精品解析： 天津市东丽区东丽中学共同体2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025-2026学年九年级数学上学期阶段检测试卷 （时间：100分钟 满分：120分） 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：由中心对称图形的定义：“把一个图形绕一个点旋转180°后，能够与自身完全重合，这样的图形叫做中心对称图形” 根据定义，A、C、D都不是中心对称图形，只有B是中心对称图形. 故选：B. 2. 抛物线与轴的公共点是，，则这条抛物线的对称轴是直线（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】C 【解析】 【分析】因为点A和B的纵坐标都为0，所以可判定A，B是一对对称点，把两点的横坐标代入公式x=求解即可． 【详解】∵抛物线与x轴的交点为(−1,0),(3,0)， ∴两交点关于抛物线的对称轴对称， 则此抛物线的对称轴是直线x===1. 故答案选C. 【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴的交点的相关知识点，解题的关键是熟练的掌握抛物线与坐标轴的交点的性质. 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 无实数根 B. 有一个实根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 直接根据根的判别式求解即可． 【详解】解：∵， ∴方程无实数根． 故选：A． 4. 顶点，且开口方向、形状与函数的图象相同的抛物线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据顶点式解析式特点即可解答． 【详解】由抛物线顶点式可知，顶点为， ∵顶点为， ∴抛物线为， ∵该抛物线开口，形状与函数的图象相同， ∴， 即抛物线解析式为， ∴C选项正确， 故选：C． 【点睛】此题考查了抛物线的解析式—顶点式，正确理解顶点式解析式各字母的意义是解题的关键． 5. 将抛物线向上、向左各平移1个单位长度，则平移后抛物线的解析式是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答． 【详解】解：将抛物线向上、向左各平移1个单位长度， 则平移后抛物线的解析式是：， 即． 故选：B． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 6. 已知在二次函数的图象上，则的大小关系是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数函数值的计算与比较，解题的关键是根据二次函数解析式，通过直接代入点的横坐标求出对应函数值来比较大小． 直接将三点的横坐标、、分别代入二次函数的解析式，计算出、、的具体数值，再对数值进行大小比较，即可得出三者关系；也可先求对称轴判断增减性，但本题代入求值更直接高效． 【详解】解：分别将、、代入二次函数： 当时，； 当时，； 当时，； ∵， ∴ 故选：B． 7. 函数和（是常数，且在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象性质：可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，故选项错误； B、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，故选项错误； C、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴，故选项正确； D、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的对称轴，故选项错误． 故选：． 8. 某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总数是设每个枝干长出x个小分支，则x满足的关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设每个枝干长出x个小分支，则主干上长出了x个枝干，根据主干、枝干和小分支的总数是91，即可得: x2+x+1=91． 故选C． 9. 已知m，n是方程的两个实数根，则的值为（　　） A. 2 B. 6 C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，已知式子的值求代数式的值，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 利用m是方程根的性质，将表达式简化，并利用根与系数的关系求值． 【详解】解：∵m是方程 的根， ∴， 即， ∴ ， ∵m，n是方程的两个根， ∴（根与系数的关系）， ∴ ， 故选：B． 10. 如图，在△ABC中，AB=AC，若M是BC边上任意一点，将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，点M的对应点为点N，连接MN，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转的性质，对每个选项逐一判断即可． 【详解】解：∵将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，∴△ABM≌△ACN， ∴AB=AC，AM=AN， ∴AB不一定等于AN，故选项A不符合题意； ∵△ABM≌△ACN， ∴∠ACN=∠B， 而∠CAB不一定等于∠B， ∴∠ACN不一定等于∠CAB， ∴AB与CN不一定平行，故选项B不符合题意； ∵△ABM≌△ACN， ∴∠BAM=∠CAN，∠ACN=∠B， ∴∠BAC=∠MAN， ∵AM=AN，AB=AC， ∴△ABC和△AMN都是等腰三角形，且顶角相等， ∴∠B=∠AMN， ∴∠AMN=∠ACN，故选项C符合题意； ∵AM=AN， 而AC不一定平分∠MAN， ∴AC与MN不一定垂直，故选项D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转性质，等腰三角形的判定与性质．旋转变换是全等变换，利用旋转不变性是解题的关键． 11. 函数y＝mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为（　　） A. 0 B. 0或2 C. 0或2或﹣2 D. 2或﹣2 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数y＝mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，利用分类讨论的方法可以求得m的值，本题得以解决． 【详解】解：∵函数y＝mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点， ∴当m＝0时，y＝2x+1，此时y＝0时，x＝﹣0.5，该函数与x轴有一个交点， 当m≠0时，函数y＝mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点， 则△＝（m+2）2﹣4m（m+1）＝0，解得，m1＝2，m2＝﹣2， 由上可得，m的值为0或2或﹣2， 故选：C． 【点睛】本题考查抛物线与x轴交点，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想解答． 12. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论：小球从抛出到落地需要；小球运动时的高度小于运动时的高度；小球运动中的高度可以是，其中正确结论是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，解此题的关键是把实际问题转化成数学问题． 令解方程求出t值，即可判断①，分别求出和时的值是，即可判断②，令，即可判断③． 【详解】解：∵落地时高度， ∴ 解得或， ∵为抛出时刻， ∴落地时间为，故①正确． 当时， ； 当时， ， ∵，故②正确． 根据题意得， ， ∴， ∴ ， ∴方程无实数解， ∴高度不可能达到，故③错误． 综上，正确结论为①②， 故选：B． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分．请将答案直接填在题中的横线上） 13. 点关于原点对称的点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数，根据关于原点对称的性质即可得解． 【详解】解：点（﹣4，7）关于原点对称的点的坐标是（4，﹣7）． 故答案为（4，﹣7）． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数，比较简单． 14. 若x=是一元二次方程的一个根，则n的值为 ____． 【答案】． 【解析】 【分析】把代入到一元二次方程中求出的值即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值，牢记方程的解满足方程，代入即可是解决此类问题的关键． 15. 已知关于x的方程有实数根，则整数a的最大值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，分和两种情况，结合根的判别式求出的取值范围，即可． 【详解】解：当，即时，方程转化为，解得：，符合题意； 当，即：时，方程为一元二次方程， ∵方程有实数根， ∴，解得：， 综上：， ∴整数a的最大值是； 故答案为：． 16. 当时，二次函数的最大值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查二次函数在给定范围内的最值问题． 由于二次项系数为负，抛物线开口向下，顶点横坐标在给定范围内，故最大值在顶点处取得． 【详解】解：二次函数的顶点横坐标为， 由于，且， 故当时，取得最大值，最大值为． 故答案为：2． 17. 如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加______m. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点， 抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为 通过以上条件可设顶点式，其中可通过将A点坐标 代入到抛物线解析式得出：所以抛物线解析式为 当水面下降2米，通过抛物线在图上的观察可转化为： 当时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线与抛物线相交的两点之间的距离， 可以通过把代入抛物线解析式得出： 解得： 所以水面宽度增加到米，比原先的宽度当然是增加了 故答案是： 【点睛】考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键． 18. 如图，在中，，将绕顶点C逆时针旋转得到，M是的中点，P是的中点，连接．若，，则线段的最大值是_______________ 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查的是旋转的性质，含有30°角直角三角形的性质和三角形三边关系，能够综合调动所学知识，得出P、C、M的关系即可就得答案． 【详解】解：如下图，连接． 在中， ∵ ∴ 根据旋转不变性可知， ∵P是的中点 ∴ ∴ ∵M是的中点， ∴， 又∵ 即， ∴的最大值为3，(此时P、C、M共线)． 故答案为：3． 三、解答题（共7小题，共66分．解答题应写出演算步骤或简单推理过程） 19. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解方程的方法． （1）利用直接开平方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解： ， 【小问2详解】 解： 或 ， 20. 抛物线的图象如图所示，根据图象填空． （1）时，y随x的增大而______； （2）方程的根是______； （3）时y的取值范围是______； （4）若方程没有实数根，k的取值范围是______． 【答案】（1）减小 （2），3 （3） （4） 【解析】 【分析】（1）结合二次函数图象即可作答； （2）根据图象可知抛物线交x轴于点、点，则问题即可得解； （3）结合二次函数图象即可作答； （4）将方程变形为：，根据图象可知，若，则原方程没有实数根，问题得解． 【小问1详解】 解：根据二次函数图象可知：时，y随x的增大而减小， 故答案为：减小； 【小问2详解】 解：根据图象可知：抛物线交x轴于点、点， 则的根为：、， 故答案为：，3； 【小问3详解】 解：根据图象可知：时，y＜0，最小值为， 即y的取值范围为：； 【小问4详解】 解：将方程变形为：， 根据二次函数图象可知： 若，则原方程没有实数根， 即此时， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质，注重数形结合的思想，是解答本题的关键． 21. 如图，三个顶点坐标分别为，，． （1）请画出关于原点对称的，并写出点的坐标； （2）请画出绕点逆时针旋转后的； （3）求出（2）的面积是多少． 【答案】（1），见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】(1) 根据原点对称，坐标都变成原来坐标的相反数，确定坐标后，再画图即可． (2) 根据旋转的全等性作图即可． (3) 利用分割法计算面积即可． 本题考查了原点对称作图，旋转作图，分割法计算图形的面积，正确理解旋转的性质，原点对称的坐标特点是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意，，，． ∴，画图如下： 则即为所求，且． 【小问2详解】 解：根据旋转的全等性作图如下： 则即为所求． 【小问3详解】 解：根据题意，得 ． 22. 已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2． （1）求实数k的取值范围； （2）若x1，x2满足x12+x22=16+x1x2，求实数k的值． 【答案】(1) k≤;(2)-2. 【解析】 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=﹣4k+5≥0，解之即可得出实数k的取值范围； （2）由根与系数的关系可得x1+x2=1﹣2k、x1x2=k2﹣1，将其代入x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=16+x1x2中，解之即可得出k的值． 【详解】（1）∵关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2， ∴△=（2k﹣1）2﹣4（k2﹣1）=﹣4k+5≥0，解得：k≤， ∴实数k的取值范围为k≤． （2）∵关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2， ∴x1+x2=1﹣2k，x1x2=k2﹣1． ∵x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=16+x1x2， ∴（1﹣2k）2﹣2×（k2﹣1）=16+（k2﹣1）， 即k2﹣4k﹣12=0， 解得：k=﹣2或k=6（不符合题意，舍去）． ∴实数k的值为﹣2． 23. 如图，在中，，点P从点A开始沿边向终点B以1的速度移动．与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以2的速度移动．点P、Q分别从点A，B同时出发，当点Q移动到点C时，两点停止移动．设移动时间为t．（） （1）填空：____________，____________（用含t的代数式表示）． （2）当t为何值时，的长为5？ （3）是否存在t的值，使得的面积为4？若存在请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）当时 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由动点的运动起点、速度、方向可得，据此即可求解； （2）在中，利用勾股定理即可求解； （3）根据即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得： ∴ 故答案为： 【小问2详解】 解：在中，由勾股定理得： ，解得： ∵ ∴当时，； 【小问3详解】 解：由题意得， 解得：（不合题意，舍去） ∴当，使得的面积为4cm2 【点睛】本题考查了几何图形中的动点问题，涉及了勾股定理、一元二次方程．注意利用实际问题中的约束条件检验所得的解． 24. 某商场销售一种商品，每件进价为元．调查发现，当销售单价为元时，平均每天可以销售件；而当销售单价每提高元时，平均每天销量将会减少件，且物价部门规定：销售单价不能超过元．设该商品的销售单价为元，每天销量为件． （1）请直接写出与的函数关系式； （2）商场要想每天获得元的销售利润，销售单价应定为多少元？ （3）销售单价为多少元时，该商场每天销售这种商品所获的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）售价应定为元 （3）售价为元时，该商场每天销售这种商品所获的利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的实际应用，一元二次方程实际应用，二次函数最值问题，熟练掌握一次函数的数量关系式，一元二次方程实际应用，二次函数顶点式求最值是解此题的关键． （1）根据“当销售单价为元时，平均每天可以销售件；而当销售单价每提高元时，平均每天销量将会减少件”，即可列出与的函数关系式； （2）根据题意列出一元二次方程，解方程即可得到答案； （3）先表示出关于的关系式，再根据二次函数的性质即可得到答案． 【小问1详解】 解：设该商品的销售单价为元，每天销量为件， 由题意可得：， ∵销售单价不能超过元， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：由题意可得，， 整理可得，， 解得，，（不符合题意，舍去）， ∴商场要想每天获得元的销售利润，销售单价应定为元． 【小问3详解】 解：设商场每天销售利润为元， 由题意可得：， ∵， ∴抛物线开口向下，当时，随着的增大而增大， ∵， ∴当时，最大，此时， ∴销售单价为元时，该商场每天销售这种商品所获的利润最大，最大利润是元． 25. 如图，直线与轴、轴分别交于点、点，经过、两点的抛物线与轴的另一个交点为． （1）求二次函数的解析式； （2）点为该二次函数的图象在第一象限上一点，当的面积最大时，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，在平面直角坐标系中找一点，当、、、为顶点所构成的四边形是平行四边形时，直接写出的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）先求出点B，C的坐标，再利用待定系数法求解； （2）先求出直线的解析式，作轴于点D，交直线于点E，设点，用含p的二次函数表示出的面积，即可求解； （3）设点Q的坐标为，分点P在第一、二、四象限三种情况，利用平行四边形的性质列方程，即可求解 【小问1详解】 解：中，令，得， 令，则，解得， ，， 将，，代入， 得：，解得， 二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， 直线的解析式为． 如图，作轴于点D，交直线于点E， 设点，则， ， ， 当时，取最大值4， ， 点的坐标为； 【小问3详解】 解：设点Q的坐标为，分三种情况， 当点Q在第一象限时，， 即， 解得， 点Q的坐标为； 同理，当点Q在第四象限时，， 即， 解得， 点Q的坐标为； 当点Q在第二象限时，， 即， 解得， 点Q的坐标为； 综上可知，点Q坐标为或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查一次函数的图象和性质，二次函数的最值，平行四边形的性质等，第二问的关键是用二次函数表达出，第三问的关键是注意分情况讨论，避免漏解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期阶段检测试卷 （时间：100分钟 满分：120分） 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线与轴的公共点是，，则这条抛物线的对称轴是直线（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 无实数根 B. 有一个实根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 4. 顶点，且开口方向、形状与函数的图象相同的抛物线的是（ ） A. B. C. D. 5. 将抛物线向上、向左各平移1个单位长度，则平移后抛物线的解析式是（　　） A. B. C. D. 6. 已知在二次函数的图象上，则的大小关系是( ) A B. C. D. 7. 函数和（是常数，且在同一平面直角坐标系中图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总数是设每个枝干长出x个小分支，则x满足的关系式为（ ） A. B. C. D. 9. 已知m，n是方程的两个实数根，则的值为（　　） A. 2 B. 6 C. D. 0 10. 如图，在△ABC中，AB=AC，若M是BC边上任意一点，将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，点M的对应点为点N，连接MN，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 函数y＝mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为（　　） A. 0 B. 0或2 C. 0或2或﹣2 D. 2或﹣2 12. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论：小球从抛出到落地需要；小球运动时的高度小于运动时的高度；小球运动中的高度可以是，其中正确结论是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分．请将答案直接填在题中的横线上） 13. 点关于原点对称的点的坐标是________． 14. 若x=是一元二次方程的一个根，则n的值为 ____． 15. 已知关于x的方程有实数根，则整数a的最大值是______． 16. 当时，二次函数的最大值为______． 17. 如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加______m. 18. 如图，在中，，将绕顶点C逆时针旋转得到，M是的中点，P是的中点，连接．若，，则线段的最大值是_______________ 三、解答题（共7小题，共66分．解答题应写出演算步骤或简单推理过程） 19. 解方程： （1） （2） 20. 抛物线的图象如图所示，根据图象填空． （1）时，y随x的增大而______； （2）方程的根是______； （3）时y的取值范围是______； （4）若方程没有实数根，k的取值范围是______． 21. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于原点对称的，并写出点的坐标； （2）请画出绕点逆时针旋转后的； （3）求出（2）的面积是多少． 22. 已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2． （1）求实数k取值范围； （2）若x1，x2满足x12+x22=16+x1x2，求实数k的值． 23. 如图，在中，，点P从点A开始沿边向终点B以1的速度移动．与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以2的速度移动．点P、Q分别从点A，B同时出发，当点Q移动到点C时，两点停止移动．设移动时间为t．（） （1）填空：____________，____________（用含t的代数式表示）． （2）当t为何值时，的长为5？ （3）是否存在t值，使得的面积为4？若存在请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 24. 某商场销售一种商品，每件进价为元．调查发现，当销售单价为元时，平均每天可以销售件；而当销售单价每提高元时，平均每天销量将会减少件，且物价部门规定：销售单价不能超过元．设该商品的销售单价为元，每天销量为件． （1）请直接写出与的函数关系式； （2）商场要想每天获得元的销售利润，销售单价应定为多少元？ （3）销售单价为多少元时，该商场每天销售这种商品所获利润最大？最大利润是多少？ 25. 如图，直线与轴、轴分别交于点、点，经过、两点的抛物线与轴的另一个交点为． （1）求二次函数的解析式； （2）点为该二次函数的图象在第一象限上一点，当的面积最大时，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，在平面直角坐标系中找一点，当、、、为顶点所构成的四边形是平行四边形时，直接写出的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $