初中数学破题致胜微方法（等腰直角三角形与旋转）：等腰三角形底边上的角旋转

【典题探究】 例1 △ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，以D为顶点作∠MDN＝∠B． （1）如图（1）当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE相似的三角形． （2）如图（2），将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于E，F点（点E与点A不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论． （3）在图（2）中，若AB＝AC＝10，BC＝12，当△DEF的面积等于△ABC的面积的 时，求线段EF的长． 分析：（1）根据等腰三角形的性质以及相似三角形的判定得出相似三角形即可； （2）利用已知首先求出∠BFD＝∠CDE，即可得出△BDF∽△CED，再利用相似三角形的性质得出，进而得出△BDF∽△CED∽△DEF． （3）首先利用△DEF的面积等于△ABC的面积的 ，求出DH的长，进而利用S△DEF的值求出EF． 又∵∠MDN＝∠B， ∴△ADE∽△ABD， 同理可得：△ADE∽△ACD， ∵∠MDN＝∠C＝∠B， ∠B+∠BAD＝90°，∠ADE+∠EDC＝90°， ∠B＝∠MDN， ∴∠BAD＝∠EDC， ∵∠B＝∠C， ∴△ABD∽△DCE， ∴△ADE∽△DCE． （2）△BDF∽△CED∽△DEF， 证明：∵∠B+∠BDF+∠BFD＝180°，∠EDF+∠BDF+∠CDE＝180°，∠EDF＝∠B， ∴∠BFD＝∠CDE， 由AB＝AC，得∠B＝∠C， ∴△BDF∽△CED，∴， ∵BD＝CD，∴，又∵∠C＝∠EDF，∴△BDF∽△CED∽△DEF． （3）如图，连接AD，过D点作DG⊥EF，DH⊥BF，垂足分别为G，H． ∵AB＝AC， D是BC的中点， ∵，∴DH＝. ∵△BDF∽△DEF，∴∠DFB＝∠EFD . ∵DG⊥EF，DH⊥BF，∴DH＝DG＝. ∵S△DEF＝12，∴EF＝5. 【方法破解】 等腰三角形底边上出现一个角与等腰三角形的底角相等，且两边与等腰三角形的两边相交时，会出现相似三角形 延伸1：若此角的顶点为等腰三角形底边上的中点时，出现三个三角形相似 延伸2：若出现一线三等角模型，常考虑相似三角形. 【学以致用】 1.如图1，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，以D为顶点作∠MDN＝∠C． （1）观察发现：当射线DM经过点A时，DN交AB于点E，