初中数学破题致胜微方法（等腰直角三角形与旋转）：等腰直角三角形旋转中的面积相等

【典例探究】 例1：如图，四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形，连接BG与DE相交于点H． （1）证明：△ABG≌△ADE； （2）试猜想∠BHD的度数，并说明理由； （3）将图中正方形ABCD绕点A逆时针旋转（0°＜∠BAE＜180°），设△ABE的面积为S1，△ADG的面积为S2，判断S1与S2的大小关系，并给予证明． （2）∠BHD=90°，理由是：由（1）得出的三角形全等，得到∠ADE与∠ABG相等，再根据对顶角相等，由两对角相等的三角形相似得到△AND与△HNB相似，由相似三角形的对应角相等得到∠BHD与∠BAD相等，而根据正方形ABCD得到∠BAD为90°，故∠BHD=90°； （3）根据旋转角∠BAE为锐角，直角及钝角分为三种情况考虑：①当∠BAE为锐角时，如图所示，过点B作BM⊥直线AE于点M，过点D作DN⊥直线AG于点N．根据同角的余角相等得到∠MAB=∠NAD，由正方形的性质得到AB=AD，再由垂直得到一对直角相等，利用“AAS”得到△AND≌△AMB，根据全等三角形的对应边相等得到DN=BM，又AE=AG，根据等底等高的两三角形面积相等得S1与S2相等；②当∠BAE为直角时，如图所示，利用“SAS”得到△AGD与△ABE全等，故面积相等；③当∠BAE为钝角时，如图所示，根据①的思路，同理得到S1与S2相等，综上所述，在（3）的条件下，总有S1=S2． （2）猜想∠BHD=90°．理由如下： 设：AB和DE交于点N，∵正方形ABCD，∴∠BAD=90°， 又∵△ABG≌△ADE，∴∠ABG=∠ADE，又∠AND=∠BNH， ∴△AND∽△HNB，则∠BHD=∠BAD=90°； （3）证明：当正方形ABCD绕点A逆时针旋转0°＜∠BAE＜180°时，S1和S2总保持相等．证明如下：由于0°＜∠BAE＜180°分三种情况： ①当0°＜∠BAE＜90°时 （如图所示） 过点B作BM⊥直线AE于点M，过点D作DN⊥直线AG于点N， ∵∠MAN=∠BAD=90°，∴∠MAB+∠BAN=90°，∠BAN+∠DAN=90°， ∴∠MAB=∠DAN， 又∠AMB=∠AND=90°，且AB=AD， ∴△AND≌△AMB，∴BM=DN，又AE=AG， ∴ ,∴S1=S2； ③当90°＜∠BAE＜180°时 如图所示： 过点B作BM⊥直线AE于点M，过点D作D