精品解析：重庆市南开中学校2026-2027学年八年级上学期11月期中数学试题

6学科网命组卷网 重庆南开中学2026一2027学年度上学期期中考试初2028届 数学试题 (全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟) 注意事项：1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答. 2.考试结束，试题卷由学生自己保管，监考人员只收答题卡. 一、选择题（本大题12个小题，每小题3分，共36分)在每个小题的下面，都给出了代号 为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请在答题卡中将正确答案所对应的方 框涂黑。 1.下列各选项中，是无理数的是() 12 A.2 B.3.14159 C.-2 D.7 【答案】A 【解析】 【详解】解： 2 是无理数，故A符合题意， 12 3.14159是有限小数，-2是整数，7是分数，均为有理数，故B、C、D不符合题意. 2在平面直角坐标系中，点(5，b+2)在x箱上，则b的值() 0 B.S 92 D.2 【答案】D 【解析】 第1页/共53页 6学科网命组卷网 【详解】解：：点(5,6+2)在x轴上， ∴.该点纵坐标为0，即b+2=0, 解得b=-2. 3.根据下列表述，能确定位置的是() A.学校东南方向 B.教室第3排 C.距离校门口120米 D.北纬30°，东经108° 【答案】D 【解析】 【分析】平面内确定位置需要两个独立的数据，依次判断每个选项是否具备两个数据，找出符合条件的选 项。 【详解】解：选项A只有方向，没有距离，无法确定位置. 选项B只有排数，没有列数，无法确定位置. 选项C只有距离，没有方向，无法确定位置。 选项D北纬、东经是两个数据，可以确定唯一位置. 4.下列计算正确的是() A.2W5+V5=10 B12-33=5 c.V⑧xV2=42 D.54÷V6=3 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则，解答即可. 【详解】解：对各选项逐一计算： A选项； 2W5+V5=3V5≠10 错误。 第2页/共53页 学科网命组卷网 B选项： 2-33=25-33=3≠5，错误 C选项： 8x2=V6=4≠42，错误 D选项： 54÷6=54÷6=9=3,正确. 5.随着AI大模型的普及，某科技公司推出了“AI云算力包”服务，用户可兑换的算力积分y(单位： 分)与租用云算力节点数量x(个)的关系如下表所示.请判断下列关系式正确的是( ) 节点数量x 1 (个) 算力积分y 4.5 9 18 22.5 36 (分) A.y=4.5x By=x+3.5 c.x=4.5y D.y=45 【答案】A 【解析】 459_18_36=45 【详解】解：取表格中多组x与y的对应值计算，得1248 y-4.5 即 y=4.5x 关系式为 6.估计(V40-V18÷V5的值应在) A.1和2之间 B.2和3之间 C.3和4之间 D.4和5之间 【答案】A 第3页/共53页 学科网命组卷网 【解析】 【详解】解：（ W40-√18÷V2=√40÷2-V18÷√2 =20-√9 =√20-3 v16<V20<25 :4<V20<5 .1<V20-3<2 7.某农场使用“大水漫灌”和“滴灌”两种方式灌溉.已知每个大水漫灌点每小时耗水8吨，每个滴灌点 每小时耗水2吨，两种方式同时开启，每小时总耗水量为68吨.若从大水漫灌点中调出3个改为滴灌点， 则两种灌溉点数量相等.设有x个大水漫灌点，y个滴灌点，则列出的二元一次方程组应为() 8x+2y=68 8x+2y=68 A. x+3=y-3 B.x-3=y+3 2x+8y=68 2x+8y=68 C.1x+3=y-3 D.1x-3=y+3 【答案】B 【解析】 【详解】解：每个大水漫灌点每小时耗水8吨，x个总耗水8x吨：每个滴灌点每小时耗水2吨，y个总耗 水2 8x+2y=68 由每小时总耗水量为68吨，得 从大水漫灌点调出3个后，大水漫灌点剩余(x-3)个 第4页/共53页 6学科网 命组卷网 y+3 3个改为滴灌点后，滴灌点数量变为 个 -3=y+3 此时两种灌溉点数量相等，得 8x+2y=68 则所列方程组为x-3=y+3· 8.下列说法正确的是() A.任意一个正数的立方根都是正数 B.在平面直角坐标系中，点（x)位于第二象限，则x+y>0 C.直角三角形中，若两边长为3和4，则第三边长为5 x+y=2 D.二元一次方程组x+y=0有解 【答案】A 【解析】 【详解】解：对选项A,正数的立方根为正数，故A正确. 对选项B,第二象限内的点清是x<0,y>0取=-3，y=1程+y=2<0 ,得 故B错误. 对选项C,未说明3和4均为直角边，若长为4的边为斜边，则第三边长为V4-3=V7,故第三边长 不一定为5，C错误. 对选项D,方程组中x+y不能同时等于2和0，矛盾，故方程组无解，D错误. 9.如图，等腰△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=4,点D为AC中点，点E为△ABC外一点，连 接DE,CE,BE,若此时DE∥AB且DE=CD,则BE的长为() 第5页/共53页 6学科网 命组卷网 A.6 B.4V5 C.3V6 D.213 【答案】D 【解析】 【分析】过点A作AF⊥BC ∠ACB △CDE 于点F,根据等腰三角形的性质可得 的度数，再证明 为等边 ∠BCE 三角形，可得到 的度数，在Rt△1CF中，利用直角三角形的性质可得到 F,CF 的长，即可求解 【详解】解：如图，过点A作AF⊥BC于点F, A :∠BAC=120°，AB=AC=4,点D为AC中点， :∠4C8-080-∠B4C)=30.cD-24C=2.Bc-2Gr. .DE∥AB, .∠ADE=∠BAC=120°. .∠CDE=60°， DE=CD .ACDE 为等边三角形， ∠DCE=60°，CE=CD=2 ∴.∠BCE=∠ACB+∠DCE=90°， 在Rt△ACF 中，AC=4,∠ACB=30 第6页/共53页 6学科网列组卷网 =)4C=2 2 CF=VAC2-AF2=23 BC=4V3 BE=BC2+CB2(43+2=23 10.如图，直线1的解析式为y=2x,点2(，0），P01x轴交直线1于点R,将2逆时针旋转90°得 到0，B0,12,交直线1于点B,将B0逆时针旋转90°得到0，B2,1P0交直线1于点B。 按此规律，点B的坐标为《) V P o2 A.(15,30) B.(31,62) c(63,126) D.(127,254) 【答案】C 【解析】 【分析】根据思意求出，B,乃的坐标，归纳出尸横坠标的通项公式，代入”=6求解 【详解】解：“(，0)，P吧1x轴， 乃横坐标为1，代入y=2x得y=2,即(，2） ∴.2=2 第7页/共53页 6学科网 命组卷网 将 90° 逆时针旋转 得到g 0平行于×轴，且2，=吧=2， B横坐标为1+2=3，代入y=2x得y=6,即B(3,6), .P92=6-2=4 同理，2平行于*轴，且0=2，=4 B横坐标为3+4=7，代入y=2x得y=14,即(7,14) 观察可知.月横华标1=2-1，B横坐标3=2-1，B横坐标7=2-1，..， 1横坐标为2”-1 当”=6时，横坐标为 6-1=6 3,纵坐标为 ×63=126 .P。(63,126 11.如图，点D是△ABC外一点，连接BD,点E在线段BD上，连接AE,CE,AD,其中 AB=AC AE=AD ,若点H为线段BD的中点，连接4H,且CE=2MH,D=,则∠ACB。 的 度数为( 90°-a c180°-2a 90°-2a A D. 【答案】B 【解析】 第8页/共53页 学科网命组卷网 【分析】延长AH至F使HF=AH,证明△AHD≌△FHB,进而证得△ABF≌aCAE,利用全等三角 形的性质和角度关系求解即可. 【详解】解：如图所示，延长AH至点F,使HF=AH,连接BF, H E B ,H为BD中点， :BH DH, AH=FH 在 和 中， ∠AHID=∠FHIB △AHD △FHB DH BH ,∴A△AHD≌△FHB(SAS) ∴.BF=AD∠HBF=∠D=a AE=AD, .BF=AE, .CE=2AH=AF AB=AC ∴AABF≌aCAE(SSS) ∴.∠ABF=∠CAE, .'∠ABF=∠ABD+∠HBF=∠ABD+ 由图可知射线AE在∠BAC内部， ∴.∠CAE=∠BAC-∠BAE 第9页/共53页 6学科网列组卷网 ∠B1C-∠BME=∠ABD+a,即∠BAC=∠ABD+∠BME+a 在△ADE中，AD=AE, ∴.∠AED=∠D=C .∠ABE+∠BAE=∠AED=a, .∠BAC=a+a=2a, AB=AC. .∠4CB=∠ABC=180-∠BAC=90°-a 2 12已知整式M:瓦，+yar++Vax+V瓦，其中n为正整数，V瓦。，VO,,,V瓦均 为整数，且满足，>a>…>a>4>0,记：0，+0十+4+a=k,k为奇数。下列说法： ①若k=25,则n的最大值为1； ②若n=1,k<20,则满足条件的整式M共有3个： ③若n=3,Va≤7，则满足条件的整式M共有15个. 其中正确的个数是( A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】C 【解析】 【分析】先由Va,为整数得4为正整数的完全平方，设m,=Va,则m是严格递减的正整数， m,2+m2++m2+m%,2=k且k为奇数，再逐一分析三个说法. 【详解1解：由V瓦VaV瓦均为整数，且9>01>>4>0，设m=a,则 第10页/共53页 6学科网命组卷网 %≥m>>m21,且%均为正整数，m+m2++m2+m=长，k为商数： 分析①： 要使n最大，需尽可能多的不同正整数的平方和为25： 最小的3个正整数平方和为 +2+3=14,加入4=16得4+16=30>25 若最大平方为4= 6,利余两个不同正整数平方和为25-16=9，不有存在两个不同正整数的平方和为9 P+22=5<91P+32=10>9 3小于4)： 2=9 ,三个不同正整数平方和最大为 +4+1=14<25 若最大平方为 故最多2个不同正整数的平方和为25，即n+1=2,n=1,①正确： 分析②： n=l时， %>m≥1，k=m+m<20且k为奇数，即m,m。一奇一偶； 枚举得： m=1 (奇)，m为偶：m=2(和为5)、m=4（和为17)，共2组， %,= 2(偶)，m为奇：m=3 (和为13)，共1组： m≥3时，m≥4，m+m≥16+9=25>20 无符合条件的组， 共3组，对应3个整式，②正确： 分析③： n=3时，%>%>m>%之1，%≤7，且心++所+m所为奇数，即%，m,m的平方和与 奇偶性相反， m3=4 (偶)：需3个平方和为奇，从1,23选3个，仅1组，平方和为1+4+9=14（偶），不符合， 共0个： 第11页/共53页 学科网命组卷网 m3=5 (奇)：需3个平方和为偶，从1,2,3,4选3个，共4组，其中含2个奇数的有2组，符合，共2个； m3=6 (偶)：需3个平方和为奇，从1-5选3个，共10组，其中含1或3个奇数的有4组，符合，共4 个： m3=7 (奇)：需3个平方和为偶，从1-6选3个，共20组，其中含0或2个奇数的有10组，符合，共 10个： 总计0+2+4+10=16个，③错误； 故正确的个数是2. 二、填空题（本大题共10个小题，13一20题每小题3分，21,22小题每空2分，共32分） 请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上. 13.16的平方根是 【答案】±4 【解析】 【分析】根据平方根的定义，找出平方等于16的数即可得到结果. 【详解】解：：4=16.（-4)2-16 ∴.平方后等于16的数为4和-4， :16的平方根是4。 ±4 x-7y=3m-4 14.已知关于x’y的方程组2x+y=-3m+7,则3x-6y= 【答案】3 【解析】 3x-6y 【分析】观察所求代数式 ,发现正好是方程组两个方程左边相加的结果，直接把两个方程左右两 第12页/供53页 6学科网 命组卷网 边相加，消去参数m,整体求出代数式的值，不用单独解出x、y. x-7y=3m-4 【详解】解：2x+y=-3m+7, ∴.(x-7y)+(2x+y)=(3m-4)+(-3m+7） ∴.3x-6y=3 15.当a= 时，函数y=(a-3)r8-4是一次函数 【答案】-3 【解析】 【分析】根据一次函数定义，自变量x的次数等于1，且一次项系数不等于0，列出方程与不等式求解，舍 去不符合条件的值 【详解】解：~y=(a-3列-4是一次函数， :2-8=1a-3≠0 由云=9得a=3 由a-3≠0得a≠3， ∴.a=-3 16.如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AD上一点，F在AD延长线上，AD=DC, ∠DBC=∠MBC,CB=CF,若CE=8,则4B= ,若 第13页/供53页 6学科网命组卷网 【答案】8 【解析】 【分析】先利用等腰三角形等边对等角，结合已知条件推出∠ABC=∠F,再利用对顶角相等以及 AD=DC AAS △ABD≌ACFD AB=CF ，通过 证明 ,最后根据全等三角形对应边相等得到 ,结合 CE=CF 求出AB的长度. 【详解】解：CE=CF, ∠CBF=LF,即∠DEC=∠F .∠DEC=∠ABC ∴.∠ABC=∠F 在△ABD和△CFD中， ∠ABC=∠F ∠ADB=∠CDF AD=CD :'△ABD≌aCFD(AAS) ∴.AB=CF .CE=CF,CE=8 .AB=8 17.如图，在数轴上，点A表示的数是1，点B表示的数是-1，BC=1.以AB,BC为直角边作 第14页/供53页 命学科网命组卷网 Rt△ABC 以4为圆心， AC 长为半径作弧，与负半轴交于点D.若数轴上D点表示的实数是”，则 D 代数式m-2m+3 值为 D4> -21B012 【答案】7 【解析】 【分析】先算出B长度，由勾股定理求4C,得到4D=AC,写出m=1-V5,变形得到m-=5 整体代入求m-2m+3 【详解】解：A表示1，B表示-1， .AB=1-(-1)=2 .△ABC BC=1 是直角三角形， AC=VAB2+BC2=V22+12=5, ,以A为圆心，AC长为半径作弧，与负半轴交于点D, .AD=AC=5 m=1-V5 m-1=-√5 ∴.(m-1)2=5 ∴.m2-2m=4 第15页供53页 命学科网命组卷网 .m2-2m+3=4+3=7 18.已知实数a,b,c在数轴上的位置如图所示，化简V(a-b)2+b+c-c-a= 06> 【答案】-2c 【解析】 【分析】先根据数轴判断（abc)的大小关系：(a<b<0<c),再判断a-b、（b+c)、c-a的正负， 利用VF=风和绝对值的性质去根号、去绝对值，最后合并化简。 【详解】解：由题意得a<b<0<c,b>g .a-b<0.(b+c<0.c-a>0, V(a-b)+b+c-c-a =a-b+b+c-c-a =-(a-b)-(b+c月-(c-a) =-a+b-b-c-c+a =-2C x+y=5 19.若关于x'y的方程组2x-y=0有正整数解，则所有满足条件的整数k之和是 【答案】11 【解析】 【分析】通过消元法将方程组的解用含k的代数式表示，结合x、y为正整数的条件，筛选出所有符合要 求的整数k,再计算其和. 第16页/供53页 命学科网命组卷网 r5、10 k+2 【详解】解：解了x+y=5得 10 2x-y=0 k+2 ,方程组有正整数解， :、》均为正整数，即>0，>0，且、'为鉴致， 10 5-10>0 .k+2必须为正整数，且满足k+2, 10 -<5 .k+2是10的正约数，且k+2 10 12510 的正约数为，，，， 当k+2=l时，k=-1,此时 =10x=5-10=-5,x为负数，不符合要求，舍去， 当k+2=2时，=0，此时y=5,X=5-5=0,不是正整数，不符合要求，合去， 当k+2=5时，k=3, ty=2,x=3,均为正整数，符合要求， ,此时 当k+2=10时，k=8,此时=1，x=4,均为正整数，符合要求， ∴满足条件的整数k为3和8，其和为3+8=11. 20.如图，正方形纸片ABCD的边长为4，O为DC上一点，F为BC上一点，以O为原点建立如图所示 的平面直角坐标系，AD平行x轴，将△ADO沿着AO折叠，使得点D落在点E处，再将△OFC沿OF 折叠，使得点C也落在点E处，连接DE交AO于点G,则点G的坐标为 第17页/共53页 6学科网6组卷网 42 【答案】5’5 【解析】 【分析】由折叠性质得到OD=OE,OC=OE,推出OD=OC=2;根据折叠可知AO垂直平分DE, 先求出OA长度，再用面积法求DG,勾股定理求OG;过G作GH⊥OD于H,借助面积法求OH, 勾股定理求GH,得到G点坐标， 【详解】解：折叠， ∴.OD=OEOC=OE ∴.OD=OC 4DC=4 “正方形边长为 ∴.OD=OC=2 ·.D(0,2)A(-4,2) 折叠， A0 DE 垂直平分 ∴.AO⊥DE :AD=4OD=2∠AD0=90° 第18页/共53页 6学科网命组卷网 .0A=VAD2+0D2=V42+22=2V5 DOD04-DG x4x2-x25xDG 1 2 解得DG=45 5· 0c=0m-c- 25 5 如图，过点G作GH⊥OD于H. y D G H SODG =1.DG-OG-T.OD.GH 2 2 4v5.2W5 :.GHI=DG.OG-5x 54 OD 2 -5 0w-6o-m-2s-- 第19页/供53页 6学科网命组卷网 d别 21.如果一个四位正整数各个数位上的数字互不相等且均不为0，且千位数字与百位数字的和等于十位数字 与个位数字之和，则称这个数为“汲汲数”.如3452,3+4=5+2,3452是“汲汲数”；又如 5423.5+4≠2+3∴.5423 不是“汲汲数”：最大的“汲汲数”是 ；将一个 “汲汲数”m的千位数字与百位数字交换，十位数字与个位数字交换得到一个新的数m',记 F(m)=m+m 1111,若m的千位数字是a,3a+F(m)=17,则满足条件的最小的m是 【答案】 ①.9687 ②.2938 【解析】 【分析】根据汲汲数定义，找最大数时优先保证高位数字尽可能大，结合数字不重复、不为0、数位和相 等的条件箱选：第二问先通过数位表示化简F(m)的表达式，结合己已知等式得到千位与百位的关系，再按 最小数的要求优先保证千位最小，再让十位尽可能小，筛选符合条件的数 【详解】解：要得到最大的四位汲汲数，需优先让千位数字尽可能大，取千位为9 再让百位数字尽可能大，依次尝试： 若百位为8，则千位+百位=9+8=17，需十位+个位=17，但两个不同的非0一位数和为17仅能是 8+9 ,数字与千位、百位重复，不符合要求 若百位为7，则千位+百位=9+7=16，需十位+个位=16，两个不同的非0一位数和为16仅能是 第20页/供53页 6学科网列组卷网 7+98+8 ，前者数字重复，后者数字相同，不符合要求. 若百位为6，则千位+百位=9+6=15，需十位+个位=15，要让数最大，十位取最大可用数字8，则 个位为15-8=7 9,6,8,7 9687 ，此时四个数字为 ，互不相等且均不为0，符合汲汲数定义，对应数为 设m的千位为a,百位为b,十位为c,个位为d, 根据汲汲数定义，得：a+b=c+d,且4,6c,d, 为互不相等的1至9的整数， 则m=1000a+100b+10c+d, 交换千位与百位、十位与个位后得到m'=1000b+100a+10d+c m+m'=1000a+100b+10c+d+1000b+100a+10d+c=1100(a+b)+11(c+d) ..a+b=c+d :.m+m=1100(a+b)+11(a+b)=1111(a+b) (m)t 3a+F(m)=17 代入得3a+a+b=17,即4a+b=17, :.96 为1到9的整数， ,枚举可能的取值： a=1,b=17-4*1=13 时， ,不是个位数，舍去 a=2,b=17-4*2=9 时， ,符合要求 第21页/供53页 6学科网命组卷网 a=3,b=17-4*3=5 时， ,符合要求 a=4,b=17-4*4=1 时， 符合要求 要找最小的m,需优先让千位a最小，取最小的a=2,对应b=9,此时a+b=11,故c+d=11 要让m=29Cd最小，需让十位c尽可能小，枚举c的可能值： c=1,d=11-1=10 时， ,不是个位数，舍去 c=2,d=11-2=9 .2 9 时， ,数字与千位重复，与百位重复，舍去. c=3时，d=1-3=8,四个数字为 2,9,3,8 互不相等且均不为0，符合要求，对应m=2938 对比其他a值对应的数(a=3时最小为3517，a=4时最小为4123)，均大于2938，故满足条件的最 小m为2938 22.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=120°，DA=DB,点E在线段AB上，连接CE、DE,己知 CD 4 CE=3,且DE3.若∠ADE+90°=2∠DBC,且BD平分∠EDC,则∠EDB= 线段DA的长为 7√39 【答案】 ①.30° ②.13 【解析】 第22页/供53页 6学科网6组卷网 CD 4 【分析】利用角度关系求出∠EDB=30°，可得∠EDC=60°，由DE3,设CD=4k,DE=3k,过 点E作EF⊥CD于点F,过点B作BG⊥CD于点G,作BH⊥DE交DE的延长线于点H,由 EDC=609,在RDEE和RACEF中，利用勾殷定理可得CD=4=123 DE-9V13 13, 13，证明 △EBH≌aCBG,可得EH-CG,再E明RtADHB≌R△DGB(HL),可得DH=DG,设 H=CG=x,可得DM-21 26,在Rt△DHB中，利用勾股定理即可求解. 【详解】解：.DA=DB, .∠DAB=∠DBA, .∠ABC=120°， .∠DAB=∠DBA=120°-∠DBC, :∠ADB=180°-∠DAB-∠DBA=180°-2(120°-∠DBC)=2∠DBC-60 .∠ADE+90°=2∠DBC, .∠ADE=2∠DBC-90°， :∠EDB=∠ADB-∠ADE=(2∠DBC-60）-(2∠DBC-90)=30° :BD平分∠EDC, .∠EDC=2∠EDB=60°， 第23页/供53页 学科网命组卷网 CD 4 .DE3, ∴设CD=4k,DE=3k. 如图，过点E作EF⊥CD于点F,过点B作BG⊥CD于点G,作BH⊥DE交DE的延长线于点H, 则∠EFD=∠EFC=∠BGD=∠BGC=∠BHD=90°， D ,∠EDC=60°. .∠DEF=90°-∠EDF=30°， .DF-1DE-38 2 1 .CF-CD-DF-4k-3k-5k 2 2， 在RADE中，F=DE2-Dn2=(6y-(=9--2. 在RLCEF中.=E-Cr=3-{（j=9-2, 2k2=9-25ke .4 4 13, 第24页/共53页 6学科网命组卷网 :CD=4k=1213 DE=9i3 13, 13, .∠BGD=∠BHD=90°，∠EDC=60°， .∠HBG=360°-∠BGD-∠BHD-∠EDC=120°， .∠HBG=∠ABC=120°， .∠HBG-∠EBG=∠EBC-∠EBG. .∠EBH=∠CBG, :BD平分∠EDC,BG⊥CD,BH⊥DE, .BH=BG, 在△EBH和△CBG中， ∠EHB=∠CGB BH =BG ∠EBH=CBG :.△EBH≌aCBG(ASA) .EH=CG. Rt△DHB,Rt△DGB 在 和 中， DB=DB BH=BG, ,RtADHBS≌RtADGB(HL) .DH=DG. 第25页/供53页 命学科网命组卷网 设EH=CG=x, DWDE+DG-DC-CG2 13-x 913,1213 十X= .13 -x 13 313 解得x=26, .DII3213 131326 26, .∠BHD=90°，EDB=30°， BH-DB 2 在RADH中，Dn+Bm=DB:Dn+DBj=Dn （2E+D=DB. (26+ 4 .DB=7/39 13, DA=DB. D4=DB=139 13· 三、解答题（本大题共9个小题，23题至26题每题8分，27题至31题每题10分，共82 分)解答时给出必要的演算过程，清将解答题的过程书写在答题卡中对应的位置上。 第26页/共53页 6学科网组卷网 23.计算： 1)-27+2-V2+8 e63y5-a- 【答案】(1)-1+V2 2)11-26 【解析】 【分析】(1)先分别计算立方根、去绝对值、化简二次根式，再合并同类二次根式， (2)先把括号内各项化为最简二次根式，再利用多项式除以根式的法则分开计算，最后化简合并. 【小问1详解】 解：-27+2-V2+8 =-3+2-V2+2√2 =-1+2 【小问2详解】 =(10W3+3-62)÷V3 =(11V3-6v2)÷v3 =11W3÷V3-6√2÷V5 =11-2√6 24.解二元一次方程组： 第27页/共53页 命学科网 6组卷网 x+y=-1 (1) 2x-3y=13 x-1_y+l 3 (2) 2y-1x1 424 x=2 【答案】(1)y=-3 x=-8 (2)1y=-7 【解析】 【分析】(1)利用加减消元法，把①式两边同乘2，再减去②式消去x,先求出y,再回代求x. (2)先把原方程组去分母整理成标准二元一次方程组形式，再用加减消元法求解. 【小问1详解】 |x+y=-1① 解：2x-3y=13②' ①×2 得，2x+2y=-2③， ③-②m5y=-15 得， 解得少3 把少3 代入①，得-3=-1 解得x=2, x=2 ∴原方程组的解为y=-3: 【小问2详解】 第28页/共53页 6学科网 命组卷网 g-0 解： 2y-1.x=1② 424 整理①得，2x-3y=5③， 整理②得，-2x+2y=2④， ③+④得， -y=7 解得少7 把y=-7代入®得， 2x-3×(-7)=5 解得x=一8， x=-8 ∴原方程组的解为y=-7, 25.化简求值： (2x+y}+(2x-y(2x+y)-4x(3x-y)=(-4x),其中Vx-2+2y-1=0. x-2y 【答案】化简结果为 ,求值结果为 【解析】 【分析】先化简整式表达式，再利用非负数的性质求出x、y的值，代入化简后的式子计算结果 【详解】解：原式=(4r+4y+y2+42-y-12x2+4):(4x) =（4x2+8y)=(-4x) =x-2y 由Vx-2+2y-=0得，x-2=0,2y-1=0, 1 解得x=2,y=2 第29页/供53页 命学科网命组卷网 代入化简后的式子得， x-2y=2-2x1=1 26.社团活动是重庆南开中学的一大特色.学校秉持允公允能，日新月异的校训精神，开设了大量学生社 团活动课程，涵盖A(科技创新类)、B(体育竞技类)、C(文化艺术类)、D(语言文学类)、E (公益实践类)五种类型，学生在初一年级即可根据兴趣选择参加各类社团课程.为更好地了解学生对社 团课程的喜好，学校从初二年级随机抽取部分学生进行问卷调查：回顾初一学年，你最喜欢的一类社团课 程是哪一类？，调查结果绘制成如下不完整的统计图，请根据统计图的信息，解答下列问题： 人数/人 50 48 40 40 32 30f 20 C 10 30% 0 A B C 类别 抽取学生的调查结果的条形统计图 抽取学生的调查结果的扇形统计图 (1)本次被抽查的学生共有名；在扇形统计图中，D类（语言文学类）对应的圆心角度数为 ;并补全条形统计图： (2)从本次被调查的学生中随机抽取一人，则恰好抽到喜欢B类（体育竞技类）社团课程的概率为 (3)我校初二年级共有约2500名学生，请估计我校初二年级中最喜欢A(科技创新类)和C(文化艺 术类)社团课程的学生总人数 16054 【答案】(1) ,补全条形统计图如下： 不人数/人 50 48 40 40 30 24 20 16 (2) 10 A B CDE类别 抽取学生的调查结果的条形统计图 A 第30页/共53页 6学科网6组卷网 (3)1250人. 【解析】 【分析】(1)先由C类人数和扇形占比求出抽查总人数；再用总人数减去A、B、C、E的人数得到D 类人数：再用D类占比乘360°算出对应圆心角，最后补全条形图. (2)用B类人数除以抽查总人数，得到随机抽到喜欢B类学生的概率. (3)先算出样本中A类和C类人数之和占总抽查人数的比例，再用总人数2500乘这个比例，估计对应 总人数 【小问1详解】 解：48÷30%=160（人）， 故本次被抽查的学生共有160名： 160-32-40-48-16=24 (人)， 24 ×360°=54° 160 故D类（语言文学类）对应的圆心角度数为54°： 补全条形统计图略： 【小问2详解】 P=401 解：恰好抽到喜欢B类（体育竞技类）社团课程的概率为1604： 【小问3详解】 2500×32+48=2500×80 =1250 解： 160 160 (人)， 答：我校初二年级中最喜欢A(科技创新类)和C(文化艺术类)社团课程的学生总人数为1250人· 第31页/供53页 命学科网命组卷网 27.如图，在直角坐标系中，已知4A(a,0),B(0,),且a、b满足a=Vb-3+V3-b+1.将点B向下 平移2个单位长度后再向右平移4个单位长度，得到点C,连接AB、AC、BC,得到△ABC 5 4 -- 3 3 5-4-3-2-10 2345x -24 3 4 -5 (1)请在下图给定的直角坐标系中，画出△ABC.此时，A、B的坐标分别为 y=2x+t BC (2)若直线 经过线段的中点，则的值为 (3)P为x轴上一动点，则PB+PC的最小值为 【答案】(1)画△ABC如图，(（，0)，(0,3) 5-4-3-2-1Ai2345x (2) 3 -2 (3)4V2 【解析】 【分析】(1)根据二次根式有意义的条件，被开方数非负，求出b的值，再算出a,得到A、B坐标：利 第32页/供53页 6学科网命组卷网 用平移规则求出点C坐标，在坐标系描点连线画出△ABC, (2)先用中点坐标公式求出BC中点坐标，再把中点代入直线解析式，解出t, (3)利用轴对称求最短路径，作点B关于x轴的对称点，连接对称点与C,这条线段长就是PB+PC最 小值，再用勾股定理计算 【小问1详解】 解：：a=h-3+V-b+1中二次根式要有意义， b-3≥0 3-b≥0， ∴.b=3 .a=V0+V0+1=1 .A(1,0)B(0,3) :B(0,3)向下平移2个单位，向右平移4个单位得到C, .C(4,1) 在坐标系描 A,0),B(0,3),C(4,）,依次连接三点，画出△MBC略. 【小问2详解】 解B(0,3)C(4,1) 0+43+1 .BC中点坐标： 2,2即(2,2)， 直线少=2x+1过点(2,2)， ∴.2=2×2+t 解得1=-2： 第33页/共53页 学科网丽组卷网 【小问3详解】 解：作B(0,3)关于x轴的对称点B(0,-3),连接BC,PB、PB、PC, 5 3 B 2 5432-1@2p45 2 3 ..PB=PB' ∴.PB+PC=PB'+PC 当B'、卫、C三点共线时，PB+PC最小，最小值为B'C, 由勾股定理得B'C=V(4-0)2+(1-(-3) =√42+42 =√32 =4V2 28.在学习角平分线性质与全等三角形后，小南得到一个结论：如图， 在Rt△MBC中，∠B=90°，CD 平分∠ACB交AB于点D,点E在BC边上，∠BED=∠A,则AC=BC+BE.请根据他的思路完成 以下作图与证明： 第34页/供53页 学科网组卷网 D B E (1)用尺规完成基本作图：过点D作AC的垂线，交AC于点H;(不写作法，保留作图痕迹) (2)在第一问的基础上，求证：AC=BC+BE, 【答案】(1)如图， A (2)证明： 平分 B E :CD∠ACB∠B=90°DH⊥AC ∴.DB=DH∠B=∠DHC=∠AHD=90°∠BCD=∠HCD 在△CBD和△CHD中， ∠B=∠DHC ∠BCD=∠HCD CD =CD ∴.ACBD≌ACHD(AAS) ∴.BC=HC 在△BDE和△HDA中， ∠BED=∠A .·∠B=∠DHA=90° DB=DH 第35页/共53页 学科网命组卷网 :∴△BDE≌aHDA(AAS) ∴.BE=HA, AC=HC+HA ∴.AC=BC+BE 【解析】 【分析】(1)按照尺规作垂线的方法，过点D作AC的垂线，垂足为H,保留作图痕迹. (2)先利用角平分线的性质得到DB=DH,证明△CBD≌aCHD,得BC=HC;再证明 △BDE≌AHDA BE=HA AC=HC+HA ,得 ；最后由 等量代换证出结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 29.某文创店经销甲、乙两款文化衫，已知1件甲款文化衫的进价比2件乙款文化衫的进价还多40元，且 2件甲款文化衫与5件乙款文化衫的进价和为800元.请用方程（组）解决下列问题： (1)求甲、乙两款文化衫的进价分别为每件多少元： (2)九月份，商家购进甲、乙两款文化衫各100件，并分别在进价基础上提高50%定价销售.十月份， 商家通过市场调研，决定再次购进甲、乙两款文化衫（进价不变）·已知购进甲款文化衫的数量比九月份 增加了2m%,甲款文化衫的售价与九月份相同：购进乙款文化衫的数量比九月份增加了2，且乙款文化 12 衫的售价比九月份上涨了5”元.很快全部售出，且十月份购进的这批文化衫总利润率为60%，求m的 值 第36页/供53页 命学科网命组卷网 【答案】(1)甲款文化衫进价为每件200元，乙款文化衫进价为每件80元. (2)m的值为10. 【解析】 【分析】(1)根据甲、乙进价的两个等量关系，设未知数列二元一次方程组求解. (2)先计算九月份两款文化衫的售价，再表示出十月份的进货量、总进价与总售价，结合总利润率列方 程求解m 【小问1详解】 解：设甲款文化衫每件进价为x元，乙款文化衫每件进价为'元， x-2y=40 根据题意，得2x+5y=800, x=200 解得y=80, 答：甲款文化衫进价为每件200元，乙款文化衫进价为每件80元： 【小问2详解】 解：九月份甲款售价 200×1+50%)=300元/件， 九月份乙款售价为 0×(1+50%)=120 元件， 十月份甲款购进数量为100(1+2m%)件， 十月份乙款购进数量为 0个+=150 12 120+m 十月份乙款售价为 5 元件， ·十月份总利润率为60%， 六总售价=总进价×(1+60%) 第37页/共53页 命学科网命组卷网 30x100+2m)+020+号则x150-[20x1o0+2m0)+s0x150]x16 整理得48000+960m=51200+640m, 解得m=10. 17 :y=5x+。 30.如图1，直线 22与x轴交于点A,与y轴交于点B.直线2与x轴交于点C,与y轴交于 点.与直线4交于点E(-3m则.且0D-号0B 7 V B E D O 图1 图2 (1)求直线2的解析式： （2)直线4上有一点P清足S=4,求点P的坐标， (3)如图2，连接BC,将△BCD绕点B逆时针旋转90°得到△BFG,且FG所在直线交y轴于点H, 在直线？上是否存在一点K，使△D为以DH为腰的等腰三角形，若存在，请直接写出所有可能的点 K的横坐标；若不存在，请说明理由 1 【答案】(1)y=- x+1 3 第38页/供53页 6学科网命组卷网 (2)) 3103√10 (3)点K的横坐标为2,2,3· 【解析】 【分析】(1)先把点E(-3,m)代入马解析式求出m,得到E坐标，再求出B点坐标，结合 OD= 20B 得 到D点坐标：设上解析式'=c+b,代入E、D两点坐标，解方程组求出k,b (2)先算出△BDE的面积，因为P、E、D都在直线？上，同高，面积之比等于底边长之比，分P在E 左侧、P在E右侧两种情况，求出P横坐标，再代入得纵坐标 (3)先求C点坐标：利用旋转90°全等+作横平竖直辅助线（一线三垂直）求F、G坐标，不用向量； 求直线FG解析式得到H;再分两类：①DH=DK(D为项角顶点)；②DH=HK(H为顶角顶点)， 构造方程求横坐标即可. 【小问1详解】 7 解：点(-3，m）在直线：y=2+2上. m=-3+2 .E(-3,2) 直线147 =2x+2交y轴于B, 7 令x=0,则少=2， 第39页/共53页 6学科网 命组卷网 0D=20B 7 2x :.0D=72 =1 ∴.D(0,) 设直线2解析式：少=c+b 直线过E(-3,2),D(0,1) 「b=1 -3k+b=2 ∴.-3k+1=2 解得3， 直线解析式。少一子 3t+1 【小问2详解】 7 解B02, D(0,1), BD=7-1= 22, 第40页/供53页 6学科网列组卷网 + .E(-3,2) 5 4 ∴.t+3=1 .t+3=1或t+3=-1, @+3=l时，1=-2 y=-21-. 2 ②+3=1时，1=4 y=3x(4*1-. 4 ♪(2到威(4引 第41页/供53页 6学科网6组卷网 【小问3详解】 h:y= 3x+1 1 1 解： ，令y=0,则3x+1=0 x=3 ceo.a) ∴.C0=3,4 2 .△BCD 90° BFG 绕点B逆时针旋转 得到 ∴.BC=BF∠CBF=90° FNLy 过F作 轴于N, :∠CBO+∠FBN=180°-90°=90°∠CBO+∠BCO=90° .∠BCO=∠FBN .∠COB=∠BNF=90°BC=BF ∴.△BCO≌aFBN(AAS) BN=C0=3, FN-B0-1 2, 第42页/供53页 6学科网命组卷网 ∴ON=OB+BN=7+3=13 2 3. az). D(0,): D1 由旋转 BD=BG=5 2,∠DBG=90°， BG1y轴， 8. 设直线 FG:y=kx+b :8. 3-7k+6 221 .3 2=5k+6 22 解得=3.么=4 .FG:y=3x-4 令X=0y=-4 第43页/供53页 6学科网命组卷网 …H(0-4) D(0,1) .DH=1-(4=5 红写+ 0pm=DK-s,Kx-09+（+1-j= =2s 2或*30 解得x3 2 @当pm=f-=5孤--0++1-(4到-5 解得5=0戈，=3 :x=0时，K(0,）,与点D重合，不能构成三角形，舍去， x=3 3103v10 综上，点K的横坐标为2,2,3 【点睛】本题主要考查了一次函数解析式求解、坐标与三角形面积、旋转全等与一线三垂直模型、等腰三 角形分类讨论、两点间距离公式，熟练掌握一线三垂直构造全等、等腰三角形分类标准、两点距离公式是 解题的关键。 第44页/供53页 6学科网命组卷网 31.在△ABC中，AB=AC,D为直线BC上一点. B B 图1 图2 图3 （4)如图1所示，当∠BAC=0,点D在线段BC上，且D=5,CD=V2时，求AB的长 (2)如图2所示，当∠BAC=90°，D在BC延长线上且BC=CD时，E为△ABC外一点，连接AE, 将AE绕点A逆时针旋转90°至AF,连接CE,CF,DF,若∠B+∠E+∠AFC=90°，求证： CE-DF=2CF (3)如图3所示，当∠BAC=60°，连接AD,将AD绕点A逆时针旋转45°至AM,当AM取得最小 值时，在直线AB上取一点N,连接MN,将△AMN沿MN翻折到△ABC所在的平面内，得到△A'MN, 连 BM当BA取最小值时，直接写出 的值. A'MN 【答案】(1)3： (2)证明：连接BE,过点B作BH⊥BE交CE于H, 第45页/供53页 6学科网组卷网 AE 绕点A逆时针旋转 0°AF 至 ∴.AE=AF∠EAF=90° .∠BAC=90° ∴.∠BAC=∠EAF .∠BAC-∠CAE=∠EAF-∠CAE, 即∠BAE=∠CAF, 在△ABE和△MCF 中， AB=AC ∠BAE=∠CAF AE=AF '.△ABE≌△ACF(SAS) .BE=CF∠ABE=∠ACF∠AEB=∠AFC AB=AC∠BAC=90° .∠ABC=∠ACB=45° .∠ABC+∠AEC+∠AFC=90 .∠AEC+∠AFC=45° .∠AEB=∠AFC, ∴.∠BEH=∠AEB+∠AEC=45° :BH⊥BE, .∠EBH=90° 第46页/供53页 6学科网命组卷网 ∴.∠BHE=45° .∠BEH=∠BHE, ∴.BE=BH,△BEH是等腰直角三角形， ..EH2 =BE2+BH2=2BE2 .EH=√2BE .BE =CF, ..EH=2CF .·∠BHE=45° .∠BHC=180°-∠BHE=135° .∠ACB=45 ∴.∠ACD=135° :∠ABE=∠ACF, ∴.∠ABC+∠CBH+∠EBH=∠ACD+∠DCF,即45°+∠CBH+90°=135°+∠DCF, .∠CBH=∠DCF ·BE=BHBE=CF .BH=CF 在△BCH和△CDF中， BH=CF ∠CBH=∠DCF BC=CD 第47页/供53页 6学科网列组卷网 :∴△BCH≌aCDF(SAS) ..CH=DF .CE=EH+CH ..CE=2CF +DF CE-DF=CF 7-3v2+√6 (3) 3 【解析】 【分析】(I)过A作AH⊥BC于H,由等腰直角三角形三线合一，得AH=BH=CH,设AH=x, 表示HD,在RaAD中用约股定理列方程求出，再在R△4BC中求AB (2)由旋转得到AE=AF,∠EAF=90°，结合∠BAC=90°推导出∠BAE=∠CAF,证 △ABE≌△ACF ∠BEH=45”,作BH LBE交CE手H,得到等度 RtaBEH ；结合角度条件推出 EH=V2BE=V2CF:再推导角相等，结合BC=CD,证明△BCH≌aDCF,得到CH=DF,由 CE=EH +CH 变形得到结论. (3)设等边△1BC边长为2m,由等边三角形三线合、勾股定理算出4D1BC时4D=V5m :由旋转 得4M=MD=V3m,∠DAM=45°，∠BAD=30°，故∠BAM=75°：过M作MP1AB于P,在 MP上取，使M0=10,由等边对等角 ∠QAM=∠AMP=15° ∠AQP=30° 外角性质得 利用 第48页/供53页 6学科网 命组卷网 含30°直角三角形边长关系、勾股定理表示线段，根据三角形的三边关系，得到当B,A,M共线时， BM BA'最小；△BMN与△AMN同高，面积比等于底之比AM,最后求比值的平方. 【小问1详解】 解：，'AB=AC,∠BAC=90° .∠B=∠ACB=45° 如图，过点A作AH⊥BC于H, H D ∴.∠AHB=∠AHC=90° AB=AC ..BH=CH, .∠C=45°∠AHC=90° .△AHC 为等腰直角三角形， .AH=CH 设AH=CH=x, :CD=√2 ∴.HD=CH-CD=x-V2 .∠AHD=90° 第49页/供53页 6学科网命组卷网 AH+HD=AD2,即+(-V2=(52, 3V2.V2 解得= 2, 2 x>0 3V2 ..x= 2, 2 CH= 2, ∴.BC=2CH=3V2 .∠BAC=90°AB=AC .AB2+AC2 BC2 2AB2=(3V2)2 AB=3 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：：AB=AC,∠BAC=60°， ∴.△ABC 是等边三角形， 设AB=BC=AC=2m, ,AD⊥BC M 时，垂线段最短， AD最小，此时 最小， 第50页/共53页 6学科网 组卷网 :BD=)BC=m,∠ADB=90°， :AD2+BD2=4B2,D+m=(2m)2 .AD=3m AD 绕点逆时针旋转45°得到MM A 45° ∴.AM=AD=V3m∠DAM=45° .AD⊥BC△ABC 是等边三角形， ∠BaD-n4C=30r .∠BAM=∠BAD+∠DAM=30°+45°=75° 如图，连接BA,BM,过点M作MPLAB,垂足为P,在MP上取点e,使M0=A0 B .∠APM=90°， ∴.∠AMP=180°-90°-75°=15°， .MO=10, ∴.∠QAM=∠AMP=15°， :∠A0P是△A0M 的外角， 第51页/供53页 6学科网6组卷网 ∴.∠AQP=∠QAM+∠AMP=30° RIAPS9∠AP9=90°∠AQP=30° 在 中， .AO=2AP 设AP=t, ∴.Ag=2tMQ=AQ=2t ∴Pg2+Ap2=Ag,即PO2+=(2 :P№=V3t ∴.MP=Mg+P9=2t+V3t 在RtsAPM中，Ap+Mp=AM2即+21+V3=(V3m, r 6m2-33t-m6-35 .t=\ 2 :(8+43)=3m2. AB=2m .BP=AB-AP=2m-1 在Rt△BPM中， ∠BPM=90° ∴.BM2=BP2+MP2 BM2=(2m-t2+(2+3d月 第52页/供53页 6学科网命组卷网 =4m2-4mt+i2+2(7+4v3 =4m2-4mt+(8+4V3 :2(8+4v3=3m2 .BM2=4m2-4mt+3m2=7m2-4mt =6-35 .BM2=7m2-4mgV6-33-(7-32+6）m :AM2=3m2 (BM 7-3W2+6 AM 3 由翻折的性质：△AMW≌△AMN, .MA'=MA SKMN =SAMN .BA≥BM-A'M, 当BA,M三点共线，且A在线段BM上时，BA'最小， 3 第53页/共53页 重庆南开中学2026—2027学年度上学期期中考试初2028届 数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项：1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答． 2．考试结束，试题卷由学生自己保管，监考人员只收答题卡． 一、选择题（本大题12个小题，每小题3分，共36分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请在答题卡中将正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列各选项中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点在x轴上，则的值（ ） A. B. C. D. 3. 根据下列表述，能确定位置的是（ ） A. 学校东南方向 B. 教室第3排 C. 距离校门口米 D. 北纬，东经 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 随着大模型的普及，某科技公司推出了“云算力包”服务．用户可兑换的算力积分（单位：分）与租用云算力节点数量（个）的关系如下表所示．请判断下列关系式正确的是（ ） 节点数量（个） 1 2 4 5 8 算力积分（分） 4.5 9 18 22.5 36 A. B. C. D. 6. 估计的值应在（） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 7. 某农场使用“大水漫灌”和“滴灌”两种方式灌溉．已知每个大水漫灌点每小时耗水8吨，每个滴灌点每小时耗水2吨，两种方式同时开启，每小时总耗水量为吨．若从大水漫灌点中调出3个改为滴灌点，则两种灌溉点数量相等．设有个大水漫灌点，个滴灌点，则列出的二元一次方程组应为（ ） A. B. C. D. 8. 下列说法正确的是（） A. 任意一个正数的立方根都是正数 B. 在平面直角坐标系中，点位于第二象限，则 C. 直角三角形中，若两边长为3和4，则第三边长为5 D. 二元一次方程组有解 9. 如图，等腰中，，，点为中点，点为外一点，连接，，，若此时且，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，直线l的解析式为，点，轴交直线l于点；将逆时针旋转得到，交直线l于点；将逆时针旋转得到，交直线l于点；按此规律，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，点是外一点，连接，点在线段上，连接，，，其中，，若点为线段的中点，连接，且，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 12. 已知整式，其中为正整数，，，，均为整数，且满足，记：，为奇数．下列说法： ①若，则的最大值为1； ②若，，则满足条件的整式共有3个； ③若，，则满足条件的整式共有个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题共10个小题，13—20题每小题3分，21，22小题每空2分，共32分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 13. 16的平方根是_______． 14. 已知关于，的方程组，则______________． 15. 当________________时，函数是一次函数． 16. 如图，在中，是边上一点，是上一点，在延长线上，，，，若，则__________________． 17. 如图，在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，．以，为直角边作，以为圆心，长为半径作弧，与负半轴交于点．若数轴上点表示的实数是，则代数式的值为__________________． 18. 已知实数，，在数轴上的位置如图所示，化简__________________． 19. 若关于，的方程组有正整数解，则所有满足条件的整数之和是__________________． 20. 如图，正方形纸片的边长为，为上一点，为上一点，以为原点建立如图所示的平面直角坐标系，平行轴，将沿着折叠，使得点落在点处，再将沿折叠，使得点也落在点处，连接交于点，则点的坐标为__________________． 21. 如果一个四位正整数各个数位上的数字互不相等且均不为0，且千位数字与百位数字的和等于十位数字与个位数字之和，则称这个数为“汲汲数”．如，，是“汲汲数”；又如，，不是“汲汲数”：最大的“汲汲数”是__________________；将一个“汲汲数”的千位数字与百位数字交换，十位数字与个位数字交换得到一个新的数，记，若的千位数字是，，则满足条件的最小的是__________________． 22. 如图，在四边形中，，，点在线段上，连接、，已知，且．若，且平分，则__________________，线段的长为__________________． 三、解答题（本大题共9个小题，23题至26题每题8分，27题至31题每题10分，共82分）解答时给出必要的演算过程，请将解答题的过程书写在答题卡中对应的位置上． 23. 计算： （1） （2） 24. 解二元一次方程组： （1） （2） 25. 化简求值：，其中． 26. 社团活动是重庆南开中学的一大特色．学校秉持允公允能，日新月异的校训精神，开设了大量学生社团活动课程，涵盖（科技创新类）、（体育竞技类）、（文化艺术类）、（语言文学类）、（公益实践类）五种类型，学生在初一年级即可根据兴趣选择参加各类社团课程．为更好地了解学生对社团课程的喜好，学校从初二年级随机抽取部分学生进行问卷调查：回顾初一学年，你最喜欢的一类社团课程是哪一类？，调查结果绘制成如下不完整的统计图，请根据统计图的信息，解答下列问题： （1）本次被抽查的学生共有 名；在扇形统计图中，类（语言文学类）对应的圆心角度数为 ；并补全条形统计图； （2）从本次被调查的学生中随机抽取一人，则恰好抽到喜欢类（体育竞技类）社团课程的概率为 ； （3）我校初二年级共有约名学生，请估计我校初二年级中最喜欢（科技创新类）和（文化艺术类）社团课程的学生总人数． 27. 如图，在直角坐标系中，已知，，且、满足．将点向下平移个单位长度后再向右平移个单位长度，得到点，连接、、，得到． （1）请在下图给定的直角坐标系中，画出．此时，、的坐标分别为                  、                  ． （2）若直线经过线段的中点，则的值为                  ． （3）为轴上一动点，则的最小值为                  ． 28. 在学习角平分线性质与全等三角形后，小南得到一个结论：如图，在中，，平分交于点，点在边上，，则．请根据他的思路完成以下作图与证明： （1）用尺规完成基本作图：过点作的垂线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在第一问的基础上，求证：． 29. 某文创店经销甲、乙两款文化衫，已知1件甲款文化衫的进价比2件乙款文化衫的进价还多元，且2件甲款文化衫与5件乙款文化衫的进价和为元．请用方程（组）解决下列问题： （1）求甲、乙两款文化衫的进价分别为每件多少元； （2）九月份，商家购进甲、乙两款文化衫各件，并分别在进价基础上提高定价销售．十月份，商家通过市场调研，决定再次购进甲、乙两款文化衫（进价不变）．已知购进甲款文化衫的数量比九月份增加了，甲款文化衫的售价与九月份相同；购进乙款文化衫的数量比九月份增加了，且乙款文化衫的售价比九月份上涨了元．很快全部售出，且十月份购进的这批文化衫总利润率为，求的值． 30. 如图1，直线与轴交于点，与轴交于点．直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点，且． （1）求直线的解析式； （2）直线上有一点满足，求点的坐标； （3）如图2，连接，将绕点逆时针旋转得到，且所在直线交轴于点，在直线上是否存在一点，使为以为腰的等腰三角形，若存在，请直接写出所有可能的点的横坐标；若不存在，请说明理由． 31. 在中，，为直线上一点． （1）如图1所示，当，点在线段上，且，时，求的长； （2）如图2所示，当，在延长线上且时，为外一点，连接，将绕点逆时针旋转至，连接，，，若，求证：； （3）如图3所示，当，连接，将绕点逆时针旋转至，当取得最小值时，在直线上取一点，连接，将沿翻折到所在的平面内，得到，连接．当取最小值时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $