精品解析：广东省茂名市高州市2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题

高州市2025～2026学年度第一学期高二质量监测 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 2025.11.11 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 4.本卷主要命题范围：必修第二册第九章至第十章、选择性必修第一册第一章至第二章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 点关于坐标平面对称的点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 某学校的老师配置及比例如图所示，为了调查各类老师的薪资状况，现采用分层抽样的方法抽取部分老师进行调查，在抽取的样本中，青年老师有30人，则该样本中的老年教师人数为 A. B. C. D. 3. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 4. 2022年月以来我国南方遭受严重洪灾，为了弘扬“一方有难，八方支援”的中国精神，某校举行募捐活动，下表是某班名同学捐款的频数分布表，若第分位数为，第分位数为，则（ ） 捐款金额元 频数 A. B. C. D. 5. 向量，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆：，过点可作两条直线与圆相切，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，若，，，的中位数为2，则（　　） A. B. C. 2 D. 1 8. 如图，在棱长为1的正方体中，，若平面，则线段的长度的最小值为（　　） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 从1，2，3，，9中任取三个不同的数，则在下述事件中，是互斥但不是对立事件的有（ ） A. “三个都为偶数”和“三个都为奇数” B. “至少有一个奇数”和“至多有一个奇数” C. “至少有一个奇数”和“三个都为偶数” D. “一个偶数两个奇数”和“两个偶数一个奇数” 10. 已知直线与交于点，则（ ） A. B. C. 点到直线的距离为 D. 点到直线的距离为 11. 一般称具有某性质的所有直线的全体为一个直线系．设直线系，则（ ） A. 点到中任意一条直线的距离为定值 B. 存在定点不在中任意一条直线上 C. 不存在正三角形，其所有边均在中的直线上 D. 点到中所有直线距离的最大值为7 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知点，，，若直线，则______． 13. 点关于直线的对称点的坐标为______． 14. 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆．若点到，的距离比为，则点到圆上的点的距离最大值是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知的顶点坐标为. （1）若点是边上的中点，求直线的方程； （2）求边上的高所在的直线方程. 16. 甲、乙两个篮球运动员互不影响的在同一位置各投球10次，其中甲投进5个，乙投进个． 注：用此次投进球的频率去估计概率． （1）若乙投球2次均未命中的概率为，求； （2）若，甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率． 17. 某大学随机统计了800名学生的一个学期自习时间（单位：小时），所得数据都在内，将所得的数据分成4组：得到如图所示的频率分布直方图. （1）求a的值以及自习时间在内的学生人数； （2）估计该校每个学生一个学期自习的平均时间（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （3）从和用分层随机抽样的方法抽取6名学生，再从这6名学生中随机抽取2名学生调查他们的学习成绩，求抽到的这2名学生恰有1名一个学期自习时间落在内的概率. 18. 如图，在三棱柱中，平面，，是等边三角形，D，E，F分别是棱，AC，BC的中点. （1）证明：平面. （2）求平面ADE与平面夹角的余弦值. 19. 已知圆 ，过点的直线与圆交于，两点． （1）若直线的斜率为，求的面积； （2）若，求直线的斜率； （3）若，记直线，的斜率分别为，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高州市2025～2026学年度第一学期高二质量监测 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 2025.11.11 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 4.本卷主要命题范围：必修第二册第九章至第十章、选择性必修第一册第一章至第二章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 点关于坐标平面对称的点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间直角坐标系中点的对称特征判定即可. 【详解】关于坐标平面对称的点，横坐标变换为其相反数，纵坐标、竖坐标不变. 即点关于坐标平面对称的点B的坐标为. 故选：B 2. 某学校的老师配置及比例如图所示，为了调查各类老师的薪资状况，现采用分层抽样的方法抽取部分老师进行调查，在抽取的样本中，青年老师有30人，则该样本中的老年教师人数为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由分层抽样的特点，运用比例关系求出结果 【详解】设样本中的老年教师人数为人，由分层抽样的特点得：，所以，故选 【点睛】本题考查了分层抽样的计算，由分层抽样的特点结合比例关系求出结果，较为基础 3. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用斜率和倾斜角的关系即可求倾斜角. 【详解】设斜率为，倾斜角为， ∵，∴，． 故选：D． 4. 2022年月以来我国南方遭受严重洪灾，为了弘扬“一方有难，八方支援”的中国精神，某校举行募捐活动，下表是某班名同学捐款的频数分布表，若第分位数为，第分位数为，则（ ） 捐款金额元 频数 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据百分位数的运算法则计算出从而计算出. 【详解】因为，所以按从小到大排列取第、项数据的平均数，其平均数为，所以． 因为，所以按从小到大排列取第、项数据的平均数，其平均数为，所以，所以． 故选：D 5. 向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量数量积的运算律及数量积的坐标表示，列式计算即得. 【详解】向量，由，得，即， 因此，所以. 故选：B 6. 已知圆：，过点可作两条直线与圆相切，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到，求出的大范围，再由点在圆外，得到点到圆心的距离大于半径，从而求出参数的取值范围. 【详解】圆：，即， 则圆心为，半径，且，则， 又过点可作两条直线与圆相切，所以点在圆外， 所以，解得或， 综上可得实数的取值范围是. 故选：D 7. 已知，若，，，的中位数为2，则（　　） A. B. C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】分，，，四种情况，将数据从小到大排列，结合中位数定义列方程求解即可. 【详解】因为，所以， 分别令，解得， 当时，，所以，解得； 当时，，所以， 解得（舍去）或（舍去）； 当时，，所以， 解得（舍去）或（舍去）； 当时，，所以，解得（舍去）. 综上，. 故选：D 8. 如图，在棱长为1的正方体中，，若平面，则线段的长度的最小值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建系，求出相关点的坐标，用表示出，证明平面，求得平面的法向量，由条件得到，将的表达式整理成二次函数，利用其最小值即得. 【详解】 如图，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 则有, 依题意，， , 于是，. 又因平面，平面,则, 又,平面，故平面, 故平面的法向量可取为， 因平面，故，即. 则 ， 因，故当时，. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 从1，2，3，，9中任取三个不同的数，则在下述事件中，是互斥但不是对立事件的有（ ） A. “三个都为偶数”和“三个都为奇数” B. “至少有一个奇数”和“至多有一个奇数” C. “至少有一个奇数”和“三个都为偶数” D. “一个偶数两个奇数”和“两个偶数一个奇数” 【答案】AD 【解析】 【分析】根据互斥事件和对立事件的概念判断即可. 【详解】从1~9中任取三数，按这三个数的奇偶性分类，有四种情况： （1）三个均为奇数；（2）两个奇数一个偶数；（3）一个奇数两个偶数；（4）三个均为偶数，所以选项A、D是互斥但不是对立事件，选项C是对立事件，选项B不是互斥事件. 故选：AD. 10. 已知直线与交于点，则（ ） A. B. C. 点到直线的距离为 D. 点到直线的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】联立直线方程结合其交点坐标求参数a、b，进而应用点线距离公式求到直线的距离即可. 【详解】由题意，得：，解得，，故A、B正确， ∴到直线的距离，故C错误，D正确. 故选：ABD. 11. 一般称具有某性质的所有直线的全体为一个直线系．设直线系，则（ ） A. 点到中任意一条直线的距离为定值 B. 存在定点不在中任意一条直线上 C. 不存在正三角形，其所有边均在中的直线上 D. 点到中所有直线距离的最大值为7 【答案】AB 【解析】 【分析】先分析直线系的轨迹方程，得出是以为圆心，半径为的圆的所有切线，再结合各选项条件，利用圆的性质、切线性质以及两点间距离公式等知识点分析判断选项正误． 【详解】直线系， 点到直线的距离， 是以为圆心，半径为的圆的所有切线， 点到中任意一条直线的距离为2，故A正确； 取点，代入直线方程得， 点不在任何一条直线上，这样的定点存在，故B正确； 以为圆心的圆的三条切线夹角为时可以构成正三角形，故C错误； 点到直线系的距离，等价于点到圆切线的距离， 点到圆心的距离：， 点到切线的最大距离为：，故D错误． 故选：AB． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知点，，，若直线，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】先求向量的坐标，然后根据向量共线定理即可求解； 【详解】因为，， 所以，又，所以， 又， 所以，解得，故． 故答案为：2 13. 点关于直线的对称点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】设点关于直线的对称点，利用垂直及中点在直线上这两个条件，求出的值即可． 【详解】设点关于直线的对称点， 则由，解得，故点， 故答案为：． 14. 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆．若点到，的距离比为，则点到圆上的点的距离最大值是______． 【答案】 【解析】 【分析】设点，先利用距离比值求出点的轨迹方程，确定圆心和半径，再根据圆的方程确定圆的圆心和半径，利用两点间距离公式求出圆心距，确定两圆的位置关系，最后利用两圆的位置关系求出点到圆的最大值． 【详解】设点，， ，整理得， 点的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 圆的标准方程为， 圆是以为圆心，半径是， 圆心与之间的距离， ， 点到圆的距离的最大值为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知的顶点坐标为. （1）若点是边上的中点，求直线的方程； （2）求边上的高所在的直线方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由中点坐标公式得到，再由两点求出斜率，最后有点斜式方程求出即可； （2）由两直线垂直求出边上的高所在的直线的斜率为，再由点斜式得到直线方程即可； 【小问1详解】 因为点是边上的中点，则， 所以， 所以直线的方程为， 即； 【小问2详解】 因为， 所以边上的高所在的直线的斜率为， 所以边上的高所在的直线方程为，即. 16. 甲、乙两个篮球运动员互不影响的在同一位置各投球10次，其中甲投进5个，乙投进个． 注：用此次投进球的频率去估计概率． （1）若乙投球2次均未命中的概率为，求； （2）若，甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率． 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】（1）利用相互独立事件的概率乘法公式计算可得答案； （2）利用相互独立事件、互斥事件的概率公式计算可得答案. 【小问1详解】 由题意知，，故； 【小问2详解】 用表示“两人共命中2次”， ． 17. 某大学随机统计了800名学生的一个学期自习时间（单位：小时），所得数据都在内，将所得的数据分成4组：得到如图所示的频率分布直方图. （1）求a的值以及自习时间在内的学生人数； （2）估计该校每个学生一个学期自习的平均时间（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （3）从和用分层随机抽样的方法抽取6名学生，再从这6名学生中随机抽取2名学生调查他们的学习成绩，求抽到的这2名学生恰有1名一个学期自习时间落在内的概率. 【答案】（1）； （2）105小时 （3） 【解析】 【分析】（1）利用频率直方图的性质即可求解； （2）利用频率直方图的中点值结合均值算法，可估计总体平均值； （3）利用分层抽样和古典概型公式可求出概率. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知：，解得， 一个学期自习时间在内的学生人数为； 【小问2详解】 该校学生一个学期自习平均时间 ， 即估计该校每个学生一个学期自习平均时间为105小时； 【小问3详解】 一个学期自习时间落在的抽取人数为， 这4人分别记为A，B，C，D， 一个学期自习时间落在的抽取人数为， 这2人分别记为a，b， 再从这6名学生中随机抽取2名学生的样本空间为： ，共有15个样本点， 其中恰有1名一个学期自习时间落在内的样本点，共8个样本点， 所以抽到这2名学生恰有1名一个学期自习时间落在内的概率. 18. 如图，在三棱柱中，平面，，是等边三角形，D，E，F分别是棱，AC，BC的中点. （1）证明：平面. （2）求平面ADE与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 证明：连接BD. 因为E，F分别是棱AC，BC的中点，所以. 因为平面，平面，所以平面. 因为D，F分别是棱，BC的中点，所以，， 所以四边形是平行四边形，则. 因为平面，平面，所以平面. 因为平面ABD，且，所以平面平面. 因为平面ABD，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）由线线平行证明面面平行，再由面面平行证明线面平行； （2）建立空间直角坐标系，用向量法求解两平面夹角的余弦值. 【详解】（1）略 （2）解：取的中点，连接，，易证，，OE两两垂直，则以O为原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 设，则，，，，， 从而，，，. 设平面ADE的法向量为， 则令，得， 设平面的法向量为， 则令，得. 设平面与平面的夹角为，则. 19. 已知圆 ，过点的直线与圆交于，两点． （1）若直线的斜率为，求的面积； （2）若，求直线的斜率； （3）若，记直线，的斜率分别为，，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出直线的方程，再利用点到直线距离公式求出圆心到直线的距离，利用弦长公式求出弦长，最后根据三角形面积公式求解； （2）设直线的斜率为，运用点斜式得出直线方程，联立圆的方程，利用韦达定理，结合已知条件构造方程求解； （3）设直线的斜率为，运用点斜式得出直线方程，联立圆的方程，利用韦达定理，结合已知条件求解． 【小问1详解】 直线过点，斜率为， 直线的方程为：，一般式方程为：， 圆是以为圆心，半径的圆， 圆心到直线的距离， 弦长， 的面积． 【小问2详解】 ，设直线的斜率为，则直线方程为， 联立圆的方程得， 设点，则，根据韦达定理得： ， ， ， ， 即，化简得，解得， 直线的斜率为． 【小问3详解】 设直线的斜率为，则直线方程为， 联立圆的方程得， 设点，根据韦达定理得： ， ，，的斜率分别为，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $