精品解析：天津市辛庄中学2026-2027学年九年级上学期期中考试数学试卷

九年级（数学）学科期中阶段性练习 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．） 1. 下列方程为一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 反比例函数的图象一定经过点（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 4. 关于二次函数的图象与性质．下列四个结论中正确的是（ ） A. 其图象顶点坐标为 B. 随着的增大而减小 C. 其图象可以看作是抛物线平移得到 D. 当时，的值都大于 5. 若是一元二次方程的两个实数根，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，有一张长，宽的矩形纸板，在它的四个角处分别裁去一个同样的小正方形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（ ） A. B. C. D. 7. 二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一直角坐标系内的大致图象是（ ） A. B. C. D. 8. 关于抛物线，下列说法正确的是( ) A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 与y轴的交点坐标是 D. 顶点坐标是 9. 某地每年六月都有举办龙舟比赛的习俗，比赛需要经过一个抛物线形的拱桥．如图，是水平面，拱桥对应的函数表达式为．某商家在点处悬挂了广告条幅，已知，点到的距离为，则点到点的距离是（ ）． A. B. C. D. 10. 如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是和，设点在上，轴于点，交于点，则的面积为（ ） A. 4 B. 2 C. 8 D. 6 11. 某小区为实现“人车分离”，在小区入门处搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的围墙（长为），其他边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个长的出口（出口处不用栅栏）．若车棚的占地面积为，则车棚的长为（ ） A. B. C. D. 12. 在平面直角坐标系中，二次函数的图像如图所示，现给出下列结论：①且；②；③；④；⑤方程的两根之和为-4，其中正确的结论有（ ） A. ①③④ B. ②④⑤ C. ②③⑤ D. ①②⑤ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 13. 二次函数的图象的对称轴是直线______． 14. 飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行时间（单位：）的函数解析式是．在飞机着陆滑行中，滑行的最大距离是______m． 15. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______ ． 16. 若反比例函数的图象经过点，则______． 17. 如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是_________． 18. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B（点B在点A的右侧）两点，顶点为C，点P是y轴上一点，且使得最大，则P点的坐标为_______． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 按要求解方程： （1）（配方法） （2）（公式法） 20. 关于的一元二次方程的两个实数根分别为，． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 21. 已知抛物线（m为常数）． （1）求证：无论m取何值，抛物线与x轴总有交点； （2）若抛物线与x轴的两个交点分别在原点的两侧，求m的取值范围． 22. 某校举行田径运动会，学校准备了某种气球，这些气球内充满了一定质量的气体．当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． （1）写出这一函数的表达式； （2）当气球内的气压大于时，气球将爆炸．为了安全起见，气体的体积应不小于多少？ 23. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售个，6月份销售个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为元/个，测算在市场中，当售价为元/个时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售达到最大利润，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 24. 矩形中，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边、边向终点运动．设运动的时间为（单位：），的面积为（单位：）．当时，点的位置如图所示． （1）当时，求关于的函数解析式； （2）求的最大值； （3）当时，求的值． 25. 在平面直角坐标系中，抛物线（a、b为常数，）与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）若，． ①求该抛物线的解析式； ②设D为线段上的点，且满足，求点D的坐标． （2）若，P是直线与抛物线的交点，若M、N（点M在点N的左侧）为线段上的两个动点，且，当的最小值为，求a的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级（数学）学科期中阶段性练习 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．） 1. 下列方程为一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：选项A：只含一个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程，符合要求； 选项B：含两个未知数，不符合； 选项C：未明确，当时不是二次方程，不符合； 选项D：分母含未知数，是分式方程，不符合． 2. 反比例函数的图象一定经过点（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把每个选项中的坐标分别代入函数解析式，分别验证即可． 【详解】解：由得， A选项：，故A不符合题意； B选项：，故B符合题意； C选项：，故C不符合题意； D选项：，故D不符合题意． 3. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式；当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．根据一元二次方程根的判别式即可判断． 【详解】解：∵，，， ， ∴一元二次方程没有实数根． 故选：D． 4. 关于二次函数的图象与性质．下列四个结论中正确的是（ ） A. 其图象顶点坐标为 B. 随着的增大而减小 C. 其图象可以看作是抛物线平移得到 D. 当时，的值都大于 【答案】C 【解析】 【分析】利用二次函数的性质结合因式分解解一元二次方程判断即可． 【详解】解：二次函数， 顶点坐标为，故选项A错误； 当时，随的增大而减小，故选项B错误； 其图象可以看作是抛物线平移得到，故选项C正确； 令，则，解得或，所以当时，的值不都大于，故选项D错误． 5. 若是一元二次方程的两个实数根，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用方程根的定义降次替换二次项，化简代数式后结合韦达定理得到两根之和，整体代入算出结果． 【详解】解：∵是一元二次方程的实数根， ∴， ∴， ∴， ∵是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴． 6. 如图，有一张长，宽的矩形纸板，在它的四个角处分别裁去一个同样的小正方形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设裁去的小正方形边长为，该纸盒侧面积为，根据题意得，然后通过二次函数的性质即可求解． 【详解】解：设裁去的小正方形边长为，该纸盒侧面积为， ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵对称轴为直线， ∴当时，有最大值，为． 7. 二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一直角坐标系内的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查函数图象和性质．解题的关键是熟练掌握二次函数、一次函数、反比例函数的图象的性质． 根据二次函数的图象开口向下可知，，则，而根据反比例函数的图象性质可判断出a的正负；由一次函数的图象与性质可知和c的正负，即可得到答案． 【详解】解∵二次函数的图象开口向下，交y轴于正半轴，对称轴在y轴左侧， ∴，， ∴， ∴． A、∵在反比例函数中，，在一次函数中，，， ∴A不符合： B、∵在反比例函数中，，在一次函数中，，， ∴B不符合： C、∵在反比例函数中，，在一次函数中， ，， ∴C符合： D、∵在反比例函数中，，在一次函数中，，， ∴D不符合． 故选：C． 8. 关于抛物线，下列说法正确的是( ) A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 与y轴的交点坐标是 D. 顶点坐标是 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据二次函数的相关性质，逐一分析选项即即可求解． 【详解】解：∵抛物线解析式为 ∴，， ∵ ∴抛物线开口向下，故A选项错误 ∵对称轴为直线 ∴对称轴是直线，故B选项错误 ∵当时， ∴抛物线与轴的交点坐标是，故C选项正确 ∵当时， ∴顶点坐标是，故D选项错误 故选：C． 9. 某地每年六月都有举办龙舟比赛的习俗，比赛需要经过一个抛物线形的拱桥．如图，是水平面，拱桥对应的函数表达式为．某商家在点处悬挂了广告条幅，已知，点到的距离为，则点到点的距离是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得到，代入解析式求解即可． 【详解】解：由题意得， ， 解得：，， 又， ，， ， 即点到点的距离是． 10. 如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是和，设点在上，轴于点，交于点，则的面积为（ ） A. 4 B. 2 C. 8 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义．根据反比例函数系数k的几何意义得到，，然后利用进行计算即可． 【详解】解：∵轴于点A，交于点B， ∴，， ∴． 故选：A． 11. 某小区为实现“人车分离”，在小区入门处搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的围墙（长为），其他边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个长的出口（出口处不用栅栏）．若车棚的占地面积为，则车棚的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设电动车车棚的宽为，则车棚的长，根据车棚占地面积为，列出一元二次方程，解方程取符合题意的值即可． 【详解】解：设电动车车棚的宽为，则车棚的长， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去， ， 故选：B． 12. 在平面直角坐标系中，二次函数的图像如图所示，现给出下列结论：①且；②；③；④；⑤方程的两根之和为-4，其中正确的结论有（ ） A. ①③④ B. ②④⑤ C. ②③⑤ D. ①②⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向下，经过原点， ∴a＜0，c＝0， ∵−＝−2， ∴b＝4a，ab＞0， ∴b−4a＝0， ∴①错误，④错误， ∵抛物线与x轴交于−4，0处两点， ∴b2−4ac＞0，方程ax2＋bx＝0的两个根为x1＝0，x2＝−4， ∴x1＋x2＝−4， ∴②⑤正确， ∵当x＝2时y＜0，即4a＋2b＋c＜0， ∴③正确， 故正确的有②③⑤． 故选C 【点睛】本题主要考查图像与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式以及特殊值的熟练运用． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 13. 二次函数的图象的对称轴是直线______． 【答案】 【解析】 【分析】二次函数顶点式（）的图象的对称轴为直线，据此解答即可． 【详解】解：二次函数的图象的对称轴为直线． 14. 飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行时间（单位：）的函数解析式是．在飞机着陆滑行中，滑行的最大距离是______m． 【答案】 【解析】 【分析】滑行最大距离对应给定二次函数的最大值，通过配方求出二次函数的顶点式即可得到结果． 【详解】解：二次函数的二次项系数为， 函数存在最大值． 将函数配方变形：． 当时，取得最大值， 飞机滑行的最大距离是． 15. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______ ． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，由题意可得且，解不等式即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：由题意得，且， 解得且， 故答案为：且． 16. 若反比例函数的图象经过点，则______． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点. ∴点的坐标满足函数解析式， 将，代入解析式，可得， 解得． 17. 如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由图象可知抛物线的对称轴为直线，与轴一个交点为，则另一个交点为，然后根据图象即可求解，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：由图象可知抛物线的对称轴为直线，与轴一个交点为， ∴抛物线与轴另一个交点为， ∴不等式的解集是， 故答案为：． 18. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B（点B在点A的右侧）两点，顶点为C，点P是y轴上一点，且使得最大，则P点的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先确定A、B、C的坐标，再根据三角形的三边关系得出，进而可得出当P、C、B在同一条直线上，，即此时有最大值，然后求出的解析式，进而可求出点P的坐标． 【详解】解：由题意可知：A、B、的坐标分别为、， ∴对称轴直线为： ∴顶点C的坐标为， 如图，当P、C、B不在同一条直线上，根据三角形的三边关系有：， ∴当P、C、B在同一条直线上，，即此时有最大值． 设的解析式为， 则， 解得： ∴的解析式为：， 当时，则， 则点P的坐标为 故答案为． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，求一次函数解析式，以及利用三角形的边的关系确定线段的最大值，其中运用三角形边的关系确定最大值是解答本题的关键． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 按要求解方程： （1）（配方法） （2）（公式法） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： ，； 【小问2详解】 解：，，， ， 方程有两个不相等的实数根， ， ，． 20. 关于的一元二次方程的两个实数根分别为，． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）已知方程有两个实数根，根据一元二次方程根的判别式大于等于0，列不等式求解即可得到的取值范围； （2）根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入已知等式求解，验证符合第一问的取值范围即可得到结果. 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴，其中，，， 代入得 ， 解得； 【小问2详解】 解：由根与系数的关系可得：，， ∵， ∴，解得. ∵，符合的取值范围， ∴的值为. 21. 已知抛物线（m为常数）． （1）求证：无论m取何值，抛物线与x轴总有交点； （2）若抛物线与x轴的两个交点分别在原点的两侧，求m的取值范围． 【答案】（1）证明：令，得方程. ∵ ， ∴无论取何值，该方程总有实数根，即抛物线与轴总有交点 （2）的取值范围是 【解析】 【分析】（1）将抛物线与轴交点问题转化为一元二次方程根的存在性问题，计算判别式证明其恒非负； （2）利用根与系数的关系，由两根异号得两根之积小于0，求解的取值范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设方程的两根为，， ∵抛物线与轴的两个交点分别在原点两侧， ∴两根异号，即， 由根与系数的关系得， ∴的取值范围是． 22. 某校举行田径运动会，学校准备了某种气球，这些气球内充满了一定质量的气体．当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． （1）写出这一函数的表达式； （2）当气球内的气压大于时，气球将爆炸．为了安全起见，气体的体积应不小于多少？ 【答案】（1） （2）为了安全起见，气体的体积应不小于 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，解题的关键在于理解体积和气压的关系，气压越大体积越小． （1）设表达式为，取点A，代入解得k值即可； （2）令，代入表达式解得，则由图可知，为了安全起见，气体的体积应不小于． 【小问1详解】 解：设该函数的表达式为， ∵该函数的图象过点A， ， 解得，， ∴这一函数的表达式为； 【小问2详解】 解：令得，． 解得，， 由图象可知：当时，， 答：为了安全起见，气体的体积应不小于． 23. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售个，6月份销售个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为元/个，测算在市场中，当售价为元/个时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售达到最大利润，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为 （2）为使月销售利润最大，该品牌头盔的实际售价应定为元/个 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程、二次函数的实际应用，正确理解题意是解题关键； （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，由题意得：，即可求解； （2）该品牌头盔的实际售价应定为元/个，利润为，则，即可求解； 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， 由题意得：， 解得：（舍）， ∴该品牌头盔销售量的月增长率为； 【小问2详解】 解：该品牌头盔的实际售价应定为元/个，利润为， 则， ∵， ∴当时，月销售利润最大； 故：为使月销售利润最大，该品牌头盔的实际售价应定为元/个； 24. 矩形中，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边、边向终点运动．设运动的时间为（单位：），的面积为（单位：）．当时，点的位置如图所示． （1）当时，求关于的函数解析式； （2）求的最大值； （3）当时，求的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（）根据三角形面积公式列出函数解析式即可； （）分三种情况，分别求出关于的函数解析式，再根据函数的性质求出最大值即可求解； （）结合（），分两种情况解答即可． 【小问1详解】 解：当时，点在上，点在上， ∵点和点的速度都是， ∴，， ∴， 即； 【小问2详解】 解：当点在上，点在上，即时， 由（）知， ∵， ∴当时，取得最大值，； 当点在上，点在上，即时，如图， 则，， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，； 当点在上，点在上，即时，如图， 则，， ∴，， ∴ ， ∵， ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴时，的值随的增大而减小， ∴当时，； 综上所述，的最大值为； 【小问3详解】 解：由（）可知，当时，有两种情况： ①当点在上，点在上，即时， 把代入，得， 解得； ②当点在上，点在上，即时， 把代入，得， 解得，（不合题意，舍去）； 综上所述，的值为或． 25. 在平面直角坐标系中，抛物线（a、b为常数，）与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）若，． ①求该抛物线的解析式； ②设D为线段上的点，且满足，求点D的坐标． （2）若，P是直线与抛物线的交点，若M、N（点M在点N的左侧）为线段上的两个动点，且，当的最小值为，求a的值． 【答案】（1）①；② （2）1 【解析】 【分析】（1）①将点，代入抛物线，利用待定系数法求解即可； ②先求出，从而得到，，再结合已知条件，得到，过点作轴，求出，，即可得到点D的坐标． （2）由题意可得对称轴为直线，，作点关于轴的对称点，过点作轴于点，在上取点，使得，连接，则，证明四边形是平行四边形，得到，即当点在上时，有最小值为，再利用勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 解：①抛物线与x轴交于点，， ，解得：， 该抛物线的解析式为； ②抛物线与y轴交于点C， 令，则， ， ， ，， ， ，， 如图，过点作轴，则， ， ， ， 点D的坐标为． 【小问2详解】 解：， 抛物线，对称轴为直线， 令，则， ， 如图，作点关于轴的对称点，过点作轴于点，在上取点，使得，连接，则， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 即当点在上时，有最小值为， 的最小值为， ， 在中，，， ， 整理得：， 解得：或（舍）， 即a的值为． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，求二次函数解析式，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，轴对称的性质求最短线段，平行四边形的判定和性质，一元二次方程的应用，利用数形结合的思想解决问题是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $