福建省福州市福九联盟（高中）2026-2027学年高二上学期11月期中数学试题

2026-2027学年第一学期期中适应性练习 高中二年级数学科试卷 考试日期：11月11日 完卷时间：120分钟满分：150分 第I卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的 1.经过A(1,3),B(V3,V3)两点的直线的倾斜角为() A.30° B.60° C.120° D.150° 2.已知直线1的方向向量元=(1,2,3)，平面a的法向量元=(1,1，-1)，则l与的位置 关系是() A.平行 B.垂直 C.直线在平面内 D.平行或直线在平面内 3.已知圆C1:x2+y2=9,圆C2:(x+3)2+(y-4)2=49,则圆C1与圆C2（) A.相交 B.外切 C.内含 D.外离 4.已知p:a=1,q:直线ax+3y-3=0与直线x+(a+2)y+1=0平行，则p是q 的（) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4,AD=2,AA1=3,M为B1D1的中点， 则点A到平面BCM的距离为() A.3 B.1213 C.4v5 D.25 13 13 5 6.己知m∈R,若过定点A的动直线l1:x+my-2m+1=0和过定点B的动直线l2: y-6=m(x+4)交于点P(P与A,B不重合)，则|PA+3PBI的最大值为() A.2W10 B.5v10 C.10 D.5 7.四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E是棱PA的中点，过点E作平面a 分别交棱PB,PC,PD于F,G,H点，若PF=PB,PG=PC,Pi=PD,则1=（) A.1 B.1 c. D.i 3 高二数学第 8.椭园c号+兰-1Q>b>0)的左、右焦点分别为P,P2,上顶点为4，左顶点 为M,过点M作AF2的平行线与直线AF1交于点B,且点B恰在椭圆C上，则椭圆C的 离心率为() A.√2-1 C.② D.3-1 2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选 项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选 错的得0分. 9.设，b,c均为空间非零向量，下列命题正确的是() A.若a/乃，且/，则a/f B.若a.b=dc,则b= C.若c=2a-3,则a,b,元共面 D.若a1c,且b1c,则a/ 10.已知圆C:(x-1)2+y+1)2=5,动点P(t,0)在x轴上，下列结论正确的是（) A.若-1<t<3,则过点P的任意直线都与圆C相交 B.若t=-1或t=3,则过点P恰有一条圆C的切线 C.若t=1,则过点P的所有直线所截圆C的弦长都相等 D.若t>3或t<-1,过点P作圆C的两条切线，切点为A、B,则直线AB过定点(1,4) 1.已知P,分别为椭园C等+芳=1(a>b>0)的左，右焦点，商心幸 e=. ，直线交椭圆于P,Q两点(P,Q分别在第一、四象限)，点I为△PF1F2的 下面说法正确的是() A,若A,PQ周长的最大值为20，则+的最小值为品 PFPF2I B.若过F,且弦长PQ的最小值为号，则PF+PF的取值范围是(6,10) C.延长P1交x轴于N,则侧的值为 lINI D.若cos∠F1PF2=3,IPF1l=6,过F1作直线PI的垂线，垂足为M,则IOM=1 页（共2页） 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.点P(-3,2)到直线3x-4y+2=0的距离为 13.《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书 中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖隔.已知四面体P一ABC为鳖嚅，PA⊥平 面ABC,AB1BC,且PA=AB=1,BC=V2,则异面直线AB与PC所成角的余弦 值为 14.已知P是圆C:(x-1)2+(y+3)2=36内一点，若过点P恰好可以作9条长度为 正整数的弦，则所有符合条件的点P构成的区域（忽略边界）面积为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分) 已知空间向量a=(1,0,1),=(0,1,1),元=(1,1,0)， (1)若向量=(t,1,t+1)与a+2b共线，求实数t的值： (2)若向量d=(s,2,3)与a,万共面，求实数s的值，并判断d与元是否垂直. 16.(本小题满分15分) 在平面直角坐标系x0y中，已知直线经过定点P(1,3),且直线不与坐标轴平行. (1)若直线在两条坐标轴上的截距相等，求直线的方程： (2)若直线l与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于A,B两点，O为坐标原点，求△AOB 面积的最小值及此时的直线方程. 高二数学第 17.(本小题满分15分) 如图，四棱锥S-ABCD的底面是边长为2的正方形，SA=SB=SC=SD=V6,O为 底面中心，E,F分别为SC,AB的中点. (1)求证：S01平面ABCD,并求SO的长： (2)求直线EF与平面SBD所成角的正弦值： D (3)求平面SBE与平面SBD夹角的余弦值. 18.（本小题满分17分) 已知平面直角坐标系中，定点A(-1,0),B(2,0): (1)若动点P(x,y)满足A=2,求点P的轨迹C的方程： PBI (2)若斜率为2的直线经过点Q(2,1),且与轨迹C相交于E,F两点，求弦EF的长： (3)过点D(4,0)的任意直线与轨迹C交于M,N两点，问：在x轴上是否存在定点T, 使得x轴始终平分∠MTN?若存在，求出点T的坐标：若不存在，请说明理由. 19.（本小题满分17分) 著名数学家华罗庚曾说过“数无形时少直觉，形少数时难入微”，事实上，很多代数 问题都可以转化为几何问题加以解决，如：√(x-)2+0y-b)2可以转化为平面上点 M(x,y)与点N(a,b)之间的距离，结合上述观点，已知点E(x,y)在运动过程中总满足 关系式√(x+2)2+y2+√x-2)2+y2=42. (1)点E的轨迹是什么曲线？并写出它的方程： (2)设点E的轨迹为曲线C,求曲线C的内接菱形MPNQ的面积的最小值； (3)己知点A2,N2,点B,D在曲线C上，且AB⊥AD,AT⊥BD,T为垂足.证明： 存在定点R,使得RT为定值，并求定值. 页（共2页）2026-2027学年第一学期期中适应性练习 高中二年数学科试卷评分细则 第I卷 选择题：单选8题，每小题5分；多项选择3题，全部选对的得6分，部分 选对的得部分分，有选错的得0分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D C B B C AC ABD ACD 第Ⅱ卷 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分， 12.3 18.月 14. 15 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(1)a=(1,0,1),b=(0,1,1) .a+2b=(1,0,1)+2(0,1,1)=(1,2,3) 1分 :)=(t,1,t+1)与a+2五=(1,2,3)共线 .存在实数1，使得(t,1,t+1)=(1,2,3) -2分 得到方程组： (t=λ 1=2 4分 (t+1=31 由1=2%，得1= -5分 t=a-月 -6分 (2).d与db共面， .存在实数m,n,使得d=ma+nb -7分 代入向量： (s,2,3)=m(1,0,1)+n(0,1,1)=(m,n,m+n) -8分 对应坐标相等： (s =m 2=n -9分 3=m+n 把n=2代入第三式：3=m+2,得m=1 10分 ∴.s=m=1,即d=(1,2,3) -11分 元=(1,1,0) ∴.数量积d.元=1×1+2×1+3×0=3 -12分 :d.c+0 ∴d与c不垂直 -13分 16.(1)解法一： 分两种情况讨论： ①截距都不为0：设截距式方程艺+y=1(a≠0)，即x+y=a -1分 ,直线过P(1,3),代入得1+3=a,.a=4 -2分 ∴.直线方程：x+y-4=0 3分 ②截距都为0：直线过原点，设y=kx -4分 代入P(1,3),得k=3- -5分 .直线方程：y=3x,即3x-y=0 -6分 综上所述：直线的方程为：x+y-4=0或3x-y=0 -7分 解法二： 由题可知斜率k存在且k≠0，设直线的点斜式方程：y-3=k(x-1)--1分 令y=0,“x=1-?即横截距a=1- 令x=0,.y=3-k,即纵截距b=3-k -2分 :截距相等，·α=b,分两种情况： ①Q=b≠0：1-=3-k,解得k=3或k=1一 -3分 k=3时，a=0,b=0,不符合：k=-1时，a=4,b=3-(-1)=4,符合 代入点斜式：y-3=-(x-1),整理得x+y-4=0 4分 ②α=b=0,横、纵截距都是0，直线过原点， 把(0,0)代入y-3=k(x-1):0-3=k(0-1),k=3- -5分 直线方程：y-3=3(x-1),整理得y=3x,即3x-y=0- -6分 综上所述：直线的方程为：x+y-4=0或3x-y=0 7分 2 (2)解法一： 由题意可设直线的截距式：+=1，其中Q>0,b>0 -8分 ~直线过P(1,)+g=1 9分 由基本不等式： 12月 -10分 两边平方： 1≥号=ab≥12 -11分 1 当且仅当=三时取等号， 联立 -12分 a b 解符。即a-2,b=6 -13分 :△A0B的面积S=号ab ∴面积最小值Smm=×12=6 14分 此时直线方程：+2=1，整理得3x+y-6=0 -15分 6 解法二： ,直线交x轴正半轴、y轴正半轴，且不与坐标轴平行， .设直线点斜式：y-3=k(x-1),其中k<0 -8分 令y=0,0-3=k(xA-1),÷x4=1-是即A(1-,0）月 令x=0,yB=3-k,即B(0,3-k) -9分 :A在x正半轴，B在y正半轴，k<0 “1->0,3-k>0恒成立 10分 △A0B面积s=10AI0Bl=(-)6-)=(6-k-) 11分 :k<0,-k>0,->0,由基本不等式： k+()≥2(-)()=6 12分 当且仅当-k=-是即k2=9,k=-3(k<0,舍去k=3)时取等号-13分 代入面积表达式：S≥号(6+6)=6，∴.Smm=6 -14分 3 此时k-3,代入点斜式：y-3=-3(x-1),即3x+y-6=0----15分 17.(1)证明： ,底面ABCD是正方形，O是底面中心 ∴.OA=0C,0B=OD -1分 又，SA=SC,SB=SD ∴.S0LAC,S0LBD- -2分 又.AC∩BD=O,AC,BDC平面ABCD 3分 ∴.S0L平面ABCD 4分 底面正方形边长为2，对角线AC=BD=2V2, ∴.0A=号AC=V2 在Rt△S0A中，SA=V6,OA=V2, 由勾股定理：S0=VSA2-0A2=V6-2=2 -5分 (2)解法一：坐标法 由(1)得：以0为原点，OB为x轴，OC为y轴，O为z轴建立空间直角坐标系， 则0(00,0)，S(0,0,2),B(2,0,0),D(-V2,0,0),A(0,-V2,0),C(0,V2,0) -6分 F是AB中点：F(S-9,0),E是SC中点：E(0,9,) “匣=（侣，-2，-） -7分 ,平面SBD:S,B,D都在xOz平面 .平面SBD的一个法向量n=(0,1,0) 8分 设直线EF与平面SBD所成角为0， 则sin6=cos(EF,m= EF=上-=2万 F -9分 7 ·直线EF与平面SBD所成角的正弦值为27 -10分 解法二：几何法 ,底面ABCD是正方形，.AC⊥BD 又SOL平面ABCD,ACC平面ABCD,∴.SO⊥AC 4 .SO∩BD=O,S0,BDC平面SBD, ∴.AC⊥平面SBD -6分 如图，分别取SO,BO中点H,N,连接EH,FN ,E,F分别是SC,AB中点 ∴.EH∥AC,FN∥AC ∴.EH⊥平面SBD,FN⊥平面SBD,EH∥FN -7分 :EH-OC-9FN-0A-号∴EH=FN 连接FH,EN,则四边形EHFN是平行四边形 连接HN交EF于点T,则点T为EF与平面SBD的交点 则∠ETH是直线EF与平面SBD所成角的平面角 -8分 HT=HN=SB=5,在RIAEHT中，ET=VE+HT=四 ..sinzETH= EH 9 ET V14 9分 7 “直线EP与平面SBD所成角的正弦值为 10分 D (3)解法一：坐标法 由(2)解法一得平面SBD法向量：=(0,10)，S0,02),B(V2,0,0),E(0,9,1) 5丽=(2,0，-2)，5E-(0,9,-) 11分 设平面SBE的法向量n2=(x,y,z) 2·SB=V2x-2z=0 (m·SE=9y-z=0 12分 令z=V2,则x=2,y=2.=(2,2,V② -13分 设平面SBE与平面SBD夹角为Y 5 则c0sY=lcos(m4,2=g=,2=四 m川n2i1x√1o=5 14分 ·平面SBE与平面SBD夹角的余弦值为四 5 -15分 解法二：几何法 由(2)解法二知：EH1平面SBD,垂足为H,EH=9,H在SO上，且SH=1 如图，在平面SBD内，过H作HP⊥SB,垂足为P,连接EP ,EH⊥平面SBD,SBC平面SBD,.EH⊥SB 又HP⊥SB,EH∩HP=H, ∴.SB⊥平面EHP,故EP⊥SB -11分 ∴.LEPH就是平面SBE与平面SBD夹角的平面角 12分 底面正方形边长为2,0B=V2,S0=2,SB=V6 易证得△SPH∽△SOB :P-则HP=08== 13分 OB SB SB √6 3 在R△EHP中，∠EHP=9O,EP=VE+HP-、图+(9- v3 COSLEPH =HP -14分 5 6 ∴平面SBE与平面SBD夹角的余弦值为画 15分 E D 18.(1)A(-1,0),B(2,0),P(x,y)） IAl-+y.IP+ ----------1分 :动点P6x列满足e=2 6 Vx+1)2+y2 =2 -2分 Vx-2)2+y2 化简得：x2+y2-6x+5=0 -3分 ∴.点P的轨迹C的方程为：x2+y2一6x+5=0 -4分 (2)解法一：几何法（距离公式+弦长公式) 由题意，直线斜率为2且过点Q(2,1) .直线的方程为：y-1=2(x-2),即2x-y-3=0 -5分 .轨迹C:x2+y2-6x+5=0,即(x-3)+y2=4 .轨迹C是以(3,0)为圆心，半径r=2的圆 6分 则圆心(3,0)到直线2x-y-3=0的距离：d=x3-0-3=3 -7分 22+(-1)2 ∴.弦EF的长|EF川=2V2-d=2,22 () 2V55 -8分 解法二：代数联立+韦达定理法 由题意，直线斜率为2且过点Q(2,1) ∴.直线的方程为：y-1=2(x-2),即y=2x-3 -5分 联立： y=2x-3 x2+y2-6x+5=0 消去y并整理得：5x2-18x+14=0 -6分 设交点E(x1,y1),F(x2,y2),:方程有两个不等实根 “由韦达定理得：x+2 x名3=4 -7分 则弦EF的长|EF=V1+E·、J(x1+x)2-4xx2 -4× =25 --8分 5 (3)①直线MN斜率存在时，设为k, .直线MN过点D(4,0),∴.设直线方程：y=k(x-4) -9分 联立： y=k(x-4) x2+y2-6x+5=0 消去y并整理得：(1+k2)x2-(6+8k)x+16k+5=0 -10分 设T(t,0),M(x1,y1),N(x2,y3) 直线与圆有两个交点 “由韦达定理得：x十6=6+ +k，七163-162+5 11分 1+k2 > 若x轴平分∠MTN,则直线TM、TN倾斜角互补 “两直线斜率互为相反数，即kw+k红w=0,∴产十品：=0 -12分 又，y1=k(x1-4),y2=k(x2-4),当k=0时，等式恒成立： 当k≠0时，约去k得：-+0 -13分 即2x1x2-(t+4)(x1+x2)+8t=0- 14分 韦达定理整体代入得：2-c+)+8=0,解得t=7 ---15分 ②直线MN斜率不存在时 ,直线MN过D(4,0)且垂直x轴，.直线方程为x=4。 代入圆方程得交点：M(4,V3,N(4,-V3。 :T(7,0),代入斜率验证，.krM+kw=0,仍然满足题意 -16分 综上所述：存在定点T(7,0),使得x轴始终平分∠MTN 17分 19.(1)方程Vx+2}+y2+V(x-2+y=42表示点E(x,y)到两定点 F(2,0),F(2,0)距离和为4W2 1分 而EE到=4<4W2 -2分 因此点E的轨迹是以耳，F,为左右焦点，长轴长为4√2的椭圆 -3分 方程为+少=1- 4分 84 (2)菱形MPWQ为椭圆C的内接菱形，由对称性知，菱形MPNQ对角线交点为 原点0 ①当直线MN的斜率存在且不为0时，设其方程为y=x,则直线PQ方程为 (y=tx 国+工120 --5分 4 wo-ir4 1+2t2 同理|Pg=V1+ 4W2 Vt2+2 16+t2)】 图此菱形O的面积：Sae=NPO厅22了 -6分 令u=1+t2(t>1) 8 16u 16 SxoPe=Ju+i2u-1 v-o则002-+2-- -7分 当且仅当v=?则-2，即1=±1时取等号，S2 -8分 Γ3 ×4W2x4=82332 1 ②当直线MN,P9为坐标轴时，Sare= -9分 2 述：曲线C的内接菱形MPNO的面积的最 -10分 (3)解法一： 证明：设点B(x,),D(x,y), ①若直线BD斜率存在时，设直线MN的方程为：y=c+m 11分 代入椭圆方程消去y并整理得：1+2k2x2+4x+2m2-8=0, -4km 可得+名=1+2 2m2-8 1+2k2 4>0,8k2-m2+4>0 -12分 :AB1AD,∴.ABAD=0,即，(x-2Xx-2)+-V2,-V2)=0 根据y=+m乃=+m,代入整理可得： 1+k2kx2+am-V2k-2x+x,)+m-V2+4=0 整理化简得3m2-2W2m-2+8m+4k2=0 13分 化简m-√2+2k-3m+2+2k)=0 :A2,N)不在直线BD上，.m-√2+2k≠0， .3m+√2+2k=0 -14分 .直线BD过定点S 2② 33 -15分 9 ②当直线BD的斜率不存在时，可得D(x,-y), 由AB.AD=0得：(x-2Xx-2)+(-V2片-√2)=0， 得k-2驴-2+2=0，联立士+生-1可得：352-8匙+4=0 84 解得：号或5=2（舍去）直线D过点 3 -16分 又AT⊥BD,T在以AS为直径的圆上.AS中点 4V2 3 即为圆心R.经检验， 3 直线BD垂直于x轴时也成立. 故存在， 使得-4S=25 17分 3 解法二： 证明：将原坐标系平移，原来的0点平移至点A处， 则在新的坐标系下椭圆的方程为x+2+y+②=1 11分 8 设直线BD的方程为x+y=4.B(:,片，D(x,乃) 将直线MN方程与椭圆方程联立得，x2+x(x+y)+2y2+√2yx+y)=0, +2+510 12分 :AB⊥AD :k4Bko=当.五=m+1=-1 -13分 x1x2√2n+2 .m=-√2n-3 -14分 代入直线MW方程中得n√2x+y-3x-4=0,则在新坐标系下直线BD过定点 4-42 33 -15分 则在原坐标系下直线N过定点s 3’3 16分 又AT⊥BD,T在以AS为直径的圆上，AS中点 42 33 即为圆心R.经检验， 10 直线BD垂直于x轴时也成立. 故存在R号， 使得k-4s-25 17分 (其它解法可以酌情给分) 11