福建宁德市福安市2025-2026学年九年级上学期数学期中综合素养检测试卷

福安市初中2025-2026学年（上）期中素养质量检测 初三数学参考答案 ⑴本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可参照本答案的评分标准的精神进行评分． ⑵对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的立意，可酌情给分． ⑶解答右端所注分数表示考生正确做完该步应得的累加分数． ⑷评分只给整数分，选择题和填空题均不给中间分． 一、选择题：（本大题有10小题，每小题4分，满分40分） 1．B 2．C 3．D 4．C 5．A 6．D 7．B 8．B 9．A 10．A 二、填空题：（本大题有6小题，每小题4分，满分24分） 11．中心 12．， 13． 14．1 15．0.9 16．． 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17．（本题满分8分） （1）解法一：∵， 1分 ∴． 3分 ∴． 5分 ∴． 7分 ∴，． 8分 解法二：∵，，， 2分 ∴． 4分 ∴． 6分 ∴，． 8分 18．（本题满分8分） 解：∵，， ∴． 2分 ∵， ∴，即． 4分 ∴． 6分 ∴． 8分 19． （本题满分8分） ( A B C )（1）． 2分 ( A 盒 B 盒 开始 0 )（2）解法一： 4分 以上所有等可能的结果共有9种，分别为，，，，，，，，，其中A盒抽到的卡片上标示的数大于B盒抽到的卡片上标示的数的结果共有5种，分别为，，，，． 6分 ∴抽到A盒卡片上标示的数大于抽到B盒卡片上标示的数的概率为，抽到B盒卡片上标示的数大于抽到A盒卡片上标示的数的概率为． ∵， ∴小明想要提高获胜的可能性，他应该选择A盒． 8分 解法二： B盒 A盒 0 4分 以上所有等可能的结果共有9种，其中A盒抽到的卡片上标示的数大于B盒抽到的卡片上标示的数的结果共有5种，分别为，，，，． 6分 ∴抽到A盒卡片上标示的数大于抽到B盒卡片上标示的数的概率为，抽到B盒卡片上标示的数大于抽到A盒卡片上标示的数的概率为． ∵， ∴小明想要提高获胜的可能性，他应该选择A盒． 8分 20．（本题满分8分） ( 甲 D 乙 A B C F 图1 )解：（1）解法一： 如图1，过点C作于点F． 由题意可知，， ． 2分 ∵同一时刻物高之比等于影长之比， ∴，即． 3分 ∴． 4分 ∴，即甲楼的高度为70m． 5分 解法二：如图2，延长DC，交AB于点E． ∵同一时刻物高之比等于影长之比， ∴，即． 1分 ∴BE=． 2分 ∵AB=100， ( D 甲 乙 A B C E 图2 )∴． 3分 ∵，， ∴． ∵， ∴△∽△． ∴，即． 4分 ∴AD=70，即甲楼的高度为70m． 5分 （2）∵，AB=100， ∴，即楼间距≥． 7分 ∴幸福里小区的光照符合要求． 8分 21.（本题满分8分） （1）证明：∵，， 1分 ∴△∽△． 2分 ∴，即． 3分 （2）解法一：在△中，，， ∴． ∴AE=CE==6． 4分 ∴在Rt△中，． 5分 ∵， ∴BD==5． 7分 ∴． ∴在Rt△中，． 8分 解法二：在△中，，， ∴． ∴AE=CE==6． 4分 ∴在Rt△中，， 在Rt△中，． 6分 ∵△∽△， ∴，即． 7分 ∴． 8分 22．（本题满分10分） （1）． 2分 ( A B C 图 2 O F D E A B C 图 2 O F D E )（2）作法一： 作法二： ∴△即为所求作的三角形． 6分 ( A B C 图 3 P Q A B C 图 4 P Q )（3）作法一： 作法二： ( A B C 图 5 P Q ) 作法三： ∴△即为所求作的三角形． 10分 (注：第（2）小题每作出一个点得1分，作出△得满分；第（3）小题每作出一个点得2分，作出△得满分．) 23．（本题满分10分） 解：∴（1）设长方体的长、宽分别为mcm，ncm． 由长方体的主视图和俯视图可知，长方体的高为18cm，且． 1分 由长方体的表面展开图可知，，即． 2分 ∴，即． 3分 解得，，(不合题意，舍去)． 4分 ∴． 5分 ∴该长方体的体积为． 6分 ( 图 4 2 6 cm 6 cm 13 cm 图 3 1 4 cm 2 8cm 5 cm )（2）作法一： 作法二： ( 图 5 2 4 cm 7 cm 12 cm )作法三： 10分 (注：只画出长方体表面展开图的给1分，每标注一个数据各得1分) 24．（本题满分13分） 证明：（1）该一元二次方程有两个不相等的实数根． ∵，＞0， 1分 ∴25+4＞0，即＞0． 2分 ∴该一元二次方程有两个不相等的实数根． 3分 （2）①解法一：∵，是一元二次方程的两根， ∴． 4分 ∵， ∴． 5分 解得，=1或=． 6分 ∵当=1时，=4． 7分 ∵当=时，=． 8分 综上所述，该一元二次方程的两根分别，或，． 解法二：∵，是一元二次方程的两根， ∴． 4分 设=，则． （i）当，时， ∵， ∴=． 解得，，． 5分 ∴当时，，． 6分 ∴当时，，． 7分 （ii）当，时， ∵， ∴=． 解得，，． ∵， ∴，不符合题意，舍去． 8分 综上所述，该一元二次方程的两根分别，或，． （3）解法一：∵是一元二次方程的根， ∴． ∴． 9分 ∵，是一元二次方程的两根， ∴，即． 10分 ∴ ． 12分 ∴． ∴． 13分 解法二：∵是一元二次方程的根， ∴． ∴． 9分 ∵，即， ∴． 10分 ∵，是一元二次方程的两根， ∴， ∴． 11分 ∵， ， ∴． 13分 25．（本题满分13分） 证明：（1）如图3，连接AC． 在菱形ABCD 中，AB=CB，AB//CD． ∵， ( B E A D C F G 图 3 )∴△为等边三角形． 1分 ∴，AB=AC． ∵AB//CD， ∴． ∴． 2分 ∵， ， ∴，． ∴． 3分 ∴△≌△． ∴AE=AF． 4分 证明：（2）①解法一：∵ AB//CD， ∴∠FCH=∠ABC=60°=∠EAF． 5分 ∵∠EAF=60°， ∴∠FCH=∠EAF． ∵BF=BH， ∴∠BFH=∠BHF． 6分 在▱AEGF中，AE//FG， ∴∠AMF=∠BFH． ∴∠AMF=∠BHF． 7分 ∴△FCH∽△FAM． ∴∠AFB=∠CFH． 8分 解法二：∵ AB//CD， ∴． 5分 ∵∠EAF=60°， ∴． 在▱AEGF中，AE//FG， ∴∠AEH+∠BHF=180°． ∴∠AFC=∠BHF． 6分 ∵BF=BH， ∴∠BFH=∠BHF． 7分 ∴∠AFC=∠BFH． ∴． ∴∠AFB=∠CFH． 8分 ②解法一：∵AE=AF， ∴▱AEGF是菱形． ∴EG=EA，∠G=∠EAF=60°． 由①解法二得，∠AFC=∠BHF． ∵∠AFC+∠AFD=180°，∠BHF+∠EHG=180°， ∴∠AFD=∠EHG． 9分 在菱形ABCD中，∠D=∠ABC=60° ∴∠D=∠G=60°． ∴△ADF∽△EGH． ∴． 10分 ∵AD=AB，EG=EA， ∴． 11分 ∵∠BAF+∠AFC=180°，∠AEH+∠AFC=180°， ∴∠BAF=∠AEH． ∴△ABF∽△EAH． 12分 ∴． ∴． 13分 解法二：如图4，连接EF． ( E A B D F H C G 图 4 M )∵AE=AF， ∴▱AEGF是菱形． ∴AE//FG，GE=GF，∠EAF=∠G=60°． ∴∠AEB=∠EHF，△EFG是等边三角形． 9分 ∴∠EFH=∠ABC=60°． ∴△ABE∽△EFH． ∴． 10分 ∵， ∴，即． 11分 ∵∠AEH=∠ABC+∠BAE， ∠BAF=∠FAE+∠BAE， ∴∠AEH=∠BAF． ∴△ABF∽△EAH． 12分 ∴． ∵AB=AD，EA=EG， ∴． 13分 （答案不唯一，以上答案仅供参考） 数学试题参考答案及评分说明 第 3 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 福安市初中2025-2026学年（上）期中素养质量检测 初三数学试卷 （满分：150分 时间：120分钟） 友情提示：请将解答写在答题卡上！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填涂） 1．如图是由4个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的左视图是 A． B． C． D． 2．若关于的一元二次方程的一个根是1，则的值是 A． B． C． D． 3．下列两个图形一定相似的是 A．两个等腰三角形 B．两个矩形 C．两个菱形 D．两个全等的正六边形 4．用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是 A． B． C． D． 5．一个盒子中有红、蓝小球各一个，两个小球除颜色外都相同．从中随机摸出一个小球，放回后摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出的都是蓝球的概率是 A． B． C． D． 6．某种水稻在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数 2 5 10 50 100 500 1000 1500 2000 3000 发芽的频数 2 4 9 44 92 463 928 1396 1866 2794 发芽的频率 1.000 0.800 0.900 0.880 0.920 0.926 0.928 0.931 0.933 0.931 这种水稻发芽的概率的估计值是 A．0.90 B．0.91 C．0.92 D．0.93 7．已知（），则下列比例式成立的是 A． B． C． D． 8．某店销售一批葡萄，经调查，当葡萄每千克的利润为8元时，平均每天可售出60千克；而当销售价每降价1元，平均每天可多售出5千克．该店要想平均每天盈利375元，若所列方程为，则下列表述正确的是 A．降价前葡萄每千克销售价为元 B．降价后葡萄每千克的利润为元 C．降价后葡萄每天可以售出千克 D．降价后葡萄每千克的利润为元 9．如图，在四边形中，，添加下列条件后不能判定两个三角形相似的是 A． B． C． D． 10．关于的方程，且，则下列结论正确的是 A．该方程的两根都大于0 B．该方程的两根都小于3 C．该方程的一个根大于0，另一个根小于3 D．该方程的一个根小于0，另一个根大于3 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．请将答案填入答题卡的相应位置） 11．台灯照射在数学书本上所形成的影子属于__________投影．（填“平行”或“中心”） 12．一元二次方程的解是__________． 13．甲、乙、丙三位好朋友随机站成一排合影，甲站在中间的概率是__________． 14．已知，则的值是__________． 15．阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图1，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图2，动力臂，阻力臂，，则的长度是__________． 16．如图，是矩形的对角线，于点，于点，过点作，交的延长线于点．若，则__________． 三、解答题（本大题有9小题，共86分．请在答题卡的相应位置作答） 17．（本题满分8分）解方程：． 18．（本题满分8分）如图，，，，．求，的长． 19．（本题满分8分）在桌上有，两个不透明的盒子，盒里有三张卡片，分别标有“”“0”和“”，盒里有三张卡片，分别标有“”“”和“”．这些卡片除数字外都相同． （1）在盒中任意抽出一张卡片，抽到“”的概率是__________． （2）小明和小华进行“比大小”游戏，抽到的卡片上标示的数大的获胜，两人各选定一个盒子后，从各自的盒子中抽取一张卡片“比大小”．若小明想要提高获胜的可能性，他应该选择哪个盒子，用“画树状图”或“列表”法进行说明． 20．（本题满分8分）按照国家住建部设计规范，商品房前后楼间距应满足冬至日底层窗户日照时间不低于1小时，按要求我市新建商品房的楼间距（楼间距是指相邻两幢建筑物外墙之间最近点的水平距离）． 我市某中学数学兴趣小组想了解我市新建商品房光照是否符合要求，于是选取了幸福里小区的甲、乙两幢楼进行探究．如图，甲、乙两幢楼均垂直于水平地面，且，某一时刻光线经过甲楼楼顶的点处时，数学兴趣小组在同一时刻通过测量得到如下数据： ①甲楼影子落在乙楼上的部分（）长为；②高为的标竿的影长为． 请结合以上数据，完成该数学兴趣小组的探究问题． （1）求甲楼的高度； （2）请说明幸福里小区的光照是否符合要求？ 21．（本题满分8分）如图，在中，点在上，且． （1）求证：； （2）过点作于点，若，，求的长． 22．（本题满分10分）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点，，均在格点上． （1）在图1中，点，分别在边，上，点在格点上，且，则_____． （2）在图2中，以点为位似中心，只用无刻度的直尺作，使得，且与的位似比是．（保留作图痕迹，作出一个图形即可） （3）在图3中，只用无刻度的直尺作，使得，点，分别在边，上，且．（保留作图痕迹） 23．（本题满分10分）在“综合与实践”活动课《长方体纸盒的制作》上，张老师给同学们提出了挑战任务，请同学们完成以下挑战任务： 任务一：图1是某一个长方体的主视图和俯视图，图2是该长方体的表面展开图，且该长方体的长、宽、高均为整数，请通过图中所给的数据，计算出该长方体的体积； 任务二：图3是一张边长为的正方形卡纸，请在图3中裁出一个比任务一的长方体体积还大的长方体的表面展开图，且该长方体的长、宽、高也均为整数，裁剪掉的部分用斜线阴影表示，并标注出长、宽、高的长度． 24．（本题满分13分）已知一元二次方程． （1）若，说明该一元二次方程根的情况． （2）已知该一元二次方程的两根分别为，，且． ①若，求，的值； ②若，求证：． 25．（本题满分13分） 如图，在菱形中，，点，分别为，边上的动点，且，以，为边作． （1）如图1，求证：． （2）如图2，连接交于点，延长交于点，连接． ①当时，求证：； ②求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $