的取值范围为． 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分） 解：（1）将数据按时长升序排列，第75百分位数位置为， 前两组累计频数，前3组累计频数， 故第75百分位数落在区间， 则第75百分位数约为． ……………………………………（5分） （2）潜在高粘性用户的频率为， 易得的可能取值有0，1，2，3， 则， ， 故的分布列为 0 1 2 3 ． ……………………………………………（13分） 16．（本小题满分15分） （1）证明：取AB的中点F，连接EF，OF． …………………………………………（1分） ∵E，O分别为DB，AC的中点， ∴EF∥DA，OF∥BC． 又∵AC是圆O的直径，∴AB⊥BC，∴OF⊥AB． …………………………………………（3分） 又∵，EF∥AD，∴EF⊥AB． 又平面， ∴AB⊥平面． …………………………………………（4分） 平面， ∴OE⊥AB． ………………………………………………………（6分） （2）解：平面平面，平面平面， ，故， …………………………………………（7分） 又为的中点，所以， 又平面，所以平面， 故以为坐标原点，分别以所在直线为，轴，以过点且垂直于平面的直线为轴，建立如图4所示的空间直角坐标系． ( 图 4 )因为，， 则， …………………………………………（10分） 设平面的法向量为， 则， ……………………………………（12分） 设直线与平面所成的角为， 则． …………………………………………（15分） 17．（本小题满分15分） （1）证明：在中，由正弦定理得， 即，则， 又，， 由正弦定理得，，所以， 由余弦定理得，即A为钝角， 所以为钝角三角形． ……………………………………………………（8分） （2）解：在中，由（1）知，则， 由，得，所以，则， 所以，因此，所以的周长为9． ……………………………………………（15分） 18．（本小题满分17分） 解：（1）由，得，故． 点在上：，即，解得， 所以． ……………………………………………………（4分） （2）由（1），椭圆短半轴，故圆的半径恰等于椭圆短半轴长，． 若平行于轴，则：，联立椭圆得，解得，只有一个公共点，不合题意， 故不平行于轴，于是只有两类： 情形1：斜率存在，设：； 情形2：斜率不存在，， 若斜率存在，由与圆相切，圆心到的距离等于半径：， 代入得， （）， 设，由韦达定理， 进而， 则， 又圆心到的距离为，则，即三点不共线，故恒为锐角， 弦长． （i）由相切得圆心到的距离为， 则， 又，， 两式相除可得， 由，即， 代入，整理得，解得． 情形2检验：时，，， 则，, ，不满足，舍去， 所以直线的斜率； ……………………………………………（10分） （ii）情形1：与轴交于，故； 又， 则， 因为，故， 所以； 情形2，：，， 综合两类，的取值范围为， 故的最小值为，当且仅当时取得． ……………………………………（17分） 19．（本小题满分17分） （1）解：，由， 当时，恒成立，函数在上单调递增； 当时，若时，；若时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 综上：当时，函数在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． …………………………………………………………………（6分） （2）证明：（i）设，则，所以函数在上单调递增，于是， 即当时，不等式恒成立； ………………………………………（10分） （ii）易得， 设，因为，则除1外还有两个零点. ，令， 当时，在恒成立，则， 所以在上单调递减，不满足题意，舍去； 当时，除1外还有两个零点，则不单调，所以存在两个零点， 所以，解得． 当时，设的两个零点分别为，则， 所以． 当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增． 又，所以，而，且， ，且，所以存在，使得， 即有3个零点； 此时实数的取值范围为． 又因为， 若，则，所以． 又由（i）得当时，不等式恒成立． 由，可得， 因为，所以，即，两边同除以， 得，即， 所以． ……………………………………………………………………………（17分） 数学评分细则·第10页（共12页） 学科网（北京）股份有限公司 $数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答 題卡上填写清楚， 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应題目的答案标号涂黑.如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号、在试題卷上作答无效 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的) 1.3 1+i A3⑤ 2+2 B.33 221 c99 2.设集合A={xl=√4-x},B={x|x2-x-2>0|,则AnB= A.[-2,2] B.（-1,2] C.[-2,-1) D.[-2,-1] 3.已知向量a,五满足|a1=1,=(1,2),1a+61=√5，则向量a在向量6上的投影向 量坐标为 A品) B行，引 c（0) （5-引 4已知双曲线C:石 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,过F,作垂直于x 轴的直线交C于A、B两点.若|AB|=IFF2|,则C的离心率为 A.2 B.⑤+1 C.5 D.⑤t2 2 5.已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和6，侧棱长为2√5，则该四棱台的体积为 A.1042 B.1043 c.1045 3 D.323 6.将甲、乙等6名医学实习生分配到3个医院协助开展活动，每个医院至少1人，每个 人只去1个医院，则不同的分配方法数是 A.390 B.504 C.408 D.540 数学·第1页（共4页） 2 7.已知lan(a-B)= 1 tano cosB=4,则cos(2a-B)= A 1 B.一12 8.定义在R上的函数(x)满足(1+x)=(1-x),且(x+2)为奇函数，已知当0≤x≤1 时，(x)=e-1,则下列结论正确的是 A.(x+2)=(x) B.八x)在点2，了习》处的切线的斜率为e c 2026 D.)=e 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有 多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知圆C1:x2+y2-2x=0与圆C2:x2+y2-4y=0交于A、B两点，则 A.直线AB的方程为x-2y=0 B.1AB1=45 5 C.四边形AC,BC2的面积为2 D.若点P在圆C,上运动，则|PC,I的最大值为5+2 10.在数列|a.}中，a1=2,a+1=2a。-1,n∈N”,则 A.数列{a.-1}为等比数列 B.数列{an}的通项公式为an=2-+1 C.数列|a}的前n项和S.=2"+n-2 D.若6，=lg2(a1-l1),则数列的前n项和T,=2-n+2 2 11.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点P(4,0)的直线与C交于A(x1,1)、 B(x2,y2)两点，则 A.IAF|+IBF|的最小值为10 B.存在这样的直线，使得AF⊥BF C.anLAFB的最小值为-24 7 D.IABI的最小值为8 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知等差数列|an|的前n项和为Sn,且a2=4,S,-S,=24,则S.=」 13.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球0的球面上，△ABC是边长为5的正三角形， SC为球0的直径，且SC=2√2，则此棱锥的体积为 14.已知(x)=x2e2+alx|e+2(a∈R)有4个零点，则实数a的取值范围为 数学·第2页（共4页) 额金手 四、解答题（共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 18. 15.(本小题满分13分) 某平台为了研究用户日均观看短视频的时长，随机抽取了200名用户进行调查，得 到数据如下表： 日均时长（分钟) [0,10) [10,20) [20,30) [30,40) [40,50] 频数 30 50 80 30 10 (1)估计这200名用户日均观看时长的第75百分位数； (2)若平台规定“日均观看时长不少于30分钟的用户为潜在高粘性用户”，现从样 本中有放回地抽取3次，每次抽取1人，记抽到潜在高粘性用户的人数为Y,求Y的 分布列和数学期望 16.（本小题满分15分) 19. 如图1，AC是半径为3的圆O的直径，点D,B在圆上，且DC=2AD,B=BC.如 图2将圆O沿AC翻折，E为线段BD上的一点，连接OB,OD,OE,BD. D B 图1 图2 (1)若AB⊥AD,E为BD中点，证明：OE⊥AB; (2)若平面ADC⊥平面ABC,求直线OA与面ADB所成的角的正弦值： 17.（本小题满分15分) 在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=2b, a(c0sB+1)+b(c0sA+1）=3. (1)判断△ABC的形状并证明； 【2)若△ABC的面积为 求△ABC的周长. 数学·第3页（共4页） (本小题满分17分) 已知椭圆c: 0)的离心率为号且过点2,1)：圆M以 为圆心，半径为2 (1)求C的标准方程； (2)设直线I与圆M相切，且与椭圆C交于A、B两点. (1)若LAOB=60°，求直线I的斜率； (i)记直线1与x轴的交点为N,求ION|·IAB|的最小值. (本小题满分17分) 啶义在(0，+o)上的函数八x),其中a∈R (1)讨论函数八x)的单调性； (2)设g(x)=a[子(xx)-小x-(x-1)(a≠0)存在三个零点x1,,,其 中x1<x2<x3 3(2-1）恒成立： ()求证：当x1时，不等式1n2+4x+ (i)求证：（3a-1)(x,+x+2)<2. 数学·第4页（共4页) 霸⑨用全王命题蓝图 数学-双向细目表 基本信息 内容与主题 情境设置 数学学科核心素养 命题属性 题号 题型 知识主题 内容领域 内容主题 情境类别 学业质量水平 数学抽象 直观想象 逻辑推理 数学运算 数学建模 数据分析 难度系数 分值 1 单项选择题 复数代数形式的乘法运算 集合，复数，常用逻辑用语，不等式 函数 数学情境 水平一 ✓ 0.9 5 2 单项选择题 集合的交集运算 集合，复数，常用逻辑用语，不等式 函数 数学情境 水平一 ✓ ✓ 0.86 5 3 单项选择题 向量的投影与投影向量 三角函数，解三角形，平面向量 函数 数学情境 水平一 ✓ ✓ 0.7 5 4 单项选择题 双曲线的方程与性质 解析几何 几何与代数 数学情境 水平二 ✓ ✓ ✓ 0.65 5 5 单项选择题 棱台的体积计算 立体几何 几何与代数 数学情境 水平二 ✓ ✓ 0.55 5 6 单项选择题 排列组合中的分组问题 概率与统计 统计与概率 生活情境 水平二 ✓ ✓ ✓ 0.5 5 7 单项选择题 三角恒等变换与求值 三角函数，解三角形，平面向量 函数 数学情境 水平二 ✓ ✓ 0.45 5 8 单项选择题 函数奇偶性与周期性综合 函数与导数 函数 数学情境 水平三 ✓ ✓ ✓ 0.35 5 9 多项选择题 圆的方程与两圆位置关系 解析几何 几何与代数 数学情境 水平二 ✓ ✓ ✓ 0.6 6 10 多项选择题 等比数列的通项及前n项和性质 数列 函数 数学情境 水平二 ✓ ✓ 0.45 6 11 多项选择题 直线与抛物线的位置关系 解析几何 几何与代数 数学情境 水平三 ✓ ✓ ✓ 0.25 6 12 填空题 等差数列前n项和 数列 函数 数学情境 水平一 ✓ ✓ 0.75 5 13 填空题 球的内接三棱锥问题 立体几何 几何与代数 数学情境 水平二 ✓ ✓ 0.5 5 14 填空题 函数零点问题 函数与导数 函数 数学情境 水平三 ✓ ✓ ✓ 0.2 5 15(1) 解答题 频率分布直方图、百分位数的计算 概率与统计 统计与概率 生活情境 水平二 ✓ ✓ 0.75 5 15(2) 解答题 二项分布的期望和方差 概率与统计 统计与概率 生活情境 水平二 ✓ ✓ ✓ 0.7 8 16(1) 解答题 线线垂直的证明 立体几何 几何与代数 数学情境 水平二 ✓ ✓ 0.65 6 16(2) 解答题 线面角的计算 立体几何 几何与代数 数学情境 水平二 ✓ ✓ 0.5 9 17(1) 解答题 三角恒等变换判断三角形形状 三角函数，解三角形，平面向量 函数 数学情境 水平二 ✓ ✓ 0.6 8 17(2) 解答题 解三角形与三角形面积 三角函数，解三角形，平面向量 函数 数学情境 水平二 ✓ ✓ 0.45 7 18(1) 解答题 椭圆综合 解析几何 几何与代数 数学情境 水平二 ✓ ✓ 0.6 4 18(2) 解答题 解析几何 几何与代数 数学情境 水平三 ✓ ✓ ✓ 0.3 6 18(3) 解答题 解析几何 几何与代数 数学情境 水平三 ✓ ✓ ✓ 0.2 7 19(1) 解答题 导数综合 函数与导数 函数 数学情境 水平二 ✓ ✓ 0.6 6 19(2) 解答题 函数与导数 函数 数学情境 水平三 ✓ ✓ 0.3 4 19(3) 解答题 函数与导数 函数 数学情境 水平三 ✓ ✓ ✓ 0.15 7 合计 0.650 150 汇总统计 试卷结构汇总统计 一、题型分布 题型 题量 分值 占比 单项选择题 8 40 0.2666666667 多项选择题 3 18 0.12 填空题 3 15 0.1 解答题 12 77 0.5133333333 合计 26 150 1 二、难度分布 难度层次 题量 分值 占比 易（系数≥0.7） 6 33 0.22 中（0.3≤系数<0.7） 20 117 0.78 难（系数<0.3） 4 25 0.1666666667 合计 30 175 1 三、情境类别分布 情境类别 题量 分值 占比 生活情境 3 18 0.12 数学情境 23 132 0.88 科技情境 0 0 0 文化情境 0 0 0 合计 26 150 1 四、核心素养分布 核心素养 涉及题量 覆盖率 数学抽象 3 11.1% 直观想象 9 33.3% 逻辑推理 20 74.1% 数学运算 24 88.9% 数学建模 3 11.1% 数据分析 2 7.4% 五、内容领域（七大板块）分布 内容领域 分值 占比 集合，复数，常用逻辑用语，不等式 10 0.0666666667 函数与导数 27 0.18 三角函数，解三角形，平面向量 25 0.1666666667 数列 11 0.0733333333 立体几何 20 0.1333333333 解析几何 34 0.2266666667 概率与统计 18 0.12 合计 145 1 六、内容主题分布 内容主题 分值 占比 函数 73 0.4866666667 几何与代数 59 0.3933333333 统计与概率 18 0.12 数学建模活动与数学探究活动 0 0 合计 150 1 七、学业质量水平分布 学业质量水平 分值 占比 水平一 20 0.1333333333 水平二 90 0.6 水平三 40 0.2666666667 合计 150 1 整卷关键指标 总分 150 加权难度系数 0.513 难度系数简单平均 0.520 解答题总分 77 解答题占比 0.0% 框架说明与填写指南 命题蓝图框架说明 维度 说明 题号 试题编号；解答题按小问写为15(1)、15(2)… 题型 单选 / 多选 / 填空 / 解答 知识主题 该小问考查的具体知识点，如"频率分布直方图求参数" 内容领域 七大板块：①集合，复数，常用逻辑用语，不等式 ②函数与导数 ③三角函数，解三角形，平面向量 ④数列 ⑤立体几何 ⑥解析几何 ⑦概率与统计 内容主题 课程标准四大主题：函数 / 几何与代数 / 统计与概率 / 数学建模活动与数学探究活动 情境类别 数学情境 / 科技情境 / 文化情境 / 生活情境（四选一） 学业质量水平 水平一（基础）/ 水平二（高考要求）/ 水平三（拓展探究），与情境类别并列 数学抽象～数据分析 六大核心素养，对应列填"✓"表示该题考查；每题可勾选多个 难度系数 0-1之间，越接近0越难；整卷加权难度建议0.45-0.65 分值 该小问分值；全卷合计150分 预估得分 该小问预估得分 = 分值 × 难度系数（留空，按需填写） 学业质量水平说明 水平一 基础达标：能在熟悉的情境中直接应用基础知识与基本技能，完成简单数学任务 水平二 高考要求：能在关联情境中运用数学知识解决问题，具备一定推理与运算能力 水平三 拓展探究：能在综合情境中进行探索、猜想、论证，体现高阶思维与创新迁移 情境类型说明 情境类型与示例 情境类别 定义 典型示例 数学情境 以纯数学知识、数学问题为背景 数列递推、函数性质、几何证明、方程求解 科技情境 涉及科学技术、工程技术的场景 卫星轨道、物理运动、工程设计、数据分析 文化情境 融入数学史、传统文化、艺术元素 古代算法、传统建筑、经典数学问题 生活情境 来源于日常生活、社会生活实际 购物优惠、运动轨迹、建筑测量、交通规划 课程标准要求说明 1. 情境类别：数学情境、科技情境、文化情境、生活情境四类 2. 内容领域：七大板块 ①②③④⑤⑥⑦ 3. 内容主题：函数 / 几何与代数 / 统计与概率 / 数学建模活动与数学探究活动 4. 学业质量水平：水平一（基础）、水平二（高考要求）、水平三（拓展探究） 5. 核心素养：六大素养在整卷中合理分布，每题勾选多个（✓） 6. 应有一定数量的实际应用问题，探索结构不良、开放性问题 $数学评分细则 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的) 题号 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C C B B D ⊙ 【解析】 1.55i1-i)-3-i)-5+5 故选A 1+i(1-i)(1+i) 2 2.A为函数y=V4-x的定义域：4-x2≥0→x2≤4→-2≤x≤2，即A=[-2,2]；B: x2-x-2>0→(x-2x+)>0→x<-1或x>2,即B=（-0,-1)U(2,+0),故AnB= [-2,-1),故选C. 3.因为a1,6=2,1a+65,所以d+2b+6=1+2a+5-5,则a…6= 所以向量a在向量6上的投影向量坐标为a·b五= 1 10 C. .b2 4.把x=c代入C的方程： 京-1→发-2-ab2 c2 y2 F=a京→y=±合，即通径长1AB外2边 又KF-2c,由题设2沙-2E→6=c→c2-d-c→d-e-1-0,解得e-+5(负 a 2 根舍去，且满足e>1),故选B. 5.依题意将正四棱台ABCD-AB,CD补全为正四棱锥P-ABCD, 图1所示因为会名}且A8AB,所以生月 PA3所 以PA=3AM=3N5,同理可得PC=3W5,因为四边形ABCD是 A 图1 边长为6的正方形，故AC=√2AB=6√2，设AC⌒BD=O,由正四棱锥的结构可知：POL 数学评分细则·第1页（共12页） ■■▣■■口■■口■■ 平面ABCD,且P0=VPA2-A0=V35)-(32)=35，小正四棱锥的高 P0=3P0-5,故正四棱台ABCD-ABC,D的高为h=PO-P0=25,所以正四楼台 A6CD-A8CD的体积为V-}25x(2:+6+2×6)104 ,故选B 6.总的分配方法有 (CCC+CC+CCCA=540种，故选D. A A 7.因为tanctan(a-P)=2,所以ima.sn(a-D-2,所以sinsn(a-P)=2cosa. cosa cos(a-B) cos(a-B),cosacos(a-B)+sinasin(a-B)=3cosacos(a-B),cosa-(a-B) =3 coos(a-)）.即coB=3 oo(a-P月.又cos0=}所以}-3 0(a-), 即(a-月-=7由tantan(a-B例=2得iin(-月=2(a-)-石 a-川=a.a+a-p]wc(e)naau月方石 ,故选B 8.由f(x+2)为奇函数有：f(-x+2)=-f(x+2),即f(2-x)+f(2+x)=0,又f(1+x) =f(1-x),所以f(2+x)=f(x),所以f(2-x)+f(-x)=0,即f(2+x)+f(x)=0, 所以f(x+4)+f(x+2)=0,所以f(x+4)=f(x),故A错误：由f(2+)=-f(2-x) =-f(2-x),得f(,)=-f(x),所以f(x)的图象关于(0,0)对称，当-1≤x≤0时， f=--归-e1所以当-1s≤0时f创=e,}c,故B正确 由f目引+引=)又1<子3，f在(3)单调递该，所以 f(目f)>f图)故c错误：由于f0=e-1,f2=0,)-/+2) =-f(2-1)=-f()=1-e,f(4)=f(0)=e°-1=0，所以f)+f(2)+f(3)+f(4)=0, 025 且f(:)是以4为周期的周期函数，所以∑f()=506[f()+f(2)+f(3)+f(4)]+f() +f(2)=506×0+e-1+0=e-1,故D错误，故选B. 数学评分细则·第2页（共12页） ■■口■■口■■口■■ 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 题号 9 10 11 答案 ABC ABD ACD 【解析】 9.C1:(x-1)2+y2=1,圆心C(1,0),5=1;C2:x2+(y-2)2=4,圆心C2(0,2),2=2,圆 心距d=√5，而5-=1<V5<3=方+乃，故两圆相交于两点.A:两圆方程相减得 (-2x)-（-4y)=0,即x-2y=0,为公共弦AB所在直线，正确；B:C(1,0)到x-2y=0的 1 鲍离么=，半弦长为1-片故AB叶有，正确：C:C0,2到该直线 4 离3三店，四边形面积AB仇+h】上2万·=2，正确；D:P在圆C上 |PClx=CC+r=V5+l,而非√5+2，错误，故选ABC. 10.己知a+1=2an-1,所以am+1-1=2(a,-1),因为4=2,4-1=1，因此an-1≠0，所以 2,所以数列a,-号是首项为1，公比为2的等比数列，A正确：所以 a,-1 an-1=1·2-1=2-1,即an=12-1+1=2-1+1,B正确；数列{an}的前n项和 Sn=a1+a++a,=(2°+1)+(2+1)++(2m1+1)=(2°+2+.…21)+(1+1+.…+1)= 2-n=2-1+m,C错误：因为a=2+10n-1=2,所以=10g,a-1)= 2"-1 :2r=n·所以无-+层+会+号，等式两边月时乘 +2m 业到 2”2+ 1 交六，所以X=2-会会2生之，D正，尚选ABD 2n2 数学评分细则·第3页（共12页） ■■口■■口■■口■■ 11.抛物线y2=4x中p=2,焦点F1,0),准线x=-1.【统一设参】过P(4,0)且与C交于两 点的直线不能平行于x轴（否则只交于顶点），故可设为x=y+4(m∈R,m=0即为 x=4),代入y2=4x:y2-4y-16=0,△=16m2+64>0恒成立.由韦达定理： y+=4m,y=-16.进而(x,=my+4):x+x2=m(y+y2)+8=4m2+8, xx2=m2y2+4(y,+y2)+16=16.A:由抛物线定义，|AF=x+1,BF=x2+1(焦半 径=到准线距离)，于是|AF1+BF卡x+,+2=4m2+10≥10，当m=0(弦x=4) 时取最小值10，正确；B:若AF⊥BF,则FA.FB=0,而 FA.FB=(x-1)(x-1)+y%=xx-(化+为)+1+y乃=-4m-7<0,对任意m恒为负， 说明∠AFB恒为钝角，不存在使AF⊥BF的直线，错误；C:由上式及 IFAl-IFB+)+1)+1=4m+25,CoSZAFB=-4m-7 4m2+25 -u+7M=4m2≥0，数fm-5满足f0十25<0，放cosA3单8 u+25 u+25 递减：“=0时取最大值- 7 25→+o时→-1，则∠AFB∈[8,180)，其中cos8=25 sin6。= 24 25 因tan0在钝角区间(90°，180)上单调递增（由-n增至0），故tan∠AFB在 左端点8处取最小值：am8c设=-号，正确：D:由名5=m-), sin8=-24 y,-l=4Wm2+4,1 AB(m2+1)-y-y=4Vm2+10(m+4)=4Wm+5m2+4.令 v=m2≥0，被开方式v2+5v+4关于v单调递增，故v=0(弦x=4)时，|ABlm=8, 正确，故选ACD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 题号 12 13 14 答案 n2+n 2 -.-2e- 数学评分细则·第4页（共12页） ■■口■■口■■▣■■ 【解析】 12.因为S,-S,=3a=24→a4=8,设{a}的公差为d,则d=aa=2,则 2 4=4-d=2→0，=2，则S.=n2+20=+》=r+n. 2 13.根据题意作出图形如图2：设球心为O,过ABC三点的小圆的圆心 为O1,则OO1L平面ABC,延长CO1交球于点D,则SD⊥平面 ABC.CO=x =2x5×5=1,·00=W3-F=1,商 32 SD=200=2,:△ABC是边长为3的正三角形，∴.S△Bc= 35 4 图1 .-x35x2-5 34 2 14.令e=t≥0，研究y=e,当x>0时，易知函数单 yt y=le" 调递增；当x=0时，y=0,当x<0时，y=-e,则 y=-e(x+1),当x<-1时，y'>0,当-1<x<0时， y=日 y'<0,此时y=-xe在(-o,-1)单调递增，在(-1,0)单 图3 调递减：当x=-1时，得到最大值，画出草图如图3：由图象可知，要使得 f(x)=xe2r+axe+2(a∈R)有4个零点，则y=t2+at+2(aeR)必有两个零点，一个 a>0 零点在0时内，一个零点在很内：由=次函数零点分布可得： +ax1+2<0 解得：a<-2e。,所以实数a的取值范围为（0，-2e 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分13分) 解：(1)将数据按时长升序排列，第75百分位数位置为200×75%=150， 前两组累计频数30+50=80<150，前3组累计频数30+50+80=160>150， 数学评分细则·第5页（共12页） ■■■■▣■■■■ 故第75百分位数落在区间[20,30)， 则第75百分位数约为20+150-30+50 ×10=28.75. 80 …………………(5分) (2)潜在高粘性用户的频率为30+10_1 200-5 易得Y~B3, ,Y的可能取值有0,1,2,3， 则PY=O) PY=2)= 故Y的分布列为 0 1 2 3 P 64 48 12 1 125 125 125 125 E0W)=3x1-3 5-5 (13分) 16.(本小题满分15分) (1)证明：取AB的中点F,连接EF,OF. ……… (1分) ,E,O分别为DB,AC的中点， ..EF∥DA,OF∥BC 又，AC是圆O的直径，∴AB⊥BC,∴.OF⊥AB. (3分) 又，AB⊥AD,EF∥AD,.EF⊥AB. 又：EF∩OF=F,EF,OFc平面OEF, .AB⊥平面OEF. …(4分） ,OEc平面OEF, ∴.OE⊥AB. (6分) 数学评分细则·第6页（共12页） ■■▣■■口■■口■■ (2)解：平面ADC⊥平面ABC,平面ADC∩平面ABC=AC, AB=BC,故AB=BC, (7分) 又O为AC的中点，所以OB⊥AC, 又OBC平面ABC,所以OB⊥平面ADC, 故以O为坐标原点，分别以OA,OB所在直线为x,y轴， 以过点O且垂直于平面ABC的直线为z轴，建立如图4 所示的空间直角坐标系 图4 2 则OA=(3,0,0),AD= 3 035 2 2 AB=(-3,3,0), …(10分) 设平面ABD的法向量为i=(x,y,z), AD=-333 x+ 则 21 =0→n=3,35), nAB=-3x+3y=0 …(12分) 设直线OA与平面ABD所成的角为C, OA.n 3√21 则sina 9 oA·园 3V9+9+3√21 7 …(15分) 17.(本小题满分15分) (1)证明：在△ABC中，由正弦定理得sinA(1+cosB)+sinB(1+cosA)=3sinC, sinA+sin Acos B+sin B+sin Bcos A=3sinC,sin A+sin B+sin(A+B)=3sin C, sin(A+B)=sinC,sin A+sin B=2sinC, 由正弦定理得a+b=2c,a=2b,所以c= 数学评分细则·第7页（共12页） b2+c2-a2 b+-4 A <0,即A为钝角， 1 由余弦定理得cosA 一 2bc 所以△ABC为钝角三角形. …(8分） 2)解：在△ABC中，由()知cosA则nAS1的 1 4 由S.ac-besinA,得)bc 。√153W15 所以bc=6,则二b2=6, 4 4 所以b=2,因此c=3,a=4,所以△ABC的周长为9. …………………(15分) 18.(本小题满分17分) 解：(1)由e=,得c2=3d,故6-a-C- a 2 4 4 41 点(2)在C上：2+b乏=1，即+4 + =1,解得a2=8,b2=2, 所以c:￡y 8+2 =1. (4分) (2)由(1)，椭圆短半轴b=√2，故圆M的半径恰等于椭圆短半轴长，M:x2+y2=2. 若1平行于x轴，则1：y=√2，联立椭圆得x2+4.2=8,解得x=0,只有一个公共点， 不合题意， 故1不平行于x轴，于是只有两类： 情形1：斜率存在，设l:y=kx+m(k≠0)； 情形2：斜率不存在，1：x=±√2， 若斜率存在，由1与圆M相切，圆心O到1的距离等于半径： mL=√5→m2=20+k2), V1+k2 代入x2+4y2=8得(1+4k2)x2+8x+4m2-8=0, △=64k2m2-4(1+42)(4m2-8)=168k2+2-m2)=96k2>0(k≠0)， 数学评分细则·第8页（共12页） ■■▣■■口■■口■■ -8km 4m2-88k2 设A(年，)，B(x,乃)，由韦达定理x+名=1十4状，5=1+4W1+4’ 进而X%=(+m+m）-k2x5+m(K+5)+m=26 1+4k2 20+k2),0, 则0A.0B=x6+八=1+42 又圆心O到1的距离为√2，则O1,即O,A,B三点不共线，故∠AOB恒为锐角， 弦长1AB昨V+k-5=46kI+ 1+4k2 ()由相切得圆心O到1的距离为√2， 则S=引A8万51A6, 2 又Saam=1OA08lsim∠A0B,OA.O6-HOAIOB1csA0B, 两式相除可得tan∠AOB=2SAo2=V2ABI OA·OB OA·OB 由∠AOB=60°，即tan∠AOB=√5， 2.46k1V1+ 代入5= 1+4k2 4W31k 2(1+k2) 1+k2 整理得162-1+k,解得=士 15 1+4k2 情形2检验：1：x=5时，A55,B5-5. 则aA062分1aAF子，w∠A08分不满是，合去， 1.1 所以直线1的斜率K=士 15 …（10分) (i)情形1：1与x轴交于N,0,故1ON上 k k 又|AB卡V1+k2X-x2, 数学评分细则·第9页（共12页） ■■▣■■口■■口■■ 则oAB圆-F.45IE-46-.850t）25+5 1+4k2 1+4k2 1+4k2 T1+4k2 因为k≠0,1+4k2>1,故0<，65 1+4<6W5, 所以2W3<OW|ABk85; .N2.0,IONI-1AB2.6=23 综合两类，|ON·|AB|的取值范围为[2√5,8√3)， 故|ON|AB|的最小值为2√5，当且仅当1：x=±√2时取得. …(17分) 19.(本小题满分17分) ()解：f-e2x-0,由x>0acR. x2a 当a≤0时，f'(x)>0恒成立，函数f(x)在(0，+o)上单调递增； 当a>0时，若0<x<C时，f'(x)<0:若x>时，f'(x)>0, 所以f()在0上单润减，在（号+上单调递增 综上：当a≤0时，函数f(x)在(0，+o)上单调递增： 当a>0时，f()在0，号 上单调递减在（台上单调递增。 …(6分) 3(x2-1） 则(x)1.12(x+x+1） (x-1)1 (2)证明：(i)设p(x)=lnx- >0 x2+4x+1 x(x2+4x+1 x(x2+4x+1) 所以函数p(x)在(1，+w)上单调递增，于是p(x)>p()=0, 即当x>1时，不等式nx> 3(x2-恒成立： x2+4x+1 …(10分) 数学评分细则·第10页（共12页） ■■口■■口■■▣■■ D易得g(=a(c-nr---(-alar- 设r()=alnr-x- ,因为g()=0,r(1)=0,则r(x)除1外还有两个零点. x+1 r(x)=2 x(x+1)2 ar+(2a-2)x+a,令h)=ar2+(2a-2)x+ax>0, x(x+1)2 当a<0时，h(x)<0在(0，+o)恒成立，则r'(x)<0, 所以r(x)在(0，+o)上单调递减，不满足题意，舍去： 当a>0时，r(x)除1外还有两个零点，则r(x)不单调，所以h(x)存在两个零点， 所以△=(2a-22-4r>0,解得0<a<2 当0<a<时，设h()的两个零点分别为mm<0,则m+n=2-2>0,m=1, a 所以0<m<1<n, 当x∈(0，m)时，h(x)>0,r(x)>0,则r(x)单调递增： 当xe(m,n)时，h(x)<0,r'(x)<0,则r(x)单调递减： 当x∈(n,+o)时，h(x)>0,r'(x)>0,则r(x)单调递增， 又0=0，所以(m>0,rm)<0,而e）=-1-e-1.-2e ea11-2+c0，且ea<1 1 e号2之0，且>1，所以存在阳en0 ,使得 ea+1 ea+l r(x)=r(x3)=0, 即g(x)=a(x2-1)1nx-(x-1)(a≠0)有3个零点x,x2=1,x3; 比时实藏a的取值范围为0》 1-1 又因为r --alnx--al-1-alx+). 二+1 1+x x+1 x 数学评分细则·第11页（共12页） ■■口■■口■■▣■■ 若r(x)=0,则r 0,所以3=1 又由(i)得当x>1时，不等式nx> 3(x2-)恒成立. x2+4x+1 由()=0，可得5- 3a(x-) alnx 6+1 x+4x3+1 因为5，所以，即5+红1小5+旷.两除以 得无+4+>3a5+2+1,即+%+4>3ak+x+2, 所以(3a-1)(x+6+2)<2. …(17分) 数学评分细则·第12页（共12页）