精品解析：广东江门市广东实验中学附属江门学校2026-2027学年高二上学期期中考试数学试题

省实江门学校2026学年第一学期期中考试 高二数学 本试卷分选择和非选择题两部分、共4页，满分150分，考试用时120分钟 一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为，则直线的斜率是（ ） A. B. C. D. 2. 某校举行“数学文化节”知识竞答，高二（3）班10名同学参加初赛的得分（单位：分）分别为62，70，74，78，82，84，88，90，94，96.则这组数据的第60百分位数为（ ） A. 82 B. 84 C. 86 D. 88 3. 已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向量是（ ） A. B. C. D. 4. 某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件. 为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用比例分配的分层随机抽样的方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n等于（　　） A. 10 B. 12 C. 13 D. 14 5. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2．用计算器进行模拟实验产生1~5之间的整数随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，由于有2台这样的设备，所以每2个随机数为一组，代表两台设备一年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下： 41 45 31 53 22 34 15 25 42 14 43 41 13 43 12 23 31 23 35 44 据此估计一年内这2台设备都不需要维修的概率为（ ） A. 0.4 B. 0.6 C. 0.64 D. 0.8 7. 有两组样本数据，，，与，，，，已知，若，，，的平均数为4，方差为4，则，，，的平均数与方差分别为（ ） A. 2；16 B. 2；1 C. 3；16 D. 3；1 8. 如图,二面角等于,是棱上两点, 分别在半平面内, ,, 且则的长等于（ ） A. 4 B. C. D. 二、多选题:本共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部对得6分，部分选对的得部分分，有错的0分. 9. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 10. 棉花的纤维长度是棉花质量的重要指标，在一批棉花中随机抽测了100根棉花的纤维长度（均在之间，单位：）并整理如下表： 纤维长度区间 频数 8 12 19 30 24 7 根据表中数据，下列结论中正确的是（ ） A. 这100根棉花的纤维长度的众数的估计值为235 B. 这100根棉花中纤维长度不足205的棉花占比超过 C. 这100根棉花的纤维长度的第一四分位数落在区间内 D. 这100根棉花的纤维长度的平均数的估计值大于265 11. 如图所示，在棱长为2的正方体中，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线与平面所成角的正弦值为 B. 点到平面的距离为2 C. 直线与所成角的正切值是2 D. 平面截正方体所得的截面面积为 三、填空题:本题共3小，每小题5分，共15分. 12. 已知，则__________． 13. 已知点，，若直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是___________． 14. 学校一班级开展数字闯关小游戏，班长准备了编号为1，2，3，4的四张数字卡片，小张同学有放回地随机抽取3次，每次抽取一张，记前两次抽到数字的平均数为，三次抽到数字的平均数为，则的概率为________． 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程演算步. 15. 在一次学校组织的“科技文化节”活动中，某数学学习小组有男同学名（记为、、），女同学名（记为、），现从中随机选出名同学去参加“科技文化节”的数学竞赛（每人被选到的可能性相同，不考虑选择的先后顺序） （1）设事件为“参赛的名同学都是女同学”，求出事件发生的概率； （2）求事件“参赛的名同学中恰好名男同学和名女同学”发生的概率． 16. 某古代冶金工艺研究院专注于研究商周青铜器块范铸造技术，并对外开展研习活动．在新一期研习活动中，研究院对名参训人员进行专业修习质量百分制打分，依据得分绘制频率分布直方图（分组区间为，，，）．已知． （1）求、的值． （2）估计此次修习评分在内的参训人数． （3）将评分分及以上视为修习效果合格，若合格人数频率大于，则判定本期研习活动达标．试问本期活动是否达标？并阐述理由． 17. 如图，在平行六面体中，，，是的中点，设，，． （1）若，求的值； （2）用，，表示； （3）求的长． 18. 某公司举办乒乓球比赛，比赛采取5局3胜制（先赢3局者获胜），已知在甲、乙两人的比赛中，每局比赛甲获胜的概率都为，每局比赛结果相互独立． （1）求前2局中，甲、乙各获胜1局的概率； （2）求第1局甲获胜且第4局乙获胜的概率； （3）求甲、乙比赛结束时所用局数不大于4的概率． 19. 如图1，在直角梯形中，已知，，将沿翻折，使平面平面，如图2，的中点为. （1）求证：； （2）若的中点为，线段上靠近点的三等分点为. （i）求平面与平面夹角的余弦值. （ii）设平面内一动点为，当线段与线段的长度之和最小时，求直线与平面成角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 省实江门学校2026学年第一学期期中考试 高二数学 本试卷分选择和非选择题两部分、共4页，满分150分，考试用时120分钟 一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为，则直线的斜率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由直线的倾斜角与斜率的关系求解． 【详解】直线的倾斜角为，则直线的斜率是：． 2. 某校举行“数学文化节”知识竞答，高二（3）班10名同学参加初赛的得分（单位：分）分别为62，70，74，78，82，84，88，90，94，96.则这组数据的第60百分位数为（ ） A. 82 B. 84 C. 86 D. 88 【答案】C 【解析】 【分析】由百分位数的定义求解即可. 【详解】将10个数据从小到大排列（题中已排列）：62，70，74，78，82，84，88，90，94，96， 因为，为整数， 所以第60百分位数为第6个数与第7个数的平均数，即. 3. 已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间基底、空间向量共面等知识确定正确答案. 【详解】对于A，根据题意，故A错误. 对于B，设，则不存在，故B正确. 对于C，，故C错误； 对于D，由， 则，所以， 所以，故D错误； 故选：B. 4. 某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件. 为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用比例分配的分层随机抽样的方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n等于（　　） A. 10 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】C 【解析】 【详解】依题意，抽样比为，则由，解得. 5. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得，，得. 6. 已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2．用计算器进行模拟实验产生1~5之间的整数随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，由于有2台这样的设备，所以每2个随机数为一组，代表两台设备一年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下： 41 45 31 53 22 34 15 25 42 14 43 41 13 43 12 23 31 23 35 44 据此估计一年内这2台设备都不需要维修的概率为（ ） A. 0.4 B. 0.6 C. 0.64 D. 0.8 【答案】B 【解析】 【详解】满足不需要维修的随机数有：45,53,22,34,25,42,43,43,23,23,35,44，共有12个， 所以一年内这2台设备都不需要维修的概率为 7. 有两组样本数据，，，与，，，，已知，若，，，的平均数为4，方差为4，则，，，的平均数与方差分别为（ ） A. 2；16 B. 2；1 C. 3；16 D. 3；1 【答案】D 【解析】 【详解】已知， 则， 因为，，，的平均数为4， 所以． 已知，，，的方差为4， 根据方差的线性变换性质，可得． 所以，，，的平均数是3，方差是1． 8. 如图,二面角等于,是棱上两点, 分别在半平面内, ,, 且则的长等于（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助向量来解决,由二面角的平面角的定义可得,求的模即为的长. 【详解】由二面角的平面角的定义知,, 由,,得,,, , 所以,即． 故选：A． 二、多选题:本共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部对得6分，部分选对的得部分分，有错的0分. 9. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据对立事件的概率可判断A；由即可判断B；根据题意可得，故相互独立，则、也独立，再由独立事件的乘法公式判断CD． 【详解】，，，故A正确； ，故B错误； ， 相互独立，则、也独立， ，故C正确； ，故D错误． 10. 棉花的纤维长度是棉花质量的重要指标，在一批棉花中随机抽测了100根棉花的纤维长度（均在之间，单位：）并整理如下表： 纤维长度区间 频数 8 12 19 30 24 7 根据表中数据，下列结论中正确的是（ ） A. 这100根棉花的纤维长度的众数的估计值为235 B. 这100根棉花中纤维长度不足205的棉花占比超过 C. 这100根棉花的纤维长度的第一四分位数落在区间内 D. 这100根棉花的纤维长度的平均数的估计值大于265 【答案】ABC 【解析】 【详解】A选项，众数的估计值为频率最高区间的中点，频率最高的区间是[205，265)，中点为，A正确； B选项，纤维长度不足205的频数为8+12+19=39，占比为，B正确； C选项 第一四分位数（25%分位数）的位置为， 累计频数： [25，85)：8 ， [85，145)：8+12=20 ，[145，205)：20+19=39 ， 25落在累计频数20到39之间，故第一四分位数在[145，205)内，C正确； D选项，平均数的估计值为各组中点与对应频率的乘积的和： 即 ，D错误. 11. 如图所示，在棱长为2的正方体中，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线与平面所成角的正弦值为 B. 点到平面的距离为2 C. 直线与所成角的正切值是2 D. 平面截正方体所得的截面面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求线面角可判断A；用点到平面距离可判断B；利用空间向量求线线角即可判断C；画出平面的完整图形并计算可判断D. 【详解】如图建立空间直角坐标系：设D点为原点，为x轴，为y轴，为z轴. ，，，，， 对于A，平面的法向量为,直线的方向向量为, 设直线与平面所成角，则,故A正确. 对于B，,设面的法向量为, ，,令得, 距离，故B正确. 对于C，，，设直线与所成角为，则 所以，，故C不正确； 对于D，因为,连,，所以平面截正方体所得的截面是等腰梯形,上底,下底,腰， 所以面积,故D正确. 故选：ABD. 三、填空题:本题共3小，每小题5分，共15分. 12. 已知，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量线性运算的坐标表示即可得解. 【详解】由，得. 故答案为： 13. 已知点，，若直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用斜率公式求，数形结合确定直线斜率的范围. 【详解】已知，，， ， ， 过点的直线与线段相交，观察图形： 故斜率的取值范围是. 14. 学校一班级开展数字闯关小游戏，班长准备了编号为1，2，3，4的四张数字卡片，小张同学有放回地随机抽取3次，每次抽取一张，记前两次抽到数字的平均数为，三次抽到数字的平均数为，则的概率为________． 【答案】## 【解析】 【分析】先确定总基本事件数，根据题意列不等式并化简不等式， 分类讨论符合条件的事件数，确定概率. 【详解】有放回抽取3次，每次4种选择，总事件数为， 设三次抽取数字为，则前两次平均数， 三次平均数，代入， 得：， 整理得：，即， 由于是整数，所以为整数， 因此不等式等价于：， ：，共种（按和为讨论）； ：，共种； ：，共种； ：，共种. 符合条件的总事件数为. 因此. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程演算步. 15. 在一次学校组织的“科技文化节”活动中，某数学学习小组有男同学名（记为、、），女同学名（记为、），现从中随机选出名同学去参加“科技文化节”的数学竞赛（每人被选到的可能性相同，不考虑选择的先后顺序） （1）设事件为“参赛的名同学都是女同学”，求出事件发生的概率； （2）求事件“参赛的名同学中恰好名男同学和名女同学”发生的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解决古典概型问题，先完整列出样本空间，确定全部基本事件的总数； （2）找出对应事件包含的样本点个数，再用事件样本数除以总样本数求得概率. 【小问1详解】 样本空间为 . 样本空间中共有个基本事件， 事件为“参赛的名同学都是女同学”，故，共个基本事件，因此. 【小问2详解】 设事件为“参赛的名同学中恰好名男同学和名女同学”， 则，共个基本事件， 样本空间中共有个基本事件，所以. 16. 某古代冶金工艺研究院专注于研究商周青铜器块范铸造技术，并对外开展研习活动．在新一期研习活动中，研究院对名参训人员进行专业修习质量百分制打分，依据得分绘制频率分布直方图（分组区间为，，，）．已知． （1）求、的值． （2）估计此次修习评分在内的参训人数． （3）将评分分及以上视为修习效果合格，若合格人数频率大于，则判定本期研习活动达标．试问本期活动是否达标？并阐述理由． 【答案】（1） （2）75 （3）达标，理由如下： 超过的人的修习评分在77分及以上，即为分位数大于或等于77． 因为修习评分在内的频率为，修习评分在内的频率为， 所以分位数在内， 由，可以估计分位数为， 所以有超过的人的修习评分在77分及以上，本期活动达标． 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有长方形面积之和为1，结合条件计算得到结果； （2）由直方图确定的频率，再计算参训人数. （3）根据题意条件计算判断可得结果； 【小问1详解】 由题意知解得 【小问2详解】 此次修习评分在内的频率为， 所以估计此次修习评分在内的参训人数为． 【小问3详解】 略 17. 如图，在平行六面体中，，，是的中点，设，，． （1）若，求的值； （2）用，，表示； （3）求的长． 【答案】（1）6 （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 由空间向量基本定理及得， ，∴ 【小问2详解】 由是的中点，则， ∴； 【小问3详解】 ∵ ， ∴，即的长为． 18. 某公司举办乒乓球比赛，比赛采取5局3胜制（先赢3局者获胜），已知在甲、乙两人的比赛中，每局比赛甲获胜的概率都为，每局比赛结果相互独立． （1）求前2局中，甲、乙各获胜1局的概率； （2）求第1局甲获胜且第4局乙获胜的概率； （3）求甲、乙比赛结束时所用局数不大于4的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可知每局比赛乙获胜的概率为，记事件“第i局比赛甲获胜”，事件“第i局比赛乙获胜”，事件“前2局中，甲、乙各获胜1局”，由求解即可； （2）记事件“第1局甲获胜且第4局乙获胜”，则，由此求解即可； （3）记为甲、乙比赛结束时，只进行i（）局比赛的概率，分进行3局比赛和4局比赛两种情况求解即可. 【小问1详解】 由题意知：每局比赛乙获胜的概率为； 记事件“第i局比赛甲获胜”，事件“第i局比赛乙获胜”， 事件“前2局中，甲、乙各获胜1局”， 则， ． 【小问2详解】 记事件“第1局甲获胜且第4局乙获胜”， 则， ． 【小问3详解】 记为甲、乙比赛结束时，只进行i（）局比赛的概率， ∵只进行三局比赛的结果为，， ； ∵只进行四局比赛且甲获胜的结果为：，，， 只进行四局比赛且乙获胜的结果为：，，， ； ∴甲、乙比赛结束时所用局数不大于4的概率为． 19. 如图1，在直角梯形中，已知，，将沿翻折，使平面平面，如图2，的中点为. （1）求证：； （2）若的中点为，线段上靠近点的三等分点为. （i）求平面与平面夹角的余弦值. （ii）设平面内一动点为，当线段与线段的长度之和最小时，求直线与平面成角的正弦值. 【答案】（1）证明：因为，的中点为，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以. （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直性质定理即可证明； （2）（i）分别以，，为，，轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，利用面面角的空间向量公式列出方程求解即可；（ii）当线段PD与线段PC的长度之和最小时，要使最小，利用对称法，作D关于平面的对称点，连接，与平面的交点即为，再应用线面角正弦公式计算求解. 【小问1详解】 （1）略 【小问2详解】 （i）取的中点为，连接，则且， 由直角梯形可知，为正方形， ，，，，. 由（1）平面，可知，，两两互相垂直， 分别以，，为，，轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，    则，，，，， 依题意，， 则，， 设平面的法向量为， 由，得到，则可取， 由平面，取平面的法向量， 设平面与平面的夹角为， 则. （ii）设平面内一动点为， 不妨设关于平面的对称点，设与平面的交点即为， 因为平面的法向量为， 设，则中点为在平面上，， 所以， 因与平面法向量平行， 则，设比值为，则得， 代入中，得， 解得，故， 又因为， 设直线与平面的交点为， 且，则， 则有， 又因为， 将代入得，解得，则， 故，易得平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $