初中数学破题致胜微方法（等腰直角三角形与旋转）：等腰直角三角形旋转中的角平分线

【典例探究】 例1 等腰直角△ABC与等腰直角△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=90°，∠DAE=90°，如图，将△ADE绕点A旋转一定度数，连BD、EC，BD与EC交于点F，连AF．求证： （1）EC⊥BD； （2）AF平分∠BFE． （2）作AG⊥CE于G，AK⊥BD于K．根据三角形面积公式即可求得AG=AK．根据角的平分线的性质定理的逆定理即可证得FA是∠CFD的平分线． 解答：（1）证明：如图． ∵∠BAC=∠DAE=90°，∠BAE=∠BAE， ∴∠CAE=∠BAD． 又AC=AB,AE=AD,∴△CAE≌△BAD（SAS）， ∴∠ACF=∠ABD． ∵∠ANC=∠BNF，∴∠BFN=∠NAC=90°．∴BD⊥CE．     【方法破解】 如图,等腰直角三角形旋转形成的全等三角形的对应边交点F与旋转点A的连线FA平分直角∠CFD，即∠CFA=∠DFA=45°，若是知道△ACF或△ADF中的某些线段，可考虑45°的应用 【学以致用】 1.如图，已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE．连接 BD交AE于M，连接CE交AB于N，BD与CE交点为F，连接AF． （1）如图1，求证：BD⊥CE； （2）如图1，求证：FA是∠CFD的平分线； （3）如图2，当AC=2，∠BCE=15°时，求CF的长． 【答案解析】 （3）在△ACF中，根据已知条件求得∠ACN=∠ACB-∠BCE=30°=∠FBN．而由（1）（2）可得∠CFA=45°，过A作AH垂直CF于H, 在Rt△ACH中， 在Rt△AFH中， 解答：（1）证明：如图1． ∵∠BAC=∠DAE=90°，∠BAE=∠BAE， ∴∠CAE=∠BAD． 又AC=AB,AE=AD,∴△CAE≌△BAD（SAS）， ∴∠ACF=∠ABD． ∵∠ANC=∠BNF，∴∠BFN=∠NAC=90°．∴BD⊥CE．     （3）解：如图2， 过A作AH垂直CF于H, 由（1）知BD⊥CE，由（2）知FA是∠CFD的平分线，∴∠CFA=45°， ∵∠BCE=15°，∴∠ACF=∠ACB-∠BCE=30°， 在Rt△ACN中，∠AHC=90°，AC=2，∠ACH=30°， Rt△AFH中，∠AHF=90°，∠CFA=45°， 1 $$