精品解析：山西大学附属中学校2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题

山大附中2024～2025学年第一学期期中考试 高一年级数学试题 考查时间：90分钟 满分：100分 命题人：李小英 一．选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用集合交集的概念直接求解即可. 【详解】因为集合， 所以， 故选：B 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分性、必要性的概念求解即可. 【详解】因为当“”时不一定满足“”， 当“”时一定满足“”， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B 3. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】直接写出全称量词命题的否定即可. 【详解】“，”的否定是： ，， 故选：A. 4. 下列函数既是幂函数又是偶函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据幂函数的定义,形如的函数时幂函数,幂函数过定点.偶函数定义域关于原点对称,且. 【详解】解:幂函数的图象都经过点，排除A； 与不是偶函数，排除B，D. 故选:C 5. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据根式的定义域求解即可. 【详解】由根式的定义域可得，即， 所以，解得， 所以函数的定义域是， 故选：B 6. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简函数，结合，求得的取值范围，即可求解. 【详解】由题意，函数（）， 令，则，可得， 故（）的值域为． 故选：A. 7. 函数满足对且，都有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用分段函数的单调性，结合一次函数、二次函数单调性列式求解. 【详解】由对且，都有，得函数在R上单调递减， 则，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 8. 已知函数的定义域为R，是偶函数，，在上单调递增，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意判断出函数关于对称，结合函数的对称性与单调性求解不等式. 【详解】∵是偶函数，∴函数关于对称，∴，又∵在上单调递增，∴在单调递减，∴可化为，解得，∴不等式解集为. 故选：A 二．选择题：本题共3小题，每小题5分，共15分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 下列结论中，正确的是（ ） A. 函数是指数函数 B. 函数的值域是 C. 若，则 D. 函数的图像必过定点 【答案】BD 【解析】 【分析】 对每一个选项进行逐一判断其真假，得出答案. 【详解】选项A. 根据指数函数的定义，可得不是指数函数，故A 不正确. 选项B. 当时，，故B正确. 选项C. 当时，函数单调递减，由，则，故C不正确. 选项D. 由，可得的图象恒过点，故D正确. 故选：BD 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查指数函数的定义、单调性以及图象过定点的应用，属于基础题. 10. 已知，，且，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】变换得到得到A正确，利用基本不等式得到判断B，特殊值法判断C错误，应用基本不等式得到D正确. 【详解】已知，，，即，，故，A正确； ，解得，当，即，时等号成立，成立，B正确； 当时，满足成立，，C错误； ，故，当时等号成立，D正确. 故选：ABD 11. 如果我们把集合A的所有子集组成的集合叫做集合A的幂集，记为.用表示有限集A的元素个数.则下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 存在集合A，使得 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A，列出集合的子集，然后得到集合，然后利用元素与集合关系判断即可； 选项B，利用集合元素的个数和子集个数的关系得到的元素个数判断即可； 选项C，利用集合的运算得出集合与集合无相同元素，然后再判断的交集即可； 选项D，利用集合元素个数和集合子集个数的关系判断即可. 【详解】若， 所以 故，选项A正确； 若一个集合有个元素，则其子集个数为个，即，显然当时，无解，故选项B错误； 若已知，则集合与集合无相同元素，故集合与集合只有唯一相同子集，所以，故选项C正确； 若，假设集合有个元素，则集合有个元素，所以集合与集合的子集个数分别为个， 即 故，所以选项D正确. 故选：ACD 三．填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分． 12. 函数的单调递增区间是__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先求出函数的定义域，令，分别求出和的单调区间，再利用符合函数单调性的性质即可求出的单调递增区间. 【详解】因为，得，得或， 解得函数的定义域为. 令，在单调递增. 因为函数在单调递增， 由复合函数的单调性知：在单调递增. 故答案为： 【点睛】本题主要考查符合函数的单调性，特别注意先求定义域，利用复合函数“同增异减”为解题的关键，属于容易题. 13. 已知函数，若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】构造奇函数，利用奇偶性求解即可. 【详解】令，则为奇函数， 因为，所以，， 所以， 故答案为： 14. 已知函数的定义域为，对，满足，，当时，则关于的不等式的解集为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，探讨函数的单调性，并求出的值，再利用单调性脱去法则“”求解作答. 【详解】对，满足，且当时， 任取，且，则，有， 于是， 因此在上单调递增， 又， 解得， 从而，则， 解得或， 所以原不等式的解集是. 故答案为：. 四．解答题：本题共4小题，共49分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）计算：； （2）计算：； （3）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）利用根式及指数运算计算即得. （2）利用指数运算法则化简即得. （3）利用分数指数幂的运算计算即得. 【详解】（1）. （2）. （3）由，得，， 所以. 16. 已知集合或，关于的不等式的解集为. （1）求集合； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）或；（2） 【解析】 【分析】 （1）由，解不等式，即可求出集合； （2）由，可得，进而列出不等关系，即可求出实数的取值范围. 【详解】（1）由题意，，即或， 所以集合或. （2）因为，所以， 由或，或， 可得，即. 所以实数的取值范围是. 17. 某单位有员工名，平均每人每年创造利润万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出名员工从事第三产业，调整出的员工平均每人每年创造利润为万元，剩余员工平均每人每年创造的利润可以提高． （1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？ （2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则的取值范围是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出剩下名员工创造的利润列不等式求解； （2）根据题意得到，转化为在上恒成立，结合基本不等式，即可求解． 【小问1详解】 由题意得：， 即，又， 所以．即最多调整名员工从事第三产业． 【小问2详解】 从事第三产业的员工创造的年总利润为万元， 从事原来产业的员工的年总利润为万元， 则， 所以， 所以， 即恒成立， 因为，当且仅当，即时等号成立． 所以，又，所以， 即的取值范围为． 【点睛】思路点睛： 本题的关键在于如何正确设置利润函数，并通过不等式条件求解.小问1通过构造利润函数并利用不等式进行求解，小问2则结合条件和之间的关系，使用不等式求得的取值范围.需要注意的是，题目中的平均利润受员工数和比例的影响，需要在不等式求解时格外小心. 18. 对于定义在D上的函数，若存在实数m，n且，使得在区间上的最大值为，最小值为，则称为的一个“保值区间”．已知函数是定义在R上的奇函数，当）时，． （1）求函数的解析式； （2）求函数在内的“保值区间”； （3）若以函数在定义域内所有“保值区间”上的图象作为函数的图象，求函数的值域． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用函数的奇偶性即得函数的解析式； （2）根据“保值区间”的概念结合函数的单调性可得关于的方程组，进而构造方程即得； （3）根据函数的性质可得在定义域内所有“保值区间”，进而可得函数，即得. 【小问1详解】 因为为R上的奇函数，则， 因为当）时，， 所以当时，则， ∴， 所以； 【小问2详解】 设，由在上单调递减， 可得， 所以是方程，即的两个不等正根， ， ， 所以在内的“保值区间”为； 【小问3详解】 设为的一个“保值区间”， 则， ∴m，n同号． 当时，同理可求在内的“保值区间”为， ∴， 所以函数的值域是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山大附中2024～2025学年第一学期期中考试 高一年级数学试题 考查时间：90分钟 满分：100分 命题人：李小英 一．选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 下列函数既是幂函数又是偶函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 6. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 7. 函数满足对且，都有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为R，是偶函数，，在上单调递增，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二．选择题：本题共3小题，每小题5分，共15分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 下列结论中，正确的是（ ） A. 函数是指数函数 B. 函数的值域是 C. 若，则 D. 函数的图像必过定点 10. 已知，，且，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如果我们把集合A的所有子集组成的集合叫做集合A的幂集，记为.用表示有限集A的元素个数.则下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 存在集合A，使得 C. 若，则 D. 若，则 三．填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分． 12. 函数的单调递增区间是__________. 13. 已知函数，若，则_________． 14. 已知函数的定义域为，对，满足，，当时，则关于的不等式的解集为__________． 四．解答题：本题共4小题，共49分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）计算：； （2）计算：； （3）已知，求的值． 16. 已知集合或，关于的不等式的解集为. （1）求集合； （2）若，求实数的取值范围． 17. 某单位有员工名，平均每人每年创造利润万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出名员工从事第三产业，调整出的员工平均每人每年创造利润为万元，剩余员工平均每人每年创造的利润可以提高． （1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？ （2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则的取值范围是多少？ 18. 对于定义在D上的函数，若存在实数m，n且，使得在区间上的最大值为，最小值为，则称为的一个“保值区间”．已知函数是定义在R上的奇函数，当）时，． （1）求函数的解析式； （2）求函数在内的“保值区间”； （3）若以函数在定义域内所有“保值区间”上的图象作为函数的图象，求函数的值域． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $