广东茂名市高州市2026-2027学年第一学期期中考试高二数学试题

2026~2027学年度第一学期期中考试·高二数学 参考答案、提示及评分细则 题号 1 2 3 4 5 6 7 P 答案 A C D B C B C A 题号 9 10 11 答案 BCD BCD CD 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共0分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.【答案】A 【解析】因为A(一3，一6)，B(一3,5)，所以经过A,B两点的直线与x轴垂直，所以其倾斜角为90°.故选A 2.【答案】C 【解析】BA+AC-BP=BC-BP=PC.故选C. 3.【答案】D 【解析】该学生10次的英语成绩从小到大分别为84,85,86,86,87,88,88,89,89,91.又10×50%=5，这10次 成绩的50%分位数为788=87.5.故选D. 2 4.【答案】B 【解析】CB=√(3-6)+(-2+1)严=√10，所以圆的半径r=√/10，又以C(3,一2)为圆心，所以圆的标准 方程为：(x-3)2十(y十2)2=10，故选B. 5.【答案】C 【解析】对于A:由题意可知P(A)=1一P(A)=0.3,故A正确； 对于B:因为A二B,所以P(AB)=P(A)=0.3,故B正确： 对于C:P(AB)=0.2,根据并事件的概率公式得P(A十B)=P(A)十P(B)-P(AB)=0.3十0.4-0.2= 0.5,故C错误； 对于D:A,B互斥，则P(AB)=0,由概率的加法公式可得P(A十B)=P(A)十P(B)一P(AB)=0.3十0.4= 0.7,故D正确.故选C 6.【答案】B 【解析】由已知得BC=CC-Ci=CC-(Ai-AC)=a-b+c,故选B 7.【答案】C x= 【解析】点(-1,5)关于2x-y十2=0对称的点设为(x,y),则 → ,反射光线经过 (x-1)-5y+2=0 (y=3 2 点(3,3》，(2,7)，k=二3=一4，则反射光线所在的直线方程为y=-4x-3)十3，即4x十y一15=0，故选C. 2-3 8.【答案】A 【解析】，BT⊥AP,∴.点T的轨迹是圆，其方程是：x2十y=1,过点P作该圆的切线PC,C为切点，则PC =,由切别线定理得：PC=PA·PT=3,所以2PA十3PT=2PA十≥2=6（当 且仅当PA=3三时取等).故选A 【高二数学参考答案第1页（共5页）】 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.【答案】BCD 【解析】对于A选项，由正切函数的图象，可知选项A正确： 对于B选项，与y轴平行的直线不存在斜率，可知B选项错误： 对于C选项，要求A,B不同时为零，可知C选项错误； 对于D选项，x轴，y轴不经过任何象限，可知D选项错误.故选BCD. 10.【答案】BCD 【解析】样本空间为2={1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A={2,5,8},B={1,2,3,4,5,6},C=(7,8,9}. 因为A∩C={8},所以事件A与事件C不是互斥事件，故A错误； 因为BUC=〈1,2,3,4,5,6,8,9}，B∩C=☑，所以事件B与事件C为对立事件，故B正确； 因为P(AB) 号，P(A)=号-号，P(B)=号=号，所以PAB)=P(AP(B,即事件A与事件B相互独 立，故C正确： 由题意可得A=13,46,79)和B=7,8,9,所以A∩B=7,9,所以P(AnB)=号，放D正确：故 选BCD. 11.【答案】CD 【解析】在△ABC中，∠ACB=90°，则AC⊥BC,又在直棱柱ABC-A1B,C中，有CC1⊥平面ABC,则CA, CB,CC两两垂直，则以C为原点，CA,CB,CC所在的直线分别为x轴，y轴，之轴建立如图所示空间直角 坐标系，又AA1=AB=2,AC=1,则CB=√3，D是BB1的中点，则C(0,0,0), A(1,0,0)B(0√3,0)，C(0,0,2),A(1,0,2),B(03,2),D(0,W3,1),则 AC=(-1,0,2),CD=(0W3,-1),设平面ACD的一个法向量为n= AC·n=-x十2x=0, (x,y,之)，所以 CD.n=3y-x=0, 取y=3,则之=3，x=6,即n =(6w5,3). 对于A,由CB=(0√5,0)，且C克·n=3≠0，所以BC与平面ACD不平行，故A错误： 对于B,由CD=(0W,-1),CA=(1,0,2),所以直线CD与直线A:C所成角的余弦值为cos(C方， CAI)- 盈高-9成： 时于C,由AA(00,2),所以点A到平面AGD的距离为d一A-号放C正编 对于D,由点P为侧面AA1CC(含边界)上一点，则设P(x,0,x),0≤x≤1,0≤≤2，则BP=(x,-5,z), 又BP∥平面ACD,且BP丈平面ACD,则BP⊥n,即BP·n=6x-3+3z=0,得x=1-2x,即BP= 0≤x≤1， (x,-√3,1-2x),且 0≤1-2r≤2， 解得0≤x≤号，则线段BP的长为B= √F+(一)+(1-2)F=√5r一4x十不，又y=5x2-4红十4是开口向上，对称轴为x=号的抛物线， 当x=0时，y=4:当=时，=号，所以线段BP的长的最大值是|=厅=2，故D正确.故选CD. 【高二数学参考答案第2页（共5页）】 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.【答案】15 【解析】这25人中男生的人数为25×200一80=15人. 200 13.【答案】1 1= 【解析】因为b,c不共线，且向量a,b,c共面，所以存在入，4使得a=b十c,则有了x=入，解得x=入==1. 2=2x 14.【答案】0或4 【解析】设直线l上一点为P(xo,yo),则y%=2-xo,则d(B,P)=xo一a十y%一0=xo一a十2-x= x一a十x。一2，根据绝对值的儿何意义，x。一a十x一2的最小值为数轴上表示a与2的两点间距 离，即a-2,则a-2=2,解得a=0或4. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤， 15.【答案】(1)2x十y=0或4x十y十2=0(2)x十y-1=0或4x十y十2=0 【解析1(1)①若直线1过坐标原点，可得直线1的斜率为一)— 2-0 =2,1分 直线l的方程为y=一2x,化为一般式为2x十y=0:………………2分 ②若直线1不过坐标原点，设直线1的方程为÷十六=1口≠0， 代入点P的坐标有-占+名-1，解得a=一号； ……………4分 可得直线1的方程为-2x十立2=1，化为一般式为4x十y十2=0. 由上知，所求直线l的一般式方程为2x十y=0或4x十y十2=0.………………6分 (2)直线1显然不过坐标原点，设直线l的方程为y一2=k(x十1)，整理为y=kx十k十2， 直线1与x的交点坐标为(-，0），与y销的交点坐标为(0，k十2)…8分 有号(k十2)X=2,解得=一4或k三-1，… 故直线l的方程为y=-x十1或y=-4x-2, 即直线l的一般式方程为x十y一1=0或4x十y十2=0.……………………13分 16.【答案1品(2)错 【解析1(1D只有农产品加工和绿色蔬菜种植两个项目成功的概率为子×号×(1一号)一名， …3分 只有农产品加工和水果种植两个项目成功的概率为子×(1一号)×号=， 2_1 6分 只有绿色蔬菜种牧和水果种植两个项目成功的概率为(1一号)×名×号=号 ，……9分 ÷恰有两个项目成功的概率为行十言十号-品： …………10分 (2)三个项目全部失败的概率为(1-三)×(1-。)×(1-号)= 13分 “至少有一个项目成功的概率为1一行-错， …15分 【高二数学参考答案第3页（共5页）】 17.【答案11a=0.015,100(2)71(3)号 【解析】(1)由题意知(0.005十a十0.030十0.025十a十0.010)×10=1，………………3分 解得a=0015,……………4分 故测试成绩在[80,100]内学生的人数为400×(0.015十0.010)×10=100；……5分 (2)x=45×0.05+55×0.15+65×0.3+75×0.25+85×0.15+95×0.1=71, 故本次测试成绩的平均分为71；……………9分 0.015 (3)抽取的成绩在[80,90)内的人数为5×0.015十0,010-3，记为a,b,c. 0.010 抽取的成绩在[90,100]内的人数为5×0.010.00-2，记为A,B.…1分 从这5人中随机抽取两人，有(a,b),(a,c),(a,A),(a,B),(b,c),(b,A)(b,B),(c,A),(c,B), (A,B),共10，………12分 其中这两人中恰好有一人的成绩在[90,100]内有(a,A),(a,B),(b,A)(b,B),(c,A),(c,B),共6种， …小………………13分 所以这两人中恰好有一人的成统在[90,10]内的既家P=品=号。 ……15分 18.【答案】(1)详见解析(2)详见解析 【解析】(1)取AD中点为O,连接PO,OC, △PAD是边长为4的等边三角形，.POLAD,… ……1分 又因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AB,∴.PO⊥平面ABCD,…2分 又AB平面ABCD,所以AO⊥AB,…3分 又因为AB⊥AD,AD∩AO=O, AD,AOC平面PAD,所以AB⊥平面PAD: 4分 在平面ABCD中，BC∥AD,AB⊥AD,所以AB⊥BC, 又AB=BC=2,所以△ABC的面积SAc=号X2X2=2,… 5分 又PO=√PD-OD=2W3,… 6分 所以三棱维P-ABC的体积Vc=号SaA·P0-言×2X2V5-4 3 ……7分 (2)因为PO⊥平面ACD,OC,ODC平面ABCD,所以PO⊥OC,PO⊥OD, 因为BC=AO=2,BC∥AO,所以四边形ABCD为平行四边形， 又因为∠ABC=90°，所以四边形ABCD为矩形，所以OC⊥AD, 故OC,OD,OP两两垂直，以O为坐标原点，直线OC,OD,OP分别为x,y,z轴建 立空间直角坐标系，如图，…………………8分 则A(0,-2,0),D(0,2,0),C(2,0,0),B(2,-2,0),P(0,0,25)，…9分 则AP=(0,2,25),Pi=(0,2,-25),AC=(2,2,0),…10分 令PE=λP方=1(0,2，-23)，A∈[0,1]，AE=A庐+P2=(0,2,23)十 λ(0,2，-25)=（0,2十2λ，25-2√31)，…11分 设平面EAC的一个法向量为 【高二数学参考答案第4页（共5页）】 (n·AC=2a+2b=0 n=(a,b,c),则 ………12分 n·AE=(2+2x)b十(2√3-2√5)c=0 取b=√3（入-1），得n=（3(1-A)5(-1),A十1)， 13分 又平面DAC的一个法向量为Op=(0,0,25),… 14分 2 .m1-.n-,2ga± =/10 …………………15分 1ō11n2√3√/7a-10a+7 化简得32-10λ+3=0， 又λ∈[0,1]，故解得入=3，… 1 …16分 故线段PD上存在一点E,使得平面EAC与平面DAC夹角的余弦值为√四 5 此时器 ……………………17分 18.【答案13r-y-5=0定点（停o）(2②(-号）+-高2》(3号 【解析】(1)PM1=√/9+t,AM=1,PA2=PM2-AM2=t2+8, 故以P为圆心，PA为半径的圆P的方程为(x十1)十(y-t)=十8， …3分 显然线段AB为圆P和圆M的公共弦， 则直线AB的方程为(x十1)2-(x-2)十(y-t)2-y=f十8-1， 即3x-y-5=0,所以(3x-5)-y=0,所以直线AB过定点（号，0）： 5分 (2):直线AB过定点（号，0，AB的中点为直线AB与直线MP的交点， 设AB的中点为F点，直线AB过的定点为H点， 易知H下始终垂直于FM,所以F点的轨迹为以HM为直径的圆，H(号，0)，M(2,0), “点F的轨迹方程为（红-吕）+少=元x≠2)： …………………………9分 (3)设切线方程为y一t=k(x十1)，即kx-y+k十t=0, 故M(2,0)到直线kx一y十k+1=0的距离d=3张士=1，即8k十6k1十-1=0，…1分 √/k2十1 设PA,PB的斜率分别为k1,k2,则k1十k2=一 -1 8 ……13分 把x=0代入kx一y十k十t=0,得y=k十t, 则ST=k:十t-(k:十)=k1一=√(k+k2)一4k1:=√6 E_-I=+8 2 4 故当：=0时，ST取得最小值为。 …17分 【高二数学参考答案第5页（共5页）】2026~2027学年度第一学期期中考试 高二数学 答题卡 准考证号 姓 名 00]00 0 0 000 0 班 级 1■ 2 4 考 场 5 5 6 座位号 88 999 9 9 9 9 L答题前.考生务必清楚地将自己的姓名，准考证号填写在规 注 定的位置，核准条形码上的准考证号、娃名与本人相符并完 全正确及考试科目也相符后，将条形码粘贴在规定的位置。 意 2婆择题必领使用2B铅笔填涂：非选择随必须使用05意米围 事 色母水签字笔作答，字体工整、笔迹清延。 贴条形码区域 3.考生必须在答题卡各题日的规定答题区城内答题，超出答题 项 区战范围书写的答案无效：在草鸡纸、试题花上答题无效。 4.保持卡面清洁，不准折叠，不得弄破。 填涂样例 正确填涂：■ 错误填涂：功OOS啊p四 缺考标记：☐ 单选题（每小题5分，共40分） 1 A▣ ] J 5 LA 2A■ ■切 6▣B四 ) 3 A D 7A□] 4A四B a ] 8 A 多选题（每小题6分，共18分） 9A口Hn0D 10 11A□ 1 填空题（每小题5分，共15分） 12. 13 14 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 15.(本小题满分13分) 16.(本小题满分15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 高二数学第1页（共2页） 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(本小题满分15分) 18.(本小题满分17分) 19.(本小题满分17分) 0030 0.025 0.010 0.005 100分 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 高二数学第2页（共2页） 2026~2027学年度第一学期期中考试 高二数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 2026．11．11 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0．5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡上交． 4．本卷主要命题范围：必修第二册第九章～第十章，选择性必修第一册第一章～第二章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．经过，两点的直线的倾斜角是 A． B． C． D． 2．在空间四边形中， A． B． C． D． 3．抽样统计某位学生10次的英语成绩分别为86，84，88，86，89，89，88，87，85，91，则该学生这10次成绩的50%分位数为 A．88.5 B．89 C．91 D．87.5 4．以为圆心，且过点的圆的标准方程为 A． B． C． D． 5．已知，为两个随机事件，，，则下列结论错误的是 A． B．若，则 C．若，则 D．若，互斥，则 6．如图，直三棱柱中，若，，，则 A． B． C． D． 7．已知从点发出的一束光线，经过直线反射，反射光线恰好过点，则反射光线所在的直线方程为 A． B． C． D． 8．在圆幂定理中有一个切割线定理：如图1所示，为圆的切线， 为切点，为割线，则．如图2所示，在平面直角坐标系中，已知点，点是圆：上的任意一点，过点作直线垂直于点，则的最小值是 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题中错误的是 A．若直线的倾斜角为钝角，则其斜率一定为负数 B．任何直线都存在斜率和倾斜角 C．直线的一般式方程为 D．任何一条直线至少要经过两个象限 10．一只不透明的口袋内装有9张相同的卡片，上面分别标有1~9这9个数字（每张卡片上标1个数），“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字为2或5或8”记为事件，“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字不超过6”记为事件，“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字大于等于7”记为事件．则下列说法正确的是 A．事件与事件是互斥事件 B．事件与事件是对立事件 C．事件与事件相互独立 D． 11．如图，在直三棱柱中，是的中点，，，，为侧面（含边界）上一点，平面，则下列结论正确的是 A．平面 B．直线与直线所成角的余弦值是 C．点到平面的距离是 D．线段的长的最大值是2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知男、女生共有200人，其中女生有80人，按性别采用分层随机抽样的方法从这200人中抽取25人，则这25人中男生有人 ． 13．已知向量，，，若向量，，共面，则 ． 14．在平面直角坐标系中，若，，定义两点之间的曼哈顿距离．记为点与直线上一点的曼哈顿距离的最小值．如果点，直线：，且，则实数 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知点，求满足下列条件的直线的一般式方程． （1）经过点，且在轴上的截距是轴上的截距的4倍； （2）经过点，且与坐标轴围成的三角形的面积为． 16．（本小题满分15分） 某市决定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植三个项目，据预测，三个项目成功的概率分别为，，，且三个项目是否成功相互独立． （1）求恰有两个项目成功的概率； （2）求至少有一个项目成功的概率． 17．（本小题满分15分） 某校为了调动学生学习诗词的热情，举办了诗词测试，随机抽取了400名学生的测试成绩，根据测试成绩（所得分数均在），将所得数据按照，，，，，分成6组，得到频率分布直方图如图所示． （1）求的值，并求出测试成绩在内的学生人数； （2）试估计本次测试成绩的平均分；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） （3）从测试成绩在和内的学生用分层抽样的方法抽出5人，再从这5人中随机抽取两人分享背诵诗词的方法，求这两人中恰好有一人的成绩在内的概率． 18．（本小题满分17分） 如图，在四棱锥中，，，，是边长为4的等边三角形，平面平面． （1）证明：平面，并求三棱锥的体积； （2）线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 19．（本小题满分17分） 如图，已知圆：，点为直线：上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为，． （1）求直线的方程，并写出直线所经过的定点的坐标； （2）求线段中点的轨迹方程； （3）若两条切线，与轴分别交于，两点，求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $