浙江省北斗联盟2026-2027学年高二上学期11月期中数学试题

绝密★考试结束前 高二年级数学学科试题 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。 4.考试结束后，只需上交答题纸。 选择题部分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1.已知集合A=01,36,以，B={〈xx2=x,则A国8=( A.{0,} B.{3,6 C.{0,1,9} D.{0,3,9} 2椭圆父+上 =1的焦点坐标为() 10036 A.(0,-8),(0,8) B.(0,-10),(0,10) C.(-8,0),(8,0) D.(-10,0),(10,0) 3.已知复数z=3-2i,则2-=() A.3V2 B.V13 C.22 D.V10 4.若点(a,0)(a>0)是函数y=2tan 兀 的图象的一个对称中心，则α的最小值为() A交 4 B.交 D.4n 2 3 5已知a)是定义布k上且周期为2的偶函数，当2≤时，f=2x-5,则f()-() A.1 2 B.I D.1 2 4 6已知0<a<元，cos9=5 25,则sna+T A,② B.V2 C.3W2 D.72 10 10 10 7.在平面直角坐标系中，点A(2,4),直线：x+y+2=0,圆C:(x-6)2+(y-1)2=1,点P为 直线I上一点，点Q为圆C上一点，则AP+PQ的最小值为() A.V万-1 B.√7 C.9 D.12 BDLM高二数学学科试题第1页（共4页） 8已知函数f()=2x+对称中心在直线y=m+ba>0上，则G+36 的最小值为() x-1 2a A.4V5-6 B.4W5+6 C.26-4 D.2N6+4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.△ABC的三个顶点坐标为A(4,0),B(0,3),C(6,7),下列说法中正确的是() A.边BC与直线3x-2y+1=0平行 B.边BC上的高所在的直线的方程为3x+2y-12=0 C.过点C且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为x-y+1=0 D.过点A且平分△ABC面积的直线与边BC相交于点D(3,5) 10.已知圆C1:x2+y-4x-2y=0,圆C2:x2+y2+x+y=0,则下列说法正确的是() A.圆C1,C,恒有公共点 B.圆C1,C,至多有四条公切线 C.若圆C2平分圆C1的周长，则2m+n=-10 D.若圆C,平分圆C,的周长，则m+n的最小值为-11 11.在棱长为2的正方体ABCD-AB,CD,中，点P满足BP=BC+uBB(2u∈[O,1]),点Q满足 42=t4C(0≤t≤1)，则() A.当=2时，B0=5 BBG儿 B.当1=0且4≠0时，AO与BP的夹角为定值 C.当2=4时，线段AP的最小值为2√2 D. 349+P四的最小胤为2 非选择题部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.直线x-y+√3=0的倾斜角为 13.在平行六面体ABCD-ABC1D中，若AB=AD=A4=1,∠BA4=∠DAA=∠BAD=60, 则AC1= 14.己知过球面上A,B,C三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且AB=BC=2, ∠ABC=120°，则球的表面积是 BDLM高二数学学科试题第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知圆C过O(0,0),A(4,0),B(0,4)三点. (I)求C的方程： (2)求直线x-y+1=0被C所截得的弦长. 频率 16.(15分)某校抽取1000名学生进行了航天知识竞赛并记录 组距 0.04 得分（满分：100分），根据得分将数据分成7组： [20,30),[30,40),,[80,90],绘制出如下的频率分布直方图。 (1)根据频率分布直方图，求竞赛学生得分的众数和中位数；0.02 (2)先从得分在[70,90]的学生中利用分层抽样选出6名学 0.01 生，再从这6名学生中选出2人参加有关航天知识演讲活动， 求选出的2人中竞赛得分至少有1人不低于80分的概率， 2030405060708090分数 17.(15分)记团ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,己知sinA+cosA=√2· (I)求A: (2)若a=2√2，bsinC=csin2B,求△ABC的周长. BDLM高二数学学科试题第3页（共4页） 18.(17分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD,底面ABCD为直角梯形，其中 AB∥CD,AD⊥AB,AD=PD=CD=2,AB=1,E为PA的中点，F为PC上的动点， (I)求证：DE⊥平面PAB: (2)当F为PC的中点时，求平面BEF与平面PAB夹角的余弦值： 4 ③)当A到平面DEF的距离为3时，PB与平面DEF的交点为G, 求PG的长 B 917分)已知椭圆C无+方a>b>0的离心案为，V③ ,且经过点P2,), 2 (1)求椭圆C的方程： (2)过Q(-2,0)的直线1与椭圆C相交于E,F两点，点R(1,0),求△REF面积的最大值. BDLM高二数学学科试题第4页（共4页）绝密★考试结束前 高二年级数学学科参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.A2.C3.D4.B5.B6.A7.D 8.A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.BD 10.ACD 11.ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12牙咸45)13.V6 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(1)设圆为x2+y2+Dx+Ey+F=0, 「F=0 将O(0,0),A(4,0),B(0,4)分别代入得：16+4D=0,…3分 16+4E=0 D=-4 .E=-4, …6分 F=0 .圆的方程为x2+y2-4x-4y=0. …7分 (2)由1)得圆心C(2,2),半径r=2√2， …9分 圆心C(2,2)到直线x-y+1=0距离d=2-2+1-V2 ……11分 √2 2 弦长1=2P-=222-(9=50 …13分 BDLM高二数学学科试题第1页（共6页） 16.()由频率分布直方图可知：[70,80)的频率最大，则众数为75分：…2分 [60,70),[70,80),[80,90]的频率分别为0.2,0.4,0.2， 设中位数为x,则x∈[70,80)， 由题意可得：0.04(80-x)+0.2=0.5, …4分 解得x=72.5,故中位数为72.5分. …6分 2)[70,80),[80,90]人数之比为2：1， .[70,80)应抽取4人，设为A,B,C,D,[80,90]应抽取2人，设为E,F,…8分 这6人中再任选2人，共15种不同选法，如下： AB、AC、AD、AE、AF、BC、BD、BE、BF、CD、CE、CF、DE、DF、EF,…I0分 法一：①其中恰有1人竞赛得分不低于80分的选法有8种：AE、AF、BE、BF、CE、CF、DE、DF, ②其中选出的2人竞赛得分都不低于80分的选法有1种：EF, ∴.选出的2人竞赛得分至少有1人不低于80分的选法包含9种，…13分 故选出的2人中竞赛得分至少有1人不低于80分概率P=9-3 155 …15分 法二：选出的2人竞赛得分都低于80分的选法有6种：AB、AC、AD、BC、BD、CD,…13分 故选出的2人中竞赛得分至少有1人不低于80分概率P=1-6-3 =.…15分 155 1R.油A+osA=2可得5mA+ 2c08A=1,即sim(4+Z)=1,…2分 2 由于A@动日4+牙e〔原第，故4+异受解得4-开 5π、 …4分 4 (2)由题设条件和正弦定理：bsinC=csin2B→sin Bsin C=2 sin C sin B cos B,…6分 又B,C∈(0，m),则sin BsinC≠0，进而cosB=),得到B=乃 3 …8分 5π 于是C=π-A-B= ……9分 121 sinc-sin(--B)=sin()=sin dcosBsin Bcos= …11分 4 2W2 b 由正弦定理可得， a b sinA sinB"sinc,即in元 =4 5 ,…12分 S11 3 sin 12 解得b=2√5，c=√6+√2， …14分 故△ABC的周长为2√5+√6+3√2 …15分 BDLM高二数学学科试题第2页（共6页） 18.(1)法一：由己知，以D为原点，DA、DC、DP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图， ZA 各点坐标为：D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,1,0),P(0,0,2),E(1,0,1),…2分 P 向量DE=(（1,0,1),PA=(2,0,-2),AB=(0,1,0), DE.PA=1×2+0×0+1×(-2)=0,∴.DE⊥PA, B DE·AB=1×0+0×1+1×0=0,∴.DE⊥AB,…4分 ,PAOAB=A,且PA,ABC平面PAB, ∴.DE⊥平面PAB …5分 法二：AD=PD,E为PA的中点，DE⊥PA,…1分 .PD⊥平面ABCD,.PD⊥AB, ,AB⊥AD,PDOAD=D,.AB⊥面PAD, ,DEC面PAD,.AB⊥DE, …4分 ,PA∩AB=A,且PA,ABC平面PAB, .DE⊥平面PAB …5分 (2)F为PC中点时，F(0,1,1), …6分 则BE=（-1,-1,1),BF=（-2,0,1) 设平面BEF的法向量为h=（x,,)， n·BE=-x-+21=0 BF=-2x+2=0 ,令x=1,得到n=(1,1,2), …8分 由(I)知DE⊥平面PAB, 取平面PAB的法向量n,=DE=(1,0,1): 设平面BEF与平面PAB夹角为B, 则cos0=|n%=I1x1+1×0+2×1川3 5 ………10分 nn2| V2+1+22.V1P+12V6√22 (3).F为PC上的动点，∴.设F(0,2t,2-2t),t∈[0,1]， BDLM高二数学学科试题第3页（共6页） DE=(1,0,),DF=(0,21,2-21),DA=(2,0,0), 平面DEF的法向量为=(x,y3,二3)， 元DE=x3+23=0 则 西DF=2+(2-20)3=0令3=6，则元=(41-1，） 4 ,A到平面DEF的距离为 3 DA.n -2 2t n V2+(t-1)2+2V32-21+13' 化简得到32-8+4=0，解得1=3或1=2（合去）， …13分 r0》-(子》 设G(x,y,z），令PG=uPB,(0≤u≤1)， 则(xy,2-2)=4(2,1,-2)，.G(244,2-24),即DG=(244,2-24), %DG=0,甲-号2（号2-20=0. …16分 :.PG …17分 之，可得3 19.①)离心率e=C=V3 we-3a. 4 又a2=b2+c2,可得6= a2, …2分 4 脑国经达点25.可宁+ -1,解得d=16公=4，…4分 :椭圆方程为+上=1 …5分 164 BDLM高二数学学科试题第4页（共6页） 2法：当直线1斜率不存在时，(-25)，(-2，-)，8Ek3=35:6分 设直线1斜率存在时，方程为y=(x+2),点E(x,乃)，F(2,y),如下图： 联立164=1， 整理得(1+42)x2+16k2x+16k2-16=0, y=k(x+2) R 16k2 则△=64(3k+0,+x=1+4软X 16k2-16 1+4,…8分 2列例=V1+压-=+8V3+, …10分 4k2+1 3 又点R到直线l的距离为d= V1+k2 1.3k V+积8W3k+1 k2(3k2+1) …12分 4k2+1 =12× (4k2+1)3 .k≠0，.令t=4k2+1>1, 则S.REF=3× 44 ...3(35) …16分 综上，SRzr∈(0,3V5,SA的最大值35.…17分 法二：要形成△REF,∴.直线l斜率不为0，故设直线l方程为x=y-2.…6分 设点E(x,),F(x2,2), x2y2 1 联立164，整理得(m2+4)y2-4w-12=0, x=my-2 -12 则A三64m+3y+y"十A大2 …8分 BDLM高二数学学科试题第5页（共6页） E列=+mly-为=+m8m+3,。 …10分 m2+4 3 又点R到直线1的距离为d= √1+m .S.REF= 13 V1+m2 8Vm2+3 =12xVm+3 2√1+m m2+4 m2+4’12分 12t12 令1=m+325,则8F 1 :g0=t+在[V5,+∞)上单调谴拥，∴g02g=4W5。 3 1 ;…16分 t+- 综上，当m=0,即1方程为x=-2时，SA的最大值3V5.…17分 BDLM高二数学学科试题第6页（共6页）