精品解析：天津市东丽中学共同体2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题

2026-2027年度第一学期九年级数学学科阶段统练 一、单选题 1. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，先化简方程，再根据一元二次方程的定义即可判断． 【详解】A：，，故该方程为一元一次方程； B：若，则该方程不为一元二次方程； C：，，该方程为一元二次方程，符合题意； D：，该方程为二元二次方程． 故选：C． 2. 解一元二次方程，配方后正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查配方法解方程，先将配方，再进行判断即可．解题的关键是掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤：①将常数项移至方程的右边，然后化二次项系数为（ 当二次项系数不是时，方程两边同时除以二次项系数）；②在方程两边同时加上一次项系数一半的平方；③配方后将原方程化为的形式，再用直接开平方的方法解方程． 【详解】解：， 移项，得：， 配方，得：，即， ∴． 故选：A． 3. 已知一元二次方程的两根为，则的值为（ ） A. 2 B. C. 8 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，再代入计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ， ． 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的顶点式，熟悉顶点式的顶点坐标为是解题关键． 将二次函数解析式化为顶点形式 ，即可得到顶点坐标． 【详解】解：∵ ， ∴ 顶点坐标为． 故选：D． 5. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．根据一元二次方程根的判别式，当判别式时，方程有实数根． 【详解】解：对于方程， 其判别式为： 因为方程有实数根，需满足，即： 解得： 因此，实数的取值范围是． 故选B． 6. 将抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，根据“左加右减，上加下减”即可求解，熟练掌握二次函数图象平移法则“左加右减，上加下减”是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度， ∴平移后抛物线的解析式为． 故选：C． 7. 某班元旦晚会上，某合唱小组的每位同学都给小组内其他所有同学各赠送了一张贺卡，共赠送贺卡30张，该合唱小组人数为（ ）人． A. 5 B. 6 C. 29 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用. 设该合唱小组人数为x人，根据题意可得每个人都要给其他人送一张贺卡，再由一共赠贺卡30张建立方程求解即可． 【详解】解：设该合唱小组人数为x人， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 故选：B． 8. 在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为，由此可知小宇此次训练实心球落地时的水平距离为（　　） A. 85米 B. 8米 C. 10米 D. 2米 【答案】B 【解析】 【分析】小宇此次实心球训练的成绩就是抛物线与x轴交点的横坐标，即当y＝0时，求x的值即可． 【详解】解：当y＝0时，即， 解得：＝﹣2（舍去），＝8， 所以小宇此次实心球训练的成绩为8米． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键． 9. 由二次函数可知（ ） A. 其图象的开口向下 B. 其图象的对称轴为直线 C. 其顶点坐标为 D. 当时，随的增大而增大 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的图像与性质即可得出答案. 【详解】A：a=3，所以开口向上，故A错误； B：对称轴=4，故B正确； C：顶点坐标为(4，-2)，故C错误； D：当x<4时，y随x的增大而减小，故D错误； 故答案选择B. 【点睛】本题考查的是二次函数，比较简单，需要熟练掌握二次函数的图像与性质. 10. 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】因为A，B，C三点均在反比例函数上，故可将点代入函数，求解，然后直接比较大小即可． 【详解】将A，B，C三点分别代入，可求得，比较其大小可得：． 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数比较大小，解答本类型题可利用画图并结合图像单调性判别，或者直接代入对应数值求解即可． 11. 对一元二次方程的一个正数解的取值范围的探索如下表． 从表中可以看出方程的一个正数解的大致范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过表格中代数式的符号变化，确定方程正数解的范围． 【详解】解：当时，， 当时，， 故方程的一个正数解的大致范围是． 12. 矩形中，，．动点从点出发，以的速度沿边向终点运动；动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点，的位置如图所示．有下列结论： ①当时，； ②当时，的面积随的增大而减小； ③在点，运动的过程中，的最大面积为； ④有两个不同的值满足的面积为． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意分段讨论点的位置，分别计算的长度和的面积表达式，进而判断各个结论的正确性． 【详解】解：由题意可知，点到达点所需时间为， 点到达点所需时间为， 运动时间的取值范围是． 当时，点运动的路程为，即， 点在上； 点运动的路程为， ∵， ∴点在上，且， ∴，故①正确； ②当时，点在上，点在上， 此时，， ∴， 的高为， ∴， 当时，，随的增大而减小； 当时，，随的增大而增大，故②错误； ③当时，点在上，，点在上，， 此时以为底，为高， ∴，， ∴当时，取得最大值； 当时，由②知， 当时，；当时，；当时，， ∴此阶段的最大值为， 综上，的最大面积为，故③正确； ④当时，令，解得（负值舍去），符合题意； 当时，令，解得， ∴或， 解得或，均符合题意， ∴共有个不同的值满足条件，故④错误． 综上所述，正确的结论有①③，共个． 二、填空题 13. 关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义解答即可． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 14. 若一元二次方程的根分别为，，则二次函数的图象与x轴的交点坐标分别是_______________． 【答案】和##和 【解析】 【分析】一元二次方程的根就是二次函数的图象与轴交点的横坐标，轴上点的纵坐标为，据此可直接写出交点坐标． 【详解】解：∵一元二次方程的两根是，，一元二次方程的两根就是二次函数的图象与轴交点的横坐标，且轴上点的纵坐标为， ∴二次函数的图象与轴的交点坐标为． 15. 已知一个反比例函数的图象过点，则该函数解析式为_______． 【答案】 【解析】 【分析】使用待定系数法求解，先设反比例函数的通用解析式，再将已知点的坐标代入计算比例系数，即可得到目标函数解析式． 【详解】解：设该反比例函数的解析式为（）， ∵ 函数图象过点， ∴ 将，代入解析式，得， 解得， ∴ 该函数的解析式为． 16. 如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，若的面积为3，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数系数的几何意义，的面积等于，由此求出的值，再根据函数图象所在的象限确定的符号． 【详解】解：设点的坐标为， 点在反比例函数的图象上， ， 轴于点， 在中，，， ， ， ， ， 反比例函数图象位于第二、四象限， ， ． 17. 设、是一元二次方程的两个根，则______． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵、是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∴ ． 18. 如图，平行于x轴的直线分别交抛物线与于B，C两点，过点C作y轴的平行线交于点D，直线交于点E，则的值是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】设A点坐标为，利用两个函数解析式求出点B、C的坐标，然后求出的长度，再根据轴，利用的解析式求出D点的坐标，然后利用求出点E的坐标，从而得到的长度，然后求出比值即可得解． 【详解】解：设A点坐标为，， 则，解得， ∴点B， ∴点C， ∵轴， ∴点D的横坐标与点C的横坐标相同，为， ∴点D的坐标为， ∵， ∴点E的纵坐标为3a， ∴点E的坐标为， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题是二次函数综合题型，主要利用了二次函数图象上点的坐标特征，根据平行于x轴的点的纵坐标相同，平行于y轴的点的横坐标相同，求出用点A的纵坐标表示出各点的坐标是解题的关键． 三、解答题 19. 解下列一元二次方程： 【答案】 【解析】 【详解】解：， ，，，， ∴， 解得． 20. 人的视觉机能受运动速度的影响很大．行驶中司机在驾驶室内观察前方物体时是动态的，车速增加，视野变窄，当车速为时，视野为度，如果视野（单位：度）是车速（单位：）的反比例函数． （1）求与之间的函数关系式； （2）计算当车速为时视野的度数． 【答案】（1）； （2）度． 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的运用，掌握待定系数法求解析式，求函数值的计算是关键． （1）设，运用待定系数法即可求解； （2）把代入函数解析式求函数值即可． 【小问1详解】 解：∵视野（单位：度）是车速（单位：）的反比例函数， ∴设， ∵当车速为时，视野为度， ∴， 解得，， ∴与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：当时，， ∴当车速为时视野的度数为度． 21. 为落实“两免一补”政策，某市2025年投入教育经费2500万元，预计2027年要投入教育经费3600万元，已知2025年至2027年的教育经费投入以相同的百分率逐年增长，求增长率． 【答案】年平均增长率为 【解析】 【分析】设年平均增长率为，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设年平均增长率为， 由题意得， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：年平均增长率为． 22. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，与轴交于点． （1）求，，的值； （2）请直接写出关于的不等式的解集． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）利用函数解析式求出点的坐标，利用待定系数法求函数解析式； （2）利用函数图象交点坐标，确定不等式的解集． 【小问1详解】 解：将代入得， ， 解得， ∴； 将代入得，， 解得， ∴， 将代入得， ， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：由两函数图象交点为和得， 当时，， 即不等式的解集为． 23. 已知二次函数的解析式为：． （1）此抛物线的顶点坐标为 ；与x轴的两个交点坐标为 和 ； （2）在上边的坐标系中，画出该抛物线； （3）根据图像回答：当时，求函数y的取值范围 ． 【答案】（1），和 （2）解：函数图象如下： （3）当时，函数y的取值范围为 【解析】 【分析】（1）令，求出x的值即可求出与x轴的交点坐标；根据顶点式即可求出顶点坐标； （2）先列表，然后描点，最后连线即可； （3）根据（2）所画函数图象求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴此抛物线的顶点坐标为； 令， 解得：，； ∴抛物线与x轴的两个交点坐标为和； 【小问2详解】 解：列表如下： 描点连线略 【小问3详解】 解：当时，函数取最小值， 当时，函数值， 当时，函数值， 当时，函数y的取值范围为． 24. 某琴行销售一种笛子，每支进价为56元．当售价每支为80元时，月平均销售量为60支．为了倡导、弘扬艺术，琴行对该型号的笛子作降价销售（在不亏本的前提下)．经市场调查表明，当每支笛子的售价每降低1元时，月平均销售量将增加3支． （1）若设销售单价为元/支，则销售量为____________支（用含的代数式表示）； （2）求月平均销售利润(单位：元)关于销售单价(单位：元/支)的函数表达式； （3）当销售单价定为每支多少元时，所得月平均利润最大？ 【答案】（1）（-3x+300） （2）y=-3x2+468x-16800； （3）当销售单价定为每支78元时，所得月平均利润最大 【解析】 【分析】（1）根据售价每支为80元时，月平均销售量为60支，当每支笛子的售价每降低1元时，月平均销售量将增加3支，列出销售量代数式； （2）根据“总利润=单件利润×销售量”列出函数解析式即可； （3）利用二次函数的性质求函数最值即可． 【小问1详解】 根据题意，当销售单价为x元/支时，销量为：60+3（80-x）=-3x+300， ∴销售量为（-3x+300）支， 故答案为：（-3x+300）； 【小问2详解】 设销售单价为x元/盏，月销售利润y元，根据题意得： y=（x-56）（-3x+300）=-3x2+468x-16800， ∴月平均销售利润y关于销售单价x的函数表达式为y=-3x2+468x-16800； 【小问3详解】 由（2）知：y=-3x2+468x-16800=-3（x-78）2+1452， ∵-3＜0，56≤x≤80， ∴当x=78时，y有最大值，最大值为1452， ∴当销售单价定为每支78元时，所得月平均利润最大． 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系． 25. 已知：如图，抛物线与坐标轴分别交于点，点是线段上方抛物线上的一个动点． （1）求抛物线解析式； （2）当点运动到什么位置时，的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1） （2）当时，的面积最大，最大值为 【解析】 【分析】（1）由题意设出交点式，再根据图象过点，代入表达式解方程即可； （2）过点作轴的垂线，交于点，如图所示，求出长度，表示出，由抛物线图象与性质求解即可． 【小问1详解】 解：设抛物线解析式为， 由抛物线可知，图象过点， ， 解得， 抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：过点作轴的垂线，交于点，如图所示： 、， 设直线，则 ， 解得， 直线， 设，则， ， 由可知，抛物线开口向下，当时，的面积最大，最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027年度第一学期九年级数学学科阶段统练 一、单选题 1. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 解一元二次方程，配方后正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 已知一元二次方程的两根为，则的值为（ ） A. 2 B. C. 8 D. 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 将抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 7. 某班元旦晚会上，某合唱小组的每位同学都给小组内其他所有同学各赠送了一张贺卡，共赠送贺卡30张，该合唱小组人数为（ ）人． A. 5 B. 6 C. 29 D. 30 8. 在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为，由此可知小宇此次训练实心球落地时的水平距离为（　　） A. 85米 B. 8米 C. 10米 D. 2米 9. 由二次函数可知（ ） A. 其图象的开口向下 B. 其图象的对称轴为直线 C. 其顶点坐标为 D. 当时，随的增大而增大 10. 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 11. 对一元二次方程的一个正数解的取值范围的探索如下表． 从表中可以看出方程的一个正数解的大致范围是（ ） A. B. C. D. 12. 矩形中，，．动点从点出发，以的速度沿边向终点运动；动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点，的位置如图所示．有下列结论： ①当时，； ②当时，的面积随的增大而减小； ③在点，运动的过程中，的最大面积为； ④有两个不同的值满足的面积为． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题 13. 关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围是_______． 14. 若一元二次方程的根分别为，，则二次函数的图象与x轴的交点坐标分别是_______________． 15. 已知一个反比例函数的图象过点，则该函数解析式为_______． 16. 如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，若的面积为3，则___________． 17. 设、是一元二次方程的两个根，则______． 18. 如图，平行于x轴的直线分别交抛物线与于B，C两点，过点C作y轴的平行线交于点D，直线交于点E，则的值是__________． 三、解答题 19. 解下列一元二次方程： 20. 人的视觉机能受运动速度的影响很大．行驶中司机在驾驶室内观察前方物体时是动态的，车速增加，视野变窄，当车速为时，视野为度，如果视野（单位：度）是车速（单位：）的反比例函数． （1）求与之间的函数关系式； （2）计算当车速为时视野的度数． 21. 为落实“两免一补”政策，某市2025年投入教育经费2500万元，预计2027年要投入教育经费3600万元，已知2025年至2027年的教育经费投入以相同的百分率逐年增长，求增长率． 22. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，与轴交于点． （1）求，，的值； （2）请直接写出关于的不等式的解集． 23. 已知二次函数的解析式为：． （1）此抛物线的顶点坐标为 ；与x轴的两个交点坐标为 和 ； （2）在上边的坐标系中，画出该抛物线； （3）根据图像回答：当时，求函数y的取值范围 ． 24. 某琴行销售一种笛子，每支进价为56元．当售价每支为80元时，月平均销售量为60支．为了倡导、弘扬艺术，琴行对该型号的笛子作降价销售（在不亏本的前提下)．经市场调查表明，当每支笛子的售价每降低1元时，月平均销售量将增加3支． （1）若设销售单价为元/支，则销售量为____________支（用含的代数式表示）； （2）求月平均销售利润(单位：元)关于销售单价(单位：元/支)的函数表达式； （3）当销售单价定为每支多少元时，所得月平均利润最大？ 25. 已知：如图，抛物线与坐标轴分别交于点，点是线段上方抛物线上的一个动点． （1）求抛物线解析式； （2）当点运动到什么位置时，的面积最大？最大面积是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $