精品解析：福建省华安县第一中学2026-2027学年高二上学期11月期中数学试题

华安一中2026~2027学年第一学期期中考 高二年级数学试题 一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 经过两点，的直线的倾斜角为，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 已知等差数列满足，，则（ ） A. 2 B. 0 C. D. 3. 过点作圆的切线，则切线方程为（　　） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 4. 圆关于直线对称的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 5. 等比数列中，为方程的两根，则等于（ ） A. 6 B. 12 C. 6或12 D. -6 6. 某圆拱桥的圆拱的平面图如图所示，该圆拱的跨度，拱高．为加固该圆拱桥，现决定建造两根支柱，（将支柱，视为两条线段），且，则支柱的高度为（ ） A. 8m B. 7m C. 7.5m D. 6.5m 7. 已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设，过定点的动直线和过定点的动直线相交于点（P与 A， B 不重合），则面积的最大值是（ ） A. B. 5 C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（    ） A. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是 B. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C. 已知一束光线通过点，经直线反射，如果反射光线通过点，则反射光线所在直线的一般式方程为． D. 已知直线的倾斜角为，且经过第一象限的点和，则的最小值为3 10. 记等差数列的公差为，已知，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知数列满足，，设的前项和为，下列结论中正确的是（ ） A. B. 数列是等比数列 C. D. 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 经过点且与直线平行的直线是_____（结果用直线的一般式表示） 13. 若圆与圆有且仅有三条公切线，______． 14. 如图所示，用刀沿直线切一张圆形的薄饼，切1刀、2刀、3刀、4刀最多可以把饼分成2，4，7，11块，根据其中的规律，则切刀最多可以把饼分成______块． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 若圆C经过点和，且圆心在x轴上，则： （1）求圆C的方程． （2）直线与圆C交于E、F两点，求线段的长度． 16. 已知数列 的前 项和是 ，且 . （1）求数列 的通项公式； （2）设 ，证明 . 17. 设点，以线段为直径作圆 ． （1）求圆的方程； （2）若直线过点 ，与圆交于，两点，，求直线的方程； （3）已知为直线 上一动点，过作圆的两条切线，切点分别为、，求四边形PECF面积的最小值． 18. 已知数列满足 （1）求证：为等差数列； （2）设，记数列的前项和为， ①求； ②若，求的取值范围． 19. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，.点满足，记点的轨迹为圆. （1）求圆的周长； （2）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程； （3）过点且不与轴重合的直线与圆相交于，两点，为坐标原点，直线，分别与直线相交于，，记的面积为，的面积为，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华安一中2026~2027学年第一学期期中考 高二年级数学试题 一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 经过两点，的直线的倾斜角为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为直线的倾斜角为， 所以直线的斜率. 又因为直线经过两点，，且两点横坐标不相等（即）， 由斜率公式可得. 解得，即，解得. 当时，，，斜率，倾斜角为，符合题意. 2. 已知等差数列满足，，则（ ） A. 2 B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】数列为等差数列，，， ，得. 3. 过点作圆的切线，则切线方程为（　　） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【详解】因>，点在圆外，切线有 条. ① 当斜率不存在时，直线恰与该圆相切，故一条切线方程为； ②设斜率为 的切线方程为 ，即 ， 由圆心到该直线的距离等于半径可得，解得 ， 即另一条切线方程为 ，即 . 综上，过点的圆的切线有两条，分别是或. 4. 圆关于直线对称的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出已知圆的圆心关于直线的对称点，即为对称圆的圆心，从而得到答案. 【详解】圆的圆心，半径， 设关于直线的对称点为， 则，解得， 所以圆的圆心为，半径为， 所以圆的方程是. 故选：B 5. 等比数列中，为方程的两根，则等于（ ） A. 6 B. 12 C. 6或12 D. -6 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等比数列性质求解即可. 【详解】由等比数列中，为方程的两根，得，， 因此，，， 所以. 故选：B 6. 某圆拱桥的圆拱的平面图如图所示，该圆拱的跨度，拱高．为加固该圆拱桥，现决定建造两根支柱，（将支柱，视为两条线段），且，则支柱的高度为（ ） A. 8m B. 7m C. 7.5m D. 6.5m 【答案】B 【解析】 【分析】以为原点，为轴，为轴，建立直角坐标系，求解圆的方程，再将坐标代入求解即可. 【详解】由题意可得，，圆拱的跨度，拱高，所以， 如图，以为原点，为轴，为轴，建立直角坐标系， 设圆心，半径为，所以圆：， ，，， 所以，解得，， 所以圆：， 将代入，因为，解得， 所以. 故选：B. 7. 已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先得到曲线轨迹为以为圆心，2为半径的上半圆，求出恒过定点，把半圆和直线画出，数形结合得到有两个相异的交点时实数k的取值范围. 【详解】，变形得到， 故曲线轨迹为以为圆心，2为半径的上半圆， 恒过定点，把半圆和直线画出，如下： 当过点时，满足两个相异的交点， 且此时取得最大值，最大值为， 当与相切时，由到直线距离等于半径可得 ，解得， 故要想曲线与直线有两个相异的交点， 则. 故选：B 8. 设，过定点的动直线和过定点的动直线相交于点（P与 A， B 不重合），则面积的最大值是（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线方程求解定点坐标，根据两直线垂直可得勾股定理，进而根据基本不等式求解最值即可. 【详解】由题意可知,直线变形为，故，故， 由于直线与直线互相垂直，所以, 故，因此,当且仅当时取到等号，因此. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（    ） A. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是 B. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C. 已知一束光线通过点，经直线反射，如果反射光线通过点，则反射光线所在直线的一般式方程为． D. 已知直线的倾斜角为，且经过第一象限的点和，则的最小值为3 【答案】ACD 【解析】 【分析】A:利用平行条件求，再用平行线距离公式验算；B：垂直条件算出或，是充分不必要；C：求关于镜面直线的对称点，对称点与求反射光线方程；D：先得，通过均值不等式求解. 【详解】选项A：两直线，平行：. 由，检验成立. 直线化为：与距离：，故A正确； 选项B：直线与垂直：或. 是充分不必要条件，不是充要，B错误； 选项C：求关于直线的对称点. ， 反射光线过、斜率， 所以直线方程为，C正确； D选项：倾斜角，直线：. 点在第一象限，， 所以， 等号条件：，结合，，D正确. 10. 记等差数列的公差为，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差数列定义及性质逐项分析判断. 【详解】等差数列的公差为，， 对于A，，A正确； 对于B，的符号无法确定，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，，则，D正确. 故选：AD 11. 已知数列满足，，设的前项和为，下列结论中正确的是（ ） A. B. 数列是等比数列 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据递推关系代入即可求解AC，根据递推关系可证明是首项为，公比为的等比数列，可得，即可利用分组求和法，结合等比求和公式求解判断BD. 【详解】当时，可得，又因为，所以，故A正确； 由，得， 所以，又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故B正确； ，故C错误； 由B选项可得，所以， 所以 ，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 经过点且与直线平行的直线是_____（结果用直线的一般式表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据平行关系，利用待定系数法求解. 【详解】因为直线与所求直线平行， 所以可设直线方程为， 又直线过点，所以，解得， 所以直线的方程为. 13. 若圆与圆有且仅有三条公切线，______． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件直接求出两圆的圆心和半径，再利用两圆的位置关系，即可求解. 【详解】易知圆的圆心为，半径为， 由，得到， 则，即，圆的圆心为，半径为， 因为圆与圆有且仅有三条公切线，所以圆与圆外切， 则，即，解得， 故答案为：. 14. 如图所示，用刀沿直线切一张圆形的薄饼，切1刀、2刀、3刀、4刀最多可以把饼分成2，4，7，11块，根据其中的规律，则切刀最多可以把饼分成______块． 【答案】 【解析】 【分析】根据特例法，结合累和法、等差数列前项和公式进行求解即可. 【详解】设， 显然有， 所以当时， 当时，也适合，即， 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 若圆C经过点和，且圆心在x轴上，则： （1）求圆C的方程． （2）直线与圆C交于E、F两点，求线段的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由圆心既在线段的垂直平分线上，又在x轴上，可联立直线方程求圆心，进而得半径与圆的方程； （2）利用几何法，先求圆心到直线的距离，再利用勾股定理求半弦长即可得. 【小问1详解】 因为和，线段的中点为，且， 则的垂直平分线方程为，由圆的性质可知，圆心在该直线上， 又已知圆心在轴上，令，得， 故圆心为，半径， 则圆圆C的方程为. 【小问2详解】 由圆心到直线的距离，. 故线段的长度为. 16. 已知数列 的前 项和是 ，且 . （1）求数列 的通项公式； （2）设 ，证明 . 【答案】（1） （2）由（1）得，又 ， 所以， 所以， 即， 所以． 因为，所以，所以. 【解析】 【分析】（1）由与的关系，可得，并求得，从而得到数列是以为首项，为公比的等比数列，求得数列的通项公式； （2）先求得，再求得，根据裂项相消求和法求得，由此即可证明结论. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以，即． 又当时，，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以． 【小问2详解】 略 【点睛】 17. 设点，以线段为直径作圆 ． （1）求圆的方程； （2）若直线过点 ，与圆交于，两点，，求直线的方程； （3）已知为直线 上一动点，过作圆的两条切线，切点分别为、，求四边形PECF面积的最小值． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用中点坐标公式求出圆心坐标，再用两点间的距离公式求出半径即可； （2）分情况讨论：当直线斜率不存在时，单独验证弦长是否符合要求；当斜率存在时，设出点斜式方程，利用点到直线的距离公式得到圆心到直线的距离，由垂径定理和勾股定理可得，求出斜率即可； （3）利用切线性质与勾股定理把四边形面积转化为，根据垂线段最短求出点到直线的距离，再代回式子算出面积最小值. 【小问1详解】 由题意可知，圆的圆心为线段的中点， 因为，所以圆心的坐标为， 圆的半径为， 所以圆的方程为. 【小问2详解】 当斜率不存在时，过点 的直线，此时，舍去. 当斜率存在时，设直线的方程为即. 圆心到直线的距离为， 因为，，由垂径定理可得， 即，所以， 所以，解得或， 当时，直线的方程为， 当时，直线的方程为， 综上，直线的方程为或. 【小问3详解】 由切线的性质可知，，，且， 四边形PECF面积， 在中，， 所以，要使最小，需最小. 因为在直线 上， 所以的最小值为点到直线的距离， 所以， 即四边形PECF面积的最小值为. 18. 已知数列满足 （1）求证：为等差数列； （2）设，记数列的前项和为， ①求； ②若，求的取值范围． 【答案】（1）证明如下： 由． 则数列是以为首项，2为公差的等差数列. （2）①； ② 【解析】 【分析】（1）要证明为等差数列，可根据等差数列的定义，通过计算是否为常数来判断； （2）①先根据(1)求出的通项公式后，进而可得到的通项公式，求出的表达式，然后利用错位相减法求出， ②由恒成立，可将m分离出来，通过求数列的最大值来确定m的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 所以数列的通项公式为； ①由（1）得; 则． 于是， 以上两式相减得： 所以 ②由，得．令， 所以， 所以不是数列的最大项，不妨设的第项取得最大值． 由，即，解得， 即数列的最大值为，所以， 即的取值范围是 19. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，.点满足，记点的轨迹为圆. （1）求圆的周长； （2）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程； （3）过点且不与轴重合的直线与圆相交于，两点，为坐标原点，直线，分别与直线相交于，，记的面积为，的面积为，求的最大值. 【答案】（1） （2）或. （3） 【解析】 【分析】（1）点，由题意建立等式计算可得圆的方程为，进而计算可得周长； （2）根据直线被圆截得的弦长为，分斜率存在和不存在两种情况计算即可求解； （3）直线与圆联立方程组求得点的坐标为，点的坐标为，根据题意列出比例关系式结合基本不等式计算求解即可. 【小问1详解】 设点， 由，得， 整理得， 所以圆的方程为，其周长为； 【小问2详解】 因为直线被圆截得的弦长为，所以圆心到直线的距离为. ①当直线的斜率不存在时，直线：与圆的交点坐标为， 此时，直线被圆截得的弦长为，满足题意； ②当直线的斜率存在时，设直线：，整理得， 所以圆心到直线的距离，解得，则直线：. 综上，直线的方程为或. 【小问3详解】 根据题意作图. 因为原点在圆：上， 直线过圆心，且与轴所在直线不重合，所以. 设直线的斜率为，则直线的方程为. 由，可得，解得或 所以点的坐标为. 又直线的斜率为，所以直线的方程为. 由，可得，解得或 所以点的坐标为. 由题意可知，点，， 所以，， 故， 又，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $