精品解析：山西省太原市山西大学附属中学校2026-2027学年高一上学期11月期中数学试题

山大附中2026~2027学年第一学期期中考试 高一年级数学试题 考试时间: 120分钟 总分: 150分 一、单选题: 共8小题， 每小题5分， 共40分. 1. 下列命题中正确的是（ ） A. 与表示同一个集合 B. 由的解组成的集合可表示为 C. 集合和表示同一个集合 D. 数值很大的正数可以构成集合 【答案】B 【解析】 【分析】依据空集、集合相等的含义及集合中元素的确定性，逐项判断． 【详解】对于A，不含任何元素，而含有元素，二者不是同一个集合，A错误． 对于B，由，解得或，故解集为，B正确． 对于C，含有两个元素和，而只有一个元素，二者不是同一个集合，C错误． 对于D，“数值很大”没有明确的判断标准，不满足集合中元素的确定性，D错误． 2. “”是“”成立的（   ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】由，解得， 因为是的真子集，所以“”是“”成立的必要不充分条件. 3. 不等式的解集为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，解得 ，所以不等式的解集为. 4. 已知的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抽象函数定义域的规则，列不等式求解即可. 【详解】的定义域是，则， 对于，的取值范围和中的范围一致， 即：，解得， 故的定义域是. 5. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用换元法，结合二次函数和反比例函数的性质，即可求解. 【详解】设，即，则， 所以函数的值域为． 6. 已知，则的值为（ ） A. 5 B. 8 C. 15 D. 17 【答案】C 【解析】 【详解】令，得，即， . 7. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】明确分段函数的解析式，结合函数的单调性和特殊点的函数值，利用排除法排除错误选项即可. 【详解】由函数， 当时，根据函数与函数在上单调递增， 则函数在上单调递增，故排除BC； 当时，  ，故排除A，则D正确. 故选：D 8. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析函数的单调性，然后解不等式、，分、两种情况解不等式即可. 【详解】当时，，则函数在上为增函数，且， 由于函数为上的增函数，故函数在上为增函数，且， 当时，由，可得；由，可得； 当时，由，可得；由，可得. 接下来解不等式， 当时，即当时，则可得或，可得； 当时，即当时，则可得或，可得. 综上所述，不等式的解集为. 故选：C. 二、多选题: 共3小题， 每小题6分， 共18分. 全部选对的得6分， 部分选对的得部分分， 有错选的得0分. 9. 下列有关函数说法正确的是（ ） A. 定义域和对应法则相同的两个函数是同一函数 B. 定义域和值域相同的两个函数是同一函数 C. 函数的图象与直线的交点至多有1个 D. 式子不可表示自变量为、因变量为的函数 【答案】ACD 【解析】 【分析】本题考查函数的核心概念，结合同一函数的判定规则、函数的映射定义、定义域求解逻辑逐一分析选项即可. 【详解】选项A：函数的值域由定义域和对应法则共同决定，若两个函数的定义域、对应法则均相同，对应的值域必然一致，符合同一函数的判定标准，A正确； 选项B：定义域和值域相同不能判定为同一函数，例如和，定义域和值域都为，但对应法则完全不同，不是同一函数，B错误； 选项C：根据函数定义，定义域内的任意一个只能对应唯一的， 若在的定义域内，则图象与有1个交点；若不在定义域内，则没有交点，因此交点至多1个，C正确； 选项D：要使根式有意义，需满足，即且，无实数解， 定义域为空集，因此该式子不能表示以为自变量、为因变量的函数，D正确. 10. 已知，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】逐项用基本不等式（或配方法）求最值，注意“一正二定三相等”． 【详解】对于A：，当 时取等号，正确； 对于B：因为，所以，当且仅当即 时取等号，正确； 对于C：令 ，因为，所以， 那么原式 ，当且仅当即 时取等号， 由于，所以上式无法取等式，所以，故 的最小值不是 ，错误； 对于D：，当且仅当即 时取等号，正确． 11. 定义在上的函数满足下列条件：（1）；（2）当时，，则（ ） A. B. 当时， C. D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A，取求解；选项C，令得到，取得解；选项B，当时， ，则有，从而得到；选项D，令 ，通过计算整理得到，利用基本不等式得到，从而得到，结合得到结论. 【详解】选项A，因为，所以取，得到， 解得，选项A正确； 选项C，令，则，即， 取，得到，选项C正确； 选项B，因为当时，， 所以当时， ，则有， 又 ，即，选项B错误； 选项D，令 ，则，即， 两边除以得到，即， 因为，所以，所以， 又因为，所以，即， 则， 选项D正确. 三、填空题: 本题共3小题， 每题5分， 共15分. 12. 已知集合，则_________. 【答案】 【解析】 【详解】因为 ，， 所以 . 13. 已知函数满足，且，当时，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性求解. 【详解】因为，所以函数为奇函数， 又因为，且当时，， 所以． 14. 已知，，满足，则的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用，将换成，对和使用基本不等式，从而将转化为只含有的函数，结合基本不等式求解即可. 【详解】由可得，， 则， 因为，，所以 ，当且仅当时等号成立， 则， ， 当且仅当时，即当时，等号成立，此时， 所以，则的最小值为. 四、解答题: 共大题5小题， 共77分. 15. 化简与计算： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）0 （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 ，， ，， . 16. 为满足市场对某有机水果的需求，某果农计划扩大种植规模和提高水果品质．根据科学预算，需要投入的固定成本为3万元，当产量为吨时，需要投入可变成本万元，且已知当产量为5吨时，需要投入的可变成本为5.5万元．根据市场行情，该有机水果每吨的售价为2万元，假定该有机水果能全部售完． （1）求利润（单位：万元）与产量（单位：吨）的函数关系式． （2）当该有机水果的产量为多少吨时，所获利润最大？请求出最大利润． 注：利润=销售收入－可变成本－固定成本． 【答案】（1） （2）该有机水果的产量为40吨时，利润最大，最大利润为14万元． 【解析】 【分析】（1）小问分两段求解利润与产量的函数关系式，分别为和； （2）小问当时，求二次函数的最大值，对称轴在给定的区间内，故在对称轴取最大值；当时，运用基本不等式求最大值即可. 【小问1详解】 当时，，解得， 当时，， 当时，． 故 【小问2详解】 当时，， 当时，取得最大值9.5； 当时，， 当且仅当时，等号成立，即取得最大值14． 又， 所以该有机水果的产量为40吨时，利润最大，最大利润为14万元． 17. 已知定义在上的奇函数，当时，， （1）求当时，的解析式； （2）用定义法证明在区间上单调递减； （3）解关于的不等式(其中). 【答案】（1） （2）令，， 当时，， 所以，即时，，所以在区间上单调递减. （3）当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为；当时，不等式无解；当时，解集为. 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质，求出函数解析式即可； （2）根据定义法，设出自变量，通过作差证明函数单调性即可； （3）根据函数定义域，判断函数单调性，进而根据单调性，列出不等式，根据参数范围不同进行分类讨论，进而求出不等式的解集. 【小问1详解】 令，则，所以， 因为函数为奇函数，所以，得， 即时，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为为奇函数，且在区间上单调递减，所以在上也单调递减， 可知，，所以在上恒成立， 即函数定义域为，因为，所以函数在上单调递减， 由，得，化简得， 当时，得，解得； 当时，， 解得或； 当时，，解得； 当时，，不等式无解； 当时，，解得； 综上所述：当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为；当时，不等式无解；当时，解集为. 18. 已知二次函数（）满足，． （1）求的解析式； （2）若函数在区间上的最小值为，求实数的值； （3）若对任意，有不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出解析式即可； （2），对称轴是，根据二次函数在区间上的不同单调性求出最小值，继而即可求解； （3）由题意得，当时，不等式恒成立；当时，利用分离参数法得在上恒成立，结合换元法与对勾函数的单调性求解即可. 【小问1详解】 因为，则，所以， 又， 所以，得，，所以． 【小问2详解】 ，所以的图象开口向上，对称轴是． 当，即时，在上单调递增， ，得，满足题意； 当，即时，在上单调递减， ，得，满足题意； 当，即时，在上单调递减，上单调递增． ，得或，不满足题意． 综上所述，或． 【小问3详解】 ，，化简得：． 当时，不等式恒成立； 当时，，在上恒成立． 令，， ，． 又在上单调递增，所以当时，有． 故，即的取值范围是． 19. 俄国数学家切比雪夫（1821-1894）是研究直线逼近函数的理论先驱.设是定义在上的连续函数，称为与直线的偏差.若存在使得，则称为直线的偏差点.记，若存在使得，则称为在切比雪夫意义下的最佳逼近直线. （1）函数，，，求，的偏差以及偏差点； （2）函数，，，求，的偏差的最小值，并求出取得最小值时的值； （3）证明：直线是函数在上的最佳逼近直线. 【答案】（1）偏差为，偏差点为； （2）偏差最小值为；此时； （3）法1：要证是在上切比雪夫意义下的最佳逼近直线， 则恒成立， 令， 因为，所以只要证， 即证，设， 则，，，所以， 即，当且仅当，即，等号成立. 法2：假设存在另一条直线，它与函数，的偏差小于， 则对于任意有，即（1），（2）， （3），由（1）（3）得，由（2）（3）得矛盾， 所以假设不成立，从而直线是函数在上的最佳逼近直线. 法3：令. 当，，其最大值只会在区间端点处产生， 则， 表示到数轴上两数距离的最大值，为使该最大值最小，则取数轴上两数对应点中点对应数 1， 从而此时，取等号时； 当时，， 令，设，其中， 因为，则其最大值可能在时产生， 从而，设， 所以， 所以 所以，当且仅当时取等号， 所以，所以，此时，； 当且时，因为， 则的最大值可能在时产生， 从而，设， 所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以，所以. 综上的最小值为，对应，即为的最佳逼近直线. 【解析】 【分析】（1）根据“偏差”的概念，一元二次函数的性质，即可求解； （2）根据“偏差”的概念，利用函数的单调性，分类讨论，即可求解； （3）根据“偏差”的概念，建立函数模型，通过函数思想，即可求解．法1，只要证即可；法2，利用反证法，证明不存在直线与函数，的偏差小于即可；法3，分类讨论的取值情况，求解，即可完成证明. 【小问1详解】 记， 当时，又， 故，所以偏差为，偏差点为； 【小问2详解】 设， 当时，， 所以 ， 要使最大值（即偏差）最小，则，此时偏差最小值为. 【小问3详解】 略. 【点睛】本题涉及概念：切比雪夫最佳逼近直线，求解切比雪夫最佳逼近直线的关键为去掉绝对值和分类讨论，此外进一步学习之后，也可以用切比雪夫交错定理解决问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山大附中2026~2027学年第一学期期中考试 高一年级数学试题 考试时间: 120分钟 总分: 150分 一、单选题: 共8小题， 每小题5分， 共40分. 1. 下列命题中正确的是（ ） A. 与表示同一个集合 B. 由的解组成的集合可表示为 C. 集合和表示同一个集合 D. 数值很大的正数可以构成集合 2. “”是“”成立的（   ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 不等式的解集为（　　） A. B. C. D. 4. 已知的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则的值为（ ） A. 5 B. 8 C. 15 D. 17 7. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题: 共3小题， 每小题6分， 共18分. 全部选对的得6分， 部分选对的得部分分， 有错选的得0分. 9. 下列有关函数说法正确的是（ ） A. 定义域和对应法则相同的两个函数是同一函数 B. 定义域和值域相同的两个函数是同一函数 C. 函数的图象与直线的交点至多有1个 D. 式子不可表示自变量为、因变量为的函数 10. 已知，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 11. 定义在上的函数满足下列条件：（1）；（2）当时，，则（ ） A. B. 当时， C. D. 当时， 三、填空题: 本题共3小题， 每题5分， 共15分. 12. 已知集合，则_________. 13. 已知函数满足，且，当时，，则________． 14. 已知，，满足，则的最小值为_________． 四、解答题: 共大题5小题， 共77分. 15. 化简与计算： （1）； （2）； （3）. 16. 为满足市场对某有机水果的需求，某果农计划扩大种植规模和提高水果品质．根据科学预算，需要投入的固定成本为3万元，当产量为吨时，需要投入可变成本万元，且已知当产量为5吨时，需要投入的可变成本为5.5万元．根据市场行情，该有机水果每吨的售价为2万元，假定该有机水果能全部售完． （1）求利润（单位：万元）与产量（单位：吨）的函数关系式． （2）当该有机水果的产量为多少吨时，所获利润最大？请求出最大利润． 注：利润=销售收入－可变成本－固定成本． 17. 已知定义在上的奇函数，当时，， （1）求当时，的解析式； （2）用定义法证明在区间上单调递减； （3）解关于的不等式(其中). 18. 已知二次函数（）满足，． （1）求的解析式； （2）若函数在区间上的最小值为，求实数的值； （3）若对任意，有不等式恒成立，求实数的取值范围． 19. 俄国数学家切比雪夫（1821-1894）是研究直线逼近函数的理论先驱.设是定义在上的连续函数，称为与直线的偏差.若存在使得，则称为直线的偏差点.记，若存在使得，则称为在切比雪夫意义下的最佳逼近直线. （1）函数，，，求，的偏差以及偏差点； （2）函数，，，求，的偏差的最小值，并求出取得最小值时的值； （3）证明：直线是函数在上的最佳逼近直线. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $