精品解析：云南省昆明市云南师范大学附属中学2027届高三第七次学科体验（期中）数学试题

云南师大附中2027届高三数学第七次学科体验 一、单选题 1. 函数的最小正周期是（ ） A. 4 B. 8 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】正切型函数最小正周期， 已知，所以函数的最小正周期. 2. 已知，若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用充分不必要条件求参数，得到，即可求解. 【详解】因为“”是“”的充分不必要条件，所以，所以. 故选：D. 3. 在中，为边的中点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助平面向量的线性运算及平面向量基本定理计算即可得解. 【详解】因为为边的中点，， 所以. 故选：D. 4. 为检验两个分类变量是否有关，提出零假设：两个分类变量相互独立．在成立的条件下，统计量满足．该等式表示（ ） A. 若两变量相互独立，则由随机样本算得的不小于的概率为 B. 若两变量相互独立，则由随机样本算得的小于的概率为 C. 若某次检验得不小于，则两变量相互独立的概率为 D. 若某次检验得不小于，则两变量不相互独立的概率为 【答案】A 【解析】 【详解】在成立的条件下，统计量满足表示若两变量相互独立，则由随机样本算得的不小于的概率为. 5. 已知正四棱台的体积为14，，，则该四棱台的表面积为（ ） A. 32 B. 38 C. 42 D. 46 【答案】C 【解析】 【详解】设正四棱台的高为，侧面的高为， 则， 所以. 所以， 所以该四棱台的表面积为. 6. 已知抛物线的焦点为，准线为是上一点，是直线与的一个交点，若，则（ ） A. B. 3 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由题意解出点横坐标，由抛物线的定义求解. 【详解】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为， 设，，则， 因为，则，得， 由抛物线定义得. 故选：D. 7. 已知函数在上可导，导函数为，满足，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】不等式，因为，得出， 设，求导得， 因为，所以，又因为，所以，即在R上单调递增， 因为，所以， 因为单调递增，所以时，，所以不等式解集为. 8. 在锐角中，角，，所对的边分别为，，．已知，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦定理将边化角，再结合和差角公式可得到，根据锐角三角形列不等式组求得，再将所求式子利用三角恒等变换公式整理为正弦型函数，利用正弦型函数性质求取值范围即可. 【详解】，即：，，， 由正弦定理得：，即：， ，或，解得：或（舍）， 又为锐角三角形，则， ，解得. ， 又，，， ，即的取值范围. 二、多选题 9. 若，则可以是（ ） A. 104 B. 106 C. 108 D. 109 【答案】AC 【解析】 【分析】利用，，将变形为，从而确定满足的条件，得到答案． 【详解】解：因为，， 又， 所以，， 故，即， 故当为偶数时，满足． 故选：． 10. 如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图象作出以下判断，正确的是（ ） A. 图（1）的平均数中位数众数 B. 图（2）的众数<平均数<中位数 C. 图（2）的众数<中位数<平均数 D. 图（3）的中位数平均数众数 【答案】AC 【解析】 【分析】根据平均数，中位数，众数的概念结合图形分析判断. 【详解】图（1）的分布直方图是对称的，平均数中位数众数，A正确； 图（2）众数最小，右拖尾平均数大于中位数，B错误，C正确； 图（3）左拖尾众数最大，平均数小于中位数，D错误. 故选：AC 11. 如图，半圆面平面，是圆的直径，多边形是正六边形，，，分别是弧，线段上的动点（均不含端点），，则（ ） A. 平面平面 B. 不存在点，，使得 C. 点的运动轨迹长度为1 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据面面垂直的判定定理可判断A选项；通过建立空间直角坐标系，用三角函数表示点的坐标为，利用向量共线，设，可得点坐标，利用向量垂直关系可判断B选项；根据B选项中得到的与的关系式，求得点运动轨迹，可判断C选项；利用数量积的坐标运算，可判断D选项. 【详解】因为为直径，所以，因为半圆面平面，半圆面平面，，平面， 所以半圆面，又半圆面，所以，因为， 所以平面，又平面，所以平面平面，则A选项正确； 取的中点P，连接，，取半圆弧的中点，连接, 以O为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，,设， 则，设则， 所以，由，得． 由，得，所以，所以，解得，则B选项错误; 由，得，所以 因为，所以，令，， 则， 所以，，所以，又， 所以点H的运动轨迹长度为2，则C选项正确； 连接，则，当时，取得最小值，最小值为，则D选项正确. 三、填空题 12. 已知双曲线的渐近线方程为，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先可得，即可得到双曲线的标准方程，从而得到、，再跟渐近线方程得到方程，解得即可； 【详解】解：对于双曲线，所以，即双曲线的标准方程为， 则，，又双曲线的渐近线方程为， 所以，即，解得； 故答案为： 13. 设数列是递增的整数数列，若，，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】分析可知当且是公差为的等差数列，可求得满足条件的的最大值，由，求得，然后检验、即可得出结果. 【详解】要求满足的的最大值，那么， 且是公差为的等差数列， 通项，则， 令，得， 当时，，，不满足题意． 当时，，，满足题意． 综上，的最大值为． 故答案为：. 14. 若函数在[0,4]上恰有2个零点，则符合条件的a的个数为________． 【答案】1 【解析】 【分析】求出函数的零点，通过判断在区间上零点的个数确定的取值. 【详解】时，，在上有两个零点1和，满足题意， 时，由于，无实数解， ，，，由于， ，则，不合题意， 时，，时，，时，（因为），因此在上至少有3个零点，不满足题意， 综上，，所以满足条件的的个数是1. 四、解答题 15. 已知数列的前项和为，且满足． （1）求证：数列是等比数列； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1）证明：对于①， 当时，. 当时，可得②， 由①-②：. 所以是以1为首项，2为公比的等比数列. （2） 【解析】 【分析】（1）利用与的关系，结合等比数列的定义，可证明结论. （2）利用错位相减法求数列的前项和. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，所以， 所以， ， 两式相减得：， 所以. 16. 为迎接2022年北京冬奥会，某校组织一场冰雪运动知识竞赛，规则如下：有A，B两类问题，每位参加比赛的选手先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该选手比赛结束，若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该选手比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得30分，否则得0分：B类问题中的每个问题回答正确得70分，否则得0分.小明参加了本次冰雪知识竞赛，已知他能正确回答A类问题的概率为0.7，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关. （1）若小明选择先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列； （2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由. 【答案】（1） （2）应选择先回答类问题，理由： 由（1）知，． 若小明先回答问题，记为小明的累计得分，则的所有可能取值为，，． ； ； ． 所以． 因为，所以小明应选择先回答类问题． 【解析】 【分析】（1）通过题意分析出小明累计得分的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可． （2）与（1）类似，找出先回答类问题的数学期望，比较两个期望的大小即可． 【小问1详解】 由题可知，的所有可能取值为，，． ； ； ． 所以的分布列为 【小问2详解】 略 17. 如图，平行六面体中，底面是边长为2的菱形，， （1）求平行六面体的体积； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过作平面，结合边长关系得出高，再应用棱柱的体积公式计算求解； （2）建立空间直角坐标系再计算平面与平面的法向量，最后应用向量夹角公式计算求解. 【小问1详解】 如图，过作平面，垂足为， 因为平面，所以， 过作， ，垂足分别为，， 连接，，平面，所以平面，平面，所以，同理得， 又，为公共边，所以，所以， 又，为公共边，所以， 所以，所以在的平分线上. 又底面是菱形，所以在上. 又，， 所以， 所以，所以为中点. ，，，所以， 菱形的面积为，所以平行六面体的体积为； 【小问2详解】 由（1）可得HA，HB，HA两两垂直，建系如图所示， 则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，平面的法向量为， 则， 取，则， 所以为平面的一个法向量， ， 取，则， 所以为平面的一个法向量， 设平面与平面所成角为，则， 所以平面与平面所成角的余弦值为. 18. 已知函数． （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）若函数在区间单调递增，求实数的取值范围； （3）已知函数有3个极值点，，，且，证明：． 【答案】（1）切线方程为：； （2）实数的取值范围为； （3）证明：由题意得：， 极值点满足，即， 将代入，等式成立，所以是方程的根， 结合，得， 令，，则极值点满足， ， ， 设， ，在单调递增，， 当时，，，单调递减， 当时，，，单调递增， 所以在上仅有一个根，所以， 需证， 代入，，可得：， 又，所以只需证：，， 令，， 则， 分母，只需证分子小于零，设， 则，， 设，则， 设，则， 设，则， 当时，，当时，， 所以， 所以在上恒成立，故在上单调递增，故， 故在单调递减，故，故在上单调递增， 所以，故在上单调递减，， 故即. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，代入算出在处的导数（切线斜率）与函数值，直接写出水平切线方程，属于基础导数切线问题； （2）利用局部保号性可求参数的取值范围； （3）先观察得到是极值点方程的根，利用构造函数的对偶对称性得到两根互为倒数，换元后多次求导逐层分析单调性，证明目标不等式. 【小问1详解】 已知，定义域为， ， 当时，， ， 切点为，斜率为， 所以切线方程为. 【小问2详解】 已知在单调递增，则，故， 设，则， 若即，则存在，使得，， 故，总有，矛盾； 故，此时， 设，则， 故在为增函数，故，故此时恒成立， 综上，的取值范围是. 【小问3详解】 略. 19. 已知动直线与椭圆C:交于，两个不同点，且的面积=,其中为坐标原点. （1）证明和均为定值; （2）设线段的中点为，求的最大值； （3）椭圆C上是否存在点D，E，G，使得？若存在，判断的形状；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）； （2） （3）椭圆C上不存在三点，使得  【解析】 【分析】（1）根据已知设出直线的方程，利用弦长公式求出|PQ|的长，利用点到直线的距离公式求点O到直线的距离，根据三角形面积公式，即可求得和均为定值； （2）由（I）可求线段PQ的中点为M，代入|OM|•|PQ|并利用基本不等式求最值； （3）假设存在，满足，由（1）得，，，， ，，从而得到的坐标，可以求出方程，从而得出结论. 【小问1详解】 （ⅰ）当直线的斜率不存在时，，两点关于轴对称，所以 ∵在椭圆上 ∴ ① 又∵， ∴ ② 由①②得，．此时； （ⅱ）当直线的斜率存在时，是直线的方程为，将其代入得 故即 又， ∴ ∵点到直线的距离为 ∴ 又 整理得 此时 综上所述结论成立． 【小问2详解】 （ⅰ）当直线的斜率不存在时，由（1）知 ， 因此． （ⅱ）当直线的斜率存在时，由（1）知 所以 ．当且仅当， 即时，等号成立． 综合（1）（2）得的最大值为. 【小问3详解】 椭圆C上不存在三点，使得  证明：假设存在，满足 由（1）得，，，， ， 解得：，. 因此从集合中选取，从集合中选取； 因此只能从点集这四个点选取三个不同的点，而这三个点的两两连线必然有一条经过原点，这与矛盾. 所以椭圆C上不存在三点，使得  【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系，弦长公式和点到直线的距离公式，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力．（3）考查学生观察、推理以及创造性地分析问题解决问题的能力. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南师大附中2027届高三数学第七次学科体验 一、单选题 1. 函数的最小正周期是（ ） A. 4 B. 8 C. D. 2. 已知，若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 在中，为边的中点，，则（ ） A. B. C. D. 4. 为检验两个分类变量是否有关，提出零假设：两个分类变量相互独立．在成立的条件下，统计量满足．该等式表示（ ） A. 若两变量相互独立，则由随机样本算得的不小于的概率为 B. 若两变量相互独立，则由随机样本算得的小于的概率为 C. 若某次检验得不小于，则两变量相互独立的概率为 D. 若某次检验得不小于，则两变量不相互独立的概率为 5. 已知正四棱台的体积为14，，，则该四棱台的表面积为（ ） A. 32 B. 38 C. 42 D. 46 6. 已知抛物线的焦点为，准线为是上一点，是直线与的一个交点，若，则（ ） A. B. 3 C. D. 2 7. 已知函数在上可导，导函数为，满足，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 在锐角中，角，，所对的边分别为，，．已知，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 若，则可以是（ ） A. 104 B. 106 C. 108 D. 109 10. 如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图象作出以下判断，正确的是（ ） A. 图（1）的平均数中位数众数 B. 图（2）的众数<平均数<中位数 C. 图（2）的众数<中位数<平均数 D. 图（3）的中位数平均数众数 11. 如图，半圆面平面，是圆的直径，多边形是正六边形，，，分别是弧，线段上的动点（均不含端点），，则（ ） A. 平面平面 B. 不存在点，，使得 C. 点的运动轨迹长度为1 D. 的最小值为 三、填空题 12. 已知双曲线的渐近线方程为，则__________． 13. 设数列是递增的整数数列，若，，则的最大值为______． 14. 若函数在[0,4]上恰有2个零点，则符合条件的a的个数为________． 四、解答题 15. 已知数列的前项和为，且满足． （1）求证：数列是等比数列； （2）设，求数列的前项和． 16. 为迎接2022年北京冬奥会，某校组织一场冰雪运动知识竞赛，规则如下：有A，B两类问题，每位参加比赛的选手先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该选手比赛结束，若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该选手比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得30分，否则得0分：B类问题中的每个问题回答正确得70分，否则得0分.小明参加了本次冰雪知识竞赛，已知他能正确回答A类问题的概率为0.7，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关. （1）若小明选择先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列； （2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由. 17. 如图，平行六面体中，底面是边长为2的菱形，， （1）求平行六面体的体积； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知函数． （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）若函数在区间单调递增，求实数的取值范围； （3）已知函数有3个极值点，，，且，证明：． 19. 已知动直线与椭圆C:交于，两个不同点，且的面积=,其中为坐标原点. （1）证明和均为定值; （2）设线段的中点为，求的最大值； （3）椭圆C上是否存在点D，E，G，使得？若存在，判断的形状；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $