精品解析：山西太原师范学院附属中学2026-2027学年高一上学期期中质量监测数学试题

太原师范学院附属中学2026级高一年级期中质量监测 数学试题 注意事项： 1.本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上填写好自己的考号、姓名、校班等信息.将条形码横贴在答题卡“考生条形码粘贴区”. 3.考生作答时，请将答案正确地填写在答题卡上，答在本试卷上无效. 4.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合中的元素，再通过集合的交集运算求解. 【详解】集合，即集合， 则. 2. .“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】由得或；由得或，得或， 故“”是“”的充要条件 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】若有意义，则，解得，故B正确. 4. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】通过举反例排除A、B、D三个错误选项，用作差比较法验证C选项符合不等式性质. 【详解】选项A：如，，满足，但，故A错误. 选项B：如，，满足，但，故B错误. 选项C： . 已知，，则，，因此， 故，即，故C正确. 选项D：若，，不满足，故D错误. 5. 已知幂函数的图象经过点，则图象的大致形状为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设，由，得， 解得，所以， 的定义域为，是偶函数，在上单调递减， 所以图象的大致形状与选项A中的图象一致． 6. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数、指数函数的性质，结合复合函数的单调性判断确定单调递增区间. 【详解】由在上单调递减，在上单调递增， 而在定义域上单调递减，则的单调递增区间为. 故选：D 7. 已知函数是奇函数，则（ ） A. B. 0 C. 2026 D. 4052 【答案】B 【解析】 【分析】先利用的解析式求出的解析式，根据奇函数的性质，让两式相等，根据对应系数相同即可求出答案. 【详解】当时，， 此时，， 因为函数为奇函数，则，则， 即. 则，， 所以. 故选：B. 8. 定义域为的函数满足，，且，当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得出函数的单调性和对称性，再进行分类讨论即可求解. 【详解】，是函数的对称轴. ，当时，， 函数在上单调递增，则函数在上单调递减. ，. 当时，；当或时，. ，或，解得或. 不等式的解集为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的有（    ） A. 与表示同一个函数 B. 若命题“”是真命题，则的取值范围为 C. 命题p: “， ”的否定是: “， ” D. 函数的图象与直线的交点最多有1个 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用相同函数的定义可判断A；分和两种情况求解可判断B；由存在量词的否定可判断C；由函数的定义可判断D. 【详解】对于A：，， 故两函数表示同一个函数，故A正确； 对于B，当时，不等式为对恒成立； 当时，要使得不等式恒成立，则，解得， 综上，的取值范围为，故B错误； 对于C：命题p：“，”的否定是：“，”，故C正确； 对于D：若函数在处有定义，则的图象与直线的交点有1个， 若函数在处没有定义，则的图象与直线没有交点； 所以函数的图象与直线的交点最多有1个， 故选：ACD. 10. 已知，是正数，且，下列叙述正确的是（ ） A. 最大值为 B. 最小值为 C. 最大值为 D. 的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，根据基本不等式直接求解；对于B，由得，再利用常数替换法进行求解；对于C，：，再根据基本不等式求解；对于D，由，再根据基本不等式求解. 【详解】选项A：由基本不等式，， 当且仅当，即（均为正数）时等号成立，故最大值为，A正确； 选项B：由得，则， 但等号成立条件为，联立解得，不符合为正数的要求，故最小值取不到3，B错误； 选项C：，由基本不等式得， 等号成立条件为即，不符合正数要求，故最大值取不到，C错误； 选项D：，由选项A知，故， 等号成立条件为即，符合正数要求，故最小值为，D正确. 11. 定义在上的函数满足下列条件：（1）；（2）当时，，则（ ） A. B. C. 当时， D. 当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过赋值法对各选项进行赋值，求得对应不等式并进行判断. 【详解】令，则，A选项正确； 令，，则，B选项正确； 时，，则, 令，，则，所以，C选项错误； 令，，则， 整理可得：，因为，所以， 则，D选项正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知实数a满足且，则函数的图象过定点______． 【答案】 【解析】 【分析】根据指数函数过定点性质得出结论. 【详解】因指数函数过定点, 令,则，即过定点. 故答案为：. 13. 已知，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先对已知函数进行变形后换元得出函数的解析式，再代入求解． 【详解】，把替换为，则， ． 故答案为：． 14. 已知函数存在最小值，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意，函数最小值在上取得，所以需要分类求出最小值，并且不大于的下界值，即可解不等式得解. 【详解】如图， 当时，在上能取到最小值， 当时，在上能取到最小值， 当时，， 所以函数存在最小值时，需满足当时，，即； 当时，，解得， 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）计算：； （2）已知，求下列各式的值： ①； ②. 【答案】（1）；（2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用指数运算求解即可； （2）①对原等式两边平方即可求解；②化简即可求解. 【详解】（1）原式 ； （2）①因为，所以，即，所以； ②因为，又因为，所以. 16. 已知全集，集合. （1）求； （2）若集合，且，求实数的取值范围. 【答案】（1）， 或 （2） 【解析】 【分析】（1）利用集合的交并补定义即可求解； （2）等价于，再由集合的包含关系和对集合是否非空分类讨论，即可列出不等式组求解. 【小问1详解】 已知. 所以； 又， 或. 【小问2详解】 因为，所以， 当时， ，解得， 当时，，即， 所以实数的取值范围为. 17. 某公司引进一种智能设备投入生产，已知该设备的固定投入为万元，每生产吨产品还需再投入材料、人工等费用万元.根据市场调研，产品的销售单价（万元/吨）与生产量（吨）满足如下关系：（生产吨产品就需更换新设备），假设生产的产品可以全部售出. （1）求总利润（万元）关于生产量（吨）的函数： （2）至少需要生产多少吨产品，公司才不会出现亏损？ （3）当生产量为多少吨时，可使总利润达到最大？ 【答案】（1） （2）吨 （3）吨 【解析】 【分析】（1）根据销售单价公式和成本可知，，再写成分段函数的形式； （2）由分段函数计算当时，由，计算至少需要的产品数量； （3）由分段函数分别计算当和时的最值，再比较大小，即可求解. 【小问1详解】 由题意，， . 【小问2详解】 当时，由，得. 故，整理得. 故，解得，结合，知， 当时，由恒成立， 综上可知至少需要生产吨产品，公司才不会出现亏损. 【小问3详解】 当时，. 因为. （当且仅当，即（吨）时取“”号） 所以（万元）. 当时，因为抛物线的对称轴， 所以（万元）. 因为，所以当生产量吨时，总利润达到最大. 18. 已知函数（且）的图象过点. （1）求的值； （2）用定义法判断函数的单调性，并求函数的值域； （3）当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）. （2）函数在上单调递增，值域为. （3）. 【解析】 【分析】（1）代点求解即可； （2）利用函数单调性的定义进行判断，利用指数函数的值域求的值域； （3）对不等式变形，令，则，利用复合函数单调性求最大值即可. 【小问1详解】 由题可得，解得； 【小问2详解】 由（1）可知， 任取，且，则， 因为，所以，又， 所以，即，所以是增函数， 因为，所以，， 所以，即函数的值域； 【小问3详解】 由（1）可得，当时，， 当时，恒成立，则等价于对恒成立， 令，即， 当时恒成立，即， 由于在单调递增，故在单调递增， 所以当时，， 所以，所以的取值范围为. 19. 已知函数的图象关于对称的充要条件为函数为奇函数. （1）证明：若函数满足，则的图象关于点成中心对称； （2）若函数， （i）求函数图象的对称中心； （ii）若，求. （注：） 【答案】（1） 因为，所以， 令， 所以，所以图象关于中心对称， 又，所以的图象关于点成中心对称； （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）构造函数并证明其图象关于中心对称即可； （2）（i）直接根据（1）条件待定系数解得；（ii）根据函数的对称性及倒序相加可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （2）（i）设的对称中心为，由（1）知，， ， 恒成立，得， 解得，的对称中心为； 由（i）知的对称中心为，所以， 得 所以， ，两式相加， 得 即，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 太原师范学院附属中学2026级高一年级期中质量监测 数学试题 注意事项： 1.本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上填写好自己的考号、姓名、校班等信息.将条形码横贴在答题卡“考生条形码粘贴区”. 3.考生作答时，请将答案正确地填写在答题卡上，答在本试卷上无效. 4.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. .“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 5. 已知幂函数的图象经过点，则图象的大致形状为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数是奇函数，则（ ） A. B. 0 C. 2026 D. 4052 8. 定义域为的函数满足，，且，当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的有（    ） A. 与表示同一个函数 B. 若命题“”是真命题，则的取值范围为 C. 命题p: “， ”的否定是: “， ” D. 函数的图象与直线的交点最多有1个 10. 已知，是正数，且，下列叙述正确的是（ ） A. 最大值为 B. 最小值为 C. 最大值为 D. 的最小值为 11. 定义在上的函数满足下列条件：（1）；（2）当时，，则（ ） A. B. C. 当时， D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知实数a满足且，则函数的图象过定点______． 13. 已知，则的值为___________． 14. 已知函数存在最小值，则实数的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）计算：； （2）已知，求下列各式的值： ①； ②. 16. 已知全集，集合. （1）求； （2）若集合，且，求实数的取值范围. 17. 某公司引进一种智能设备投入生产，已知该设备的固定投入为万元，每生产吨产品还需再投入材料、人工等费用万元.根据市场调研，产品的销售单价（万元/吨）与生产量（吨）满足如下关系：（生产吨产品就需更换新设备），假设生产的产品可以全部售出. （1）求总利润（万元）关于生产量（吨）的函数： （2）至少需要生产多少吨产品，公司才不会出现亏损？ （3）当生产量为多少吨时，可使总利润达到最大？ 18. 已知函数（且）的图象过点. （1）求的值； （2）用定义法判断函数的单调性，并求函数的值域； （3）当时，恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知函数的图象关于对称的充要条件为函数为奇函数. （1）证明：若函数满足，则的图象关于点成中心对称； （2）若函数， （i）求函数图象的对称中心； （ii）若，求. （注：） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $